P3216 [HNOI2011]数学作业

题目大意

小\(C\)数学成绩优异，于是老师给小\(C\)留了一道非常难的数学作业题：
给定正整数\(N\)和\(M\)，要求计算\(Concatenate (1 .. N)\ Mod\ M\) 的值，其中 \(Concatenate (1 .. N)\)是将所有正整数\(1, 2, …, N\)顺序连接起来得到的数。例如，\(N = 13\), \(Concatenate(1..N)=12345678910111213\)。小\(C\)想了大半天终于意识到这是一道不可能手算出来的题目，于是他只好向你求助，希望你能编写一个程序帮他解决这个问题。

题目分析

显然矩阵快速幂。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef unsigned long long ull;
ull n,m;
struct Mat{
	ull a[5][5];
	Mat(){memset(a,0,sizeof(a));}
	ull*operator[](int x){return a[x];}
	void init(){for(int i=0;i<3;i++)a[i][i]=1;}
	Mat operator*(Mat b){
		Mat c;
		for(int i=0;i<3;i++)
			for(int j=0;j<3;j++)
				for(int k=0;k<3;k++)
					c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j])%m;
		return c;
	}
	Mat operator^(ull cnt){
		Mat ret,mul=*this;ret.init();
		for(;cnt;cnt>>=1,mul=mul*mul)if(cnt&1)ret=ret*mul;
		return ret;
	}
};
int main(){
	cin>>n>>m;
	ull now=1;
	Mat Ans,mul;
	Ans[0][0]=0;Ans[0][1]=1;Ans[0][2]=1;
	while(1){
		mul[0][0]=now*10%m;mul[0][1]=0;mul[0][2]=0;
		mul[1][0]=1;mul[1][1]=1;mul[1][2]=0;
		mul[2][0]=0;mul[2][1]=1;mul[2][2]=1;
		if(now*10<=n){
			mul=mul^(now*9);
			Ans=Ans*mul;
		}
		else{
			mul=mul^(n-now+1);
			Ans=Ans*mul;break;
		}
		now*=10;
	}
	cout<<Ans[0][0]%m<<"\n";
}
/*
13 13
12345678910 1000000000

             [10^k,0,0]
[num,next,1]*[1   ,1,0]
             [0   ,1,1]
*/