斯特林数
斯特林数
第一类斯特林数
\[\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}=(n-1)\begin{bmatrix}n-1\\m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}n-1\\m-1\end{bmatrix}
\]
第一类斯特林数\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)可以表现为生成函数
\[\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)
\]
这个生成函数的第\(k\)项即\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}\)
如果是有符号第一类斯特林数，那么其生成函数是
\[\prod_{i=0}^{n-1}(x-i)
\]
那么我们就可以用分治FFT快速算出\(\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}(1\le k\le n)\)
第二类斯特林数
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}
\]
由容斥原理
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^i\binom{m}{i}(m-i)^n
\]
再化一下
\[\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^m\frac{(-1)^i}{i!}\frac{(m-i)^n}{(m-i)!}
\]
这是一个卷积的形式，可以FFT快速算出\(\begin{Bmatrix}n\\k\end{Bmatrix}(1\le k\le n)\)
对原式二项式反演可得
\[m^n=\sum_{i=0}^m\binom{m}{i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!
\]
等价于
\[m^n=\sum_{i=0}^n\binom{m}{i}\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}i!
\]
这两个式子可以用于化一些其它的式子。。。
