【codeforces 718E】E. Matvey's Birthday
题目大意&链接：
http://codeforces.com/problemset/problem/718/E
给一个长为n（n<=100 000）的只包含‘a’~‘h’8个字符的字符串s。两个位置i,j(i!=j)存在一条边，当且仅当|i-j|==1或s[i]==s[j]。求这个无向图的直径，以及直径数量。
题解：
命题1：任意位置之间距离不会大于15。
证明：对于任意两个位置i，j之间，其所经过每种字符不会超过2个（因为相同字符会连边），所以i，j经过节点至多为16，也就意味着边数至多为15。
然后我们对于每个节点，需要计算出其与其他节点距离，当然为了不重复，只需考虑pos小于当前节点的位置。此时我们分为两种情况：
1.|i-j|<=15;
2.|i-j|>15。
对于第一种我们是取|i-j|与i先到达一种字母，j也到达这种字母距离和取较小值。所以我们设
$F[i][c]$表示i节点到达c这种字母的最小距离。即i到j的距离为：$min(|i-j|,F[i][c]+1+F[j][c])$。
命题2：i与j到达的同一种字母的位置如果相同，一定不是最优解。
证明：假设到达同一个位置，那么只可能是通过这个位置的左右两个节点。那么，对于到达左右这两个节点如果其路径之间不存在相同的字母，那么其距离和|i-j|相同，如果存在相同字母，则一定比当前方式短。综上所述，到达同一位置一定不是最短路。
对于第二种，我们由命题1可知，其距离不会大于15。我们再来看一个命题：
命题3：设$dis[c1][c2]$表示c1字母到达c2字母的最小距离，那么我们有，若$s[i]==c1$，则$dis[c1][c2]<=F[i][c2]<=dis[c1][c2]+1$。
证明：这个……显然吧？
我们此时考虑对于第二种情况下的j，|i-j|一定不是最短的，所以一定是从$F[i][c]+1+F[j][c]$中选取最小值，那么由命题3可知，我们并不需要其确切位置，仅需知道$F[i][c]$与$dis[ci][c]$之间的关系，然后我们可以用一个二进制数$mark[j]$来表示其与$dis[cj][c]$之间的关系，然后我们把关系相同（即mark[j]相同）的j统计其数量，然后再求一下此时i与某一种mark之间的最短路即可。
代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<cstring> 3 #include<iostream> 4 using namespace std; 5 const int N=100100; 6 int n,f[N][16],dis[20][20]; 7 char s[N]; 8 int q[N],d[N]; 9 int mark[N]; 10 int c[N][1<<8]; 11 inline void bfs(int c){ 12 int l=0,r=0; 13 for(int i=1;i<=n;i++)if(s[i]-'a'==c){ 14 q[r++]=i,d[i]=0; 15 }else d[i]=-1; 16 bool vis[16]={0}; 17 vis[c]=true; 18 while(l<r){ 19 int now=q[l++]; 20 if(!vis[s[now]-'a']){ 21 vis[s[now]-'a']=true; 22 for(int i=1;i<=n;i++) 23 if(s[i]==s[now]&&d[i]==-1){ 24 d[i]=d[now]+1; 25 q[r++]=i; 26 } 27 } 28 if(now>1&&d[now-1]==-1) q[r++]=now-1,d[now-1]=d[now]+1; 29 if(now<n&&d[now+1]==-1) q[r++]=now+1,d[now+1]=d[now]+1; 30 } 31 for(int i=1;i<=n;i++) 32 if(d[i]!=-1)f[i][c]=d[i]; 33 } 34 int main(){ 35 // freopen("1.out","w",stdout); 36 scanf("%d",&n); 37 scanf("%s",s+1); 38 memset(f,0x3f,sizeof(f)); 39 for(int i=0;i<8;i++) 40 bfs(i); 41 memset(dis,0x3f,sizeof(dis)); 42 for(int i=1;i<=n;i++) 43 for(int j=0;j<8;j++) 44 dis[s[i]-'a'][j]=min(dis[s[i]-'a'][j],f[i][j]); 45 for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=0;j<8;j++) 46 if(f[i][j]>dis[s[i]-'a'][j]) mark[i]|=1<<j; 47 // for(int i=1;i<=n;i++) 48 // printf("mark[%d]=%d\n",i,mark[i]); 49 int ans=0; 50 long long cnt=0; 51 for(int i=1;i<=n;i++){ 52 for(int j=max(i-15,1);j<i;j++){ 53 int now=i-j; 54 for(int k=0;k<8;k++) 55 now=min(now,f[j][k]+1+f[i][k]); 56 if(now==ans) cnt++; 57 if(now>ans) ans=now,cnt=1; 58 } 59 int t=i-16; 60 if(t>=1) c[s[t]-'a'][mark[t]]++; 61 for(int j=0;j<8;j++) for(int k=0;k<256;k++) 62 if(c[j][k]){ 63 int now=0x7fffffff; 64 for(int l=0;l<8;l++){ 65 now=min(now,dis[j][l]+1+f[i][l]+((k&(1<<l))>>l)); 66 //printf("%d\n",(k&(1<<l))>>l); 67 } 68 if(now==ans) cnt+=c[j][k]; 69 if(now>ans) ans=now,cnt=c[j][k]; 70 } 71 } 72 printf("%d %lld\n",ans,cnt); 73 }
