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IX.CF622F The Sum of the k-th Powers 看上去这题是上一题的弱化版，但其实不是——上题我们要筛出式子，但是这题我们要保证复杂度。 首先，我们打算选取$0\sim k+1$，共$k+2$个点进行插值。我们设$f_x=\sum\limits_x ik$。 则由拉格朗日插 阅读全文
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VIII.[TJOI2018]教科书般的亵渎 这题主要是介绍拉格朗日插值模板那题中，我们提到的“求出$f(x)$的多项式表达”的做法。 首先，这题显然如果我们令$f(x)=\sum\limits_i{m+1}$，且$a_{m+1}=n+1$的话，答案就是 \(\sum\limits_{i=1}^{m 阅读全文
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VII.【模板】拉格朗日插值 我们之前一直在研究多项式。但是多项式都是从哪来的呢？ 所以拉格朗日插值就给了我们一种求多项式的方式。具体而言，运用拉格朗日插值，你可以根据$n+1$个点求出一个$n$次多项式来经过这所有点。 我们来看一下这具体是怎么实现的。 我们定义拉格朗日基本多项式为： \(\box 阅读全文
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namespace Poly{ const int N=1<<20; const int mod=998244353; const int G=3; int n,rev[N],f[N],g[N],all; int ksm(int x,int y){ int rt=1; for(;y;x=(1llxx 阅读全文
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VII.【模板】多项式除法 首先，为了方便，我们将$n$和$m$各自加一。 我们设$F^T$为$F$的翻转，更准确的定义为 \(F^T(x)=x^{n-1}F(\dfrac{1}{x})\) 现在我们考虑推式子。 由题意， \(F(x)=(GQ)(x)+R(x)\) 因为这个$x$是无实意的，故我们 阅读全文
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VII.【模板】多项式幂函数 (加强版) 可以看到这题与上题的唯一区别就是$a_0$的取值。 因为我们之前在$\ln$的时候，是要求$a_0=1$的；而这题不保证$a_0=1$，咋办呢？ 我们考虑到当$a_0\neq0$时，我们有 \(a^k=(\dfrac{a}{a_0})^k\times(a_0 阅读全文
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VI.【模板】多项式快速幂 我们要求$g=f^k$ 两边求$\ln$得到 \(\ln g=k\ln f\) 然后再幂回去 \(g=e^{k\ln f}\) 于是一次$\ln$，一次$\exp$即可解决。 关于那个超大的$k$，在读入的时候直接$\bmod$上去即可。 时间复杂度$O(n\log n) 阅读全文
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VI.【模板】多项式开根（加强版） 这题和上题唯一的区别就是$a_0$的取值——本题$a_0$不一定为$1$。 咋办呢？ 我们观察到里面有一句话： 保证$a_0$是$\bmod\ 998244353$下的二次剩余。 二次剩余？这是啥？能吃吗？ 这时，你突然想起曾经看到过一道模板题： 【模板】二次剩余 阅读全文
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V.【模板】多项式开根 同之前无数题一样，我们设已知$b2\equiv A\pmod{xm}$，并且我们想求出一个$B$使得$B2\equiv A\pmod{x{2m}}$。 首先，显然有 \(B-b\equiv0\pmod{x^m}\) 老套路，平方一下，得到 \(B^2-2Bb+b^2\equi 阅读全文
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IV.【模板】多项式指数函数（多项式 exp） 本题有两种解法，一种比较好理解，一种比较通用（并且速度快）。 首先法一便是分治FFT解法。 我们有 \(B=e^A\) 于是两边求导，得到 \(B'=A'e^A\) 因为又有$B=e^A$，代入得 \(B'=A'B\) 我们再积分回去，得到 \(\in 阅读全文