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2.狄利克雷卷积与数论函数 在1.v.[NOI2010]能量采集中，我们第一次认识到了狄利克雷卷积这个概念。下面我们将介绍它的更多性质。 我们之前得到了如下性质： \(\boxed{h(n)=(f*g)(n)\Leftrightarrow h(n)=\sum_{d|T}f(d)*g(\dfrac{T 阅读全文
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ix.[51Nod1222]最小公倍数计数 求 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]\)。 考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\ 阅读全文
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viii.[SDOI2017]数字表格 题意：求出 \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\)，其中$f$是斐波那契数列。 就算是积，我们也一样能反演，只是反演到了指数头上。 \(\begin{aligned}\prod_{i= 阅读全文
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vii.[SDOI2014]数表 仍然是线性筛筛各种东西。我们引出一个东西$\sigma(x)=\sum\limits_{d|n}d$，也就是$x$的约数和。这个东西明显是积性函数。设$x=\prod\limits_n(P_i)\(，则\)\sigma(x)=\prod\limits_n(\sum\ 阅读全文
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vi.于神之怒加强版 在这之前，我们引出一个数论函数$idk(x)=xk$。这个函数就是整数域上的$k$次函数。很明显，它是积性函数，准确地说，是完全积性函数。 它的两个特例，一是$k=1$，就是我们之前提到的$id$函数。二是$k=0$，即$id0$函数。因为$\forall x\in\mathb 阅读全文
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v.[NOI2010]能量采集 真正自己做出来的第一道莫反题祭~~~~ 题意： 求$\sum_^n\sum_^m(2\gcd(i,j)-1)$。 开始推式子： \(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2\gcd(i,j)-1) & =2\sum_{i=1} 阅读全文
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iv.[SDOI2015]约数个数和 完蛋了，我们前几题里面都有$\gcd(\dots)$，但是这道题没有，怎么办呢？ 引理： \(\boxed{d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)==1]}\) 换句话说，两个数$(i,j)$积的因数 阅读全文
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iii.[HAOI2011]Problem b 第一道自己做出来的莫比乌斯反演题祭~~~ 实际上就是对上一道题套上一个类似于二维前缀和的东西。 把上一道题的东西的答案设为$calc(a,b,d)$， 则依据容斥原理，本题答案即为$calc(b,d,k)-calc(a-1,d,k)-calc(b,c- 阅读全文
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ii.[POI2007]ZAP-Queries 如果前一道题没有听懂的话，是我的锅。毕竟这道题应该放在第一道题，上一道题明显是这道题的升级版。 首先，观察一下题目，发现这道题让我们求的就是上一道题中的$f(d)$。 我们再来推一下$f(d)$： 设$f(x)\(为\)\gcd(i,j)=x$的个数， 阅读全文
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I.YY的GCD 这就是莫比乌斯反演？咋长得不像呢？ 我们看一下式子： \(ans=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)\ is\ prime]\)。其中方括号相当于强制把方括号内的东西转成$bool$形。 完蛋了，这个里面看不到任何函数， 阅读全文