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摘要： 题目分析 给定$n(n\le10^9),k(k\le 5000)$，求： $$\sum\limits_{i=0}^n\binom{n}{i}\cdot i^k$$ 利用第二类斯特林数对$i^k$进行化简。 $$ \begin{aligned} ans&=\sum_{i=0}^n\binom{n} 阅读全文

摘要： 斯特林数 第一类斯特林数 $$\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=(n 1)\begin{bmatrix}n 1\\m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n 1\\m 1\end{bmatrix}$$ 第一类斯特林数$\begin{bmatri 阅读全文

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摘要： 题目分析 显然不可能高斯消元。 考虑反演。 $b_i=\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)^C\cdot \text{lcm}(i,j)^D\cdot x_j$ $b_i=\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)^C\cdot \frac{i^D\cdot j^D 阅读全文

摘要： 题目分析 一眼看上去就像是一个模拟题目，但是$n$的范围过大。 冷静分析一下发现难点在于如何快速求出幂和。 考虑使用伯努利数。 $B_0=1$ $B_n= \frac{1}{n+1}\sum\limits_{i=0}^{n 1}\binom{n+1}{i} B_i$ $\sum\limits_{i= 阅读全文

摘要： 题目大意 给出$n(n\leq 18)$个点的无向连通图，$m(m\leq 10^5)$次询问。每次询问给出一个点集和一个起点$s$，询问从$s$出发，经过这个点集中的每一个点至少一次的期望步数。 题目分析 经过这个点集每一个点至少一次的期望步数，就是到达点集最后一个点的期望步数。这个直接算貌似不好 阅读全文

摘要： 题目分析 题目就是求第K种原料的出现期望时间。 考虑广义min max容斥。 $\text{kthmax}(S)=\sum\limits_{T\subseteq S}( 1)^{|T| k}\binom{|T| 1}{k 1}\min(T)$ 显然$\min(T)=\frac{m}{\sum\lim 阅读全文

摘要： 题目分析 与hdu4336 Card Collector相似，使用min max容斥。 设$\max(S)$表示集合$S$中最后一位出现的期望时间。 设$\min(S)$表示集合$S$中最初一位出现的期望时间。 由min max容斥可得： $\max(T)=\sum\limits_{S \subse 阅读全文

摘要： 题目分析 题目要求在树上涂上恰好$K$种颜色的方案数。 设$f(k)$表示恰好涂上$k$种颜色的方案数（答案即为$f(K)$）。 设$g(k)$表示至多涂上$k$种颜色的方案数。 显然有：$g(k)=\sum\limits_{i=1}^k\dbinom{k}{i}f(i)$ 那么二项式反演后：$f( 阅读全文

摘要： 题目分析 显然我们不可能直接计算每一个子序列的贡献，而应该计算对于每一个gcd对答案的贡献。 考虑容斥。按照套路： 设$q(i)$表示序列$gcd$为$i$的倍数的序列长度和。 设$g(i)$表示序列$gcd$为$i$的序列对答案的贡献。 设$f(i)$表示序列$gcd$为$i$的序列的容斥系数。 阅读全文