bzoj 4916: 神犇和蒟蒻 （杜教筛+莫比乌斯反演）

题目大意：

　　读入n。

　　第一行输出“1”（不带引号）。

　　第二行输出$\sum_{i=1}^n i\phi(i)$。

题解：

　　所以说那个$\sum\mu$是在开玩笑么=。=

　　设$f(n)=n\phi(n),F(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i)$。

　　设$g=(f*id)$，则$g(n)=\sum_{d|n}id(\frac{n}{d})f(d)=n^2$。

　　设$G(n)=\sum_{i=1}^n g(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$。

　　同时将$G$完全展开我们得到：

$G(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}d*f(\frac{i}{d})$

$=\sum_{d=1}^{n}d\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d} \rfloor}f(i)$

$=\sum_{d=1}^{n}dF(\lfloor \frac{n}{d} \rfloor)$

　　由此可得：$$F(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n}F(\lfloor \frac{n}{i} \rfloor)i$$

代码：

　

#define Troy

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline int read(){
    int s=0,k=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'|ch>'9')    ch=='-'?k=-1:0,ch=getchar();
    while(ch>47&ch<='9')    s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return s*k;
}

const int N=1e6+5,mod=1e9+7;

int phi[N],prim[N],num,vis[N],F[N],f[N],n,re6=166666668,re2=500000004;
map<int,int> mp;

inline int calc(int x){
    if(x<N) return F[x];
    else    if(mp.count(x)) return mp[x];
    int ret=x*1ll*(x+1)%mod*(2ll*x+1)%mod*re6%mod;
    for(register int i=2,j;i<=x;i=j+1){
        j=x/(x/i);
        ret=(ret-(j-i+1ll)*(i+j)/2%mod*calc(x/i)%mod)%mod;
        if(ret<0)   ret+=mod;
    }
    return mp[x]=ret;
}

int main(){
    n=read();puts("1");
    register int i,j,k;
    phi[1]=1;
    for(i=2;i<N;++i){
        if(!vis[i]) prim[++num]=i,phi[i]=i-1;
        for(j=1;(k=prim[j]*i)<N;++j){
            vis[k]=true;
            if(i%prim[j]){
                phi[k]=phi[i]*1ll*(prim[j]-1)%mod;
                continue;
            }  
            phi[k]=phi[i]*1ll*prim[j]%mod;break;
        }
    }
    for(i=1;i<N;++i)    f[i]=1ll*phi[i]*i%mod,F[i]=(F[i-1]*1ll+f[i])%mod;
    printf("%d\n",(calc(n)+mod)%mod);
}