【数学】质数、合数、筛质数、分解质因数
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质数和合数是针对所有大于 1 的 “自然数” 来定义的（所有小于等于1的数都不是质数）。
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所有小于等于 1 的整数既不是质数也不是合数.
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质数的判定——试除法
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\(“d\ | \ n”\)代表的含义是 \(d\) 能整除 \(n\) ，（这里的 \(“|”\) 代表整除）
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一个合数的约数总是成对出现的，如果 \(d|n\) ，那么 \(\frac{n}{d}|n\)，因此我们判断一个数是否为质数的时候，只需要判断较小的那一个数能否整除 \(n\) 就行了，即只需枚举 \(d<=\frac{n}{d}\)，即 \(d∗d<=n,d<=sqrt(n)\)
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\(sqrt(n)\)这个函数执行的时候比较慢.
一般这样写：
bool is_prime(int x)
{
if (x < 2) return false;
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
return false;
return true;
}
- 分解质因数——试除法（算数基本定理）
任何一个大于1的自然数 ，如果N不为质数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积
\(N=P_1^{a1}P_2^{a2}···P_n^{an}\) ，这里 \(P_1<P_2<···<P_n\)且均为质数，其诸指数是正整数。
这样的分解称为\(N\)的标准分解式。
- 特别要注意——分解质因数与质因数不一样，分解质因数是一个过程，而质因数是一个数.
- 一个合数分解而成的质因数最多只包含一个大于 sqrt(n)sqrt(n) 的质因数（反证法，若 nn 可以被分解成两个大于 sqrt(n)sqrt(n) 的质因数，则这两个质因数相乘的结果大于 nn ，与事实矛盾）
- 质因子（质因数）在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。
- 两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为 11 没有质因子，11 与任何正整数（包括 11 本身）都是互质。
- 只有一个质因子的正整数为质数。
- 当枚举到某一个数 \(i\) 的时候，\(n\) 的因子里面已经不包含 \([2,i−1]\) 里面的数（已经被除干净了），如果 \(n%i==0\)，则 \(i\) 的因子里面也已经不包含 \([2,i−1]\) 里面的数，因此每次枚举的数都是质数。
void divide(int x)
{
for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
if (x % i == 0)
{
int s = 0;
while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
cout << i << ' ' << s << endl;
}
if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl; // 大于sqrt(n)的数
cout << endl;
}
- 筛质数（朴素筛法）
- 步骤：把 [2,n−1][2,n−1] 中的所有的数的倍数都标记上，最后没有被标记的数就是质数.
- 原理：假定有一个数 \(p\)未被 \([2,p−1]\) 中的数标记过，那么说明，不存在 \([2,p−1]\) 中的任何一个数的倍数是 \(p\) ，也就是说 \([2,p−1]\)中不存在 \(p\) 的约数，因此，根据质数的定义可知：\(p\) 是质数.
- 调和级数:当 \(n\) 趋近于正无穷的时候，\(1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n=lnn+c1/2+1/3+1/4+1/5+…+1/n=lnn+c\)（\(c\) 是欧拉常数，约等于 0.577 左右）
- 时间复杂度：约为 \(O(nlogn)\)（注：此处的 \(log\) 特指以 \(2\) 为底）
- 埃拉托斯特尼筛法（埃氏筛）
- 要得到自然数\(n\)以内的全部素数，必须把不大于\(\sqrt{n}\)的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
- 质数定理：\(1～n\) 中有 \(\frac{n}{\ln n}\)个质数.
- 时间复杂度：\(O(nlog(logn))\)
写法一：
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if(!st[i])
{
primes[cnt ++] = i;
for(int j = 2 * i; j <= n; j += i) st[j] = true; // 埃氏筛优化，把for循环放到if外面就是朴素埃氏筛
}
}
}
写法二：
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if(!st[i]) primes[cnt ++] = i;
else continue; //埃氏筛优化
for(int j = 2 * i; j <= n; j += i) st[j] = true;
}
}
- 线性筛（欧拉筛）
- 若\(n\approx 10^6\)，线性筛和埃氏筛的时间效率差不多，若 \(n\approx 10^7\)，线性筛会比埃氏筛快了大概一倍。
- 核心：\(1～n\)内的合数 \(p\) 只会被其最小质因子筛掉。
- 原理：\(1～n\) 之内的任何一个合数一定会被筛掉，而且筛的时候只用最小质因子来筛，然后每一个数都只有一个最小质因子，因此每个数都只会被筛一次，因此线性筛法是线性的.
- 枚举到 \(i\) 的最小质因子的时候就会停下来，即
if (i % primes[j] == 0) break; - 当
i % primes[j] != 0时，primes[j]一定小于i的最小质因子，primes[j]一定是primes[j] * i的最小质因子. - 当
i % primes[j] == 0时，primes[j] 一定是i的最小质因子，而primes[j]又是primes[j]的最小质因子，因此primes[j]是primes[j] * i的最小质因子.
int primes[N], cnt; // primes[]存储所有素数
bool st[N]; // st[x]存储x是否被筛掉（非质数被筛掉，剩下的是质数）
void get_primes(int n)
{
for (int i = 2; i <= n; i ++ )
{
if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
// j < cnt 不必要，因为 primes[cnt - 1] = 当前最大质数
// 如果 i 不是质数，肯定会在中间就 break 掉
// 如果 i 是质数，那么 primes[cnt - 1] = i，也保证了 j < cnt
for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
{
st[primes[j] * i] = true;
if (i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
