【康托展开】

康托展开：

1.定义：给一个n个不同数字的排列，求所有排列中比该排列要小的个数X

2.式子：$X=a_n*(n-1)!+a_{n-1}*(n-2)!+……+a_1*0!$，其中$a_i$表示第1位到第i-1位上的数字中，比第i位（从右往左数）数字的个数小的数量。

3.例子：如 {1、2、3、4}的一个排列 {2、1、4、3}：

　　X=1*3！+0*2！+1*1！+0*1！= 7。

逆康托展开

1.猜想：既然我们可以通过1-n的一个排列S，求出X(S)，那么是否给定一个X(S)可以求出S呢？

2.结论：可以。

　　对于给定的X(S)我们第一次对（n-1）！取商和余，商即为$a_n$；

　　第二次对让第一次的余（n-2）！取商和和余，商即为$a_{n-1}$；

　　……

　　求出$a$以后，我们对$a$进行反解，即X(S)

3.例子：X(S)=7

　　X=1*3!+0*2!+1*1!+0*0!

　　所以$a$={1、0、1、0}，那么$s_4=2$，$s_3=1$，$s_2=4$，$s_1=3$。

　　反解成功。