【bzoj1045】【HAOI2008】 糖果传递

Description

　　有n个小朋友坐成一圈，每人有ai个糖果。每人只能给左右两人传递糖果。每人每次传递一个糖果代价为1。

Input

　　第一行一个正整数n<=987654321，表示小朋友的个数．接下来n行，每行一个整数ai，表示第i个小朋友得到的
糖果的颗数．

Output

　　求使所有人获得均等糖果的最小代价。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

题解：

　　膜黄学长。

　　首先求出平均数$p$,然后设$x_{i}$表示第i个人要给第$i-1(MOD)n$个人糖果的数量，然后得到$n$个形如$p==a_{i}-x_{i}+x_{i+1}$的方程。

　　全部展开就是：

　　$$p==a_{1}-x_{1}+x_{2}\rightarrow x_{2}==p-a_{1}+x_{1}$$

　　$$p==a_{2}-x_{2}+x_{3}\rightarrow x_{3}==2p-a_{1}-a_{2}+x_{1}$$

　　$$...$$

　　$$p==a_{n}-x_{n}+x{1}\rightarrow x_{1}==x_{1}$$

　　此时我们设$f_{i}=\sum_{x=1}^{i-1}a_{i}-(i-1)p$,上面的方程就可以写作：

　　$$x_{2}==x_{1}-f_{2}$$

　　$$x_{3}==x_{1}-f_{3}$$

　　$$...$$

　　$$x_{1}==x_{1}$$

　　所以$ans=\sum_{i=1}^{n}|x_{i}|=\sum_{i=1}^{n}|x_{1}-f_{i}|$。

　　将其转化到数轴上就是求一个点$x_{1}$，使此点距离所有的$f_{i}$之和最小。

　　然后思考，将$f$排序，假设$f_{i}<=x_{1}<=f_{i+1},i\in[1,n]$（显然我们可以知道，$x_{1}$小于或大于$f$极值是不优的）。

　　那么我们可以将$f$数组从i这个位置分成两部分。

　　我们先假设$i<\frac{n}{2}$($i>\frac{n}{2}$可以类比)。

　　$$ans=\sum_{j=1}^{i}(f_{n-j+1}-f_{x})+\sum_{j=i+1}^{n-i}f_{j}-x_{1}$$

　　再化简一下就是：

　　$$ans=\sum_{j=1}^{\frac{n}{2}}(f_{n-j+1}-f_{j})+\sum_{j=i+1}^{\frac{n}{2}}2(f_{i}-x_{1})$$

　　然后就显然了，当我们让后面的最小时，答案最小。

　　所以时，答案最小。

　　记得开long long。

#include<cstdio>

#include<algorithm>

const int N=(int)1e6+10;

inline int read(){

int s=0,k=1;char ch=getchar();

　　while(ch<'0'||ch>'9') k=ch=='-'?-1:k,ch=getchar();

　　while(ch>47&&ch<='9') s=s*10+(ch^48),ch=getchar();

　　return s*k;

}

int n;

int a[N],f[N];

inline int abs(int x){return x>0?x:-x;}

int main(){

　　n=read();

　　long long tot=0;

　　for(int i=1;i<=n;i++){

　　　　tot+=(a[i]=read());

　　}

　　tot/=n;

　　f[1]=0;

　　for(int i=2;i<=n;i++)

　　f[i]=f[i-1]-tot+a[i];

　　std::sort(f+1,f+n+1);

　　int mid=f[(n>>1)+1];

　　long long ans=0;

　　for(int i=1;i<=n;i++)

　　ans+=abs(f[i]-mid);

　　printf("%lld\n",ans);

}