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I.[JOISC2014]歴史の研究 解法1.普通莫队 普通莫队要保证复杂度是一个根号，须确保插入/删除一个数均是 \(O(1)\)，而询问在 \(O(\sqrt n)\) 以内。 关于本题，最好的分块维护方式，是对一个出现了 \(cnt_x\) 次的元素 \(x\)，将 \(1\times x,2 阅读全文
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IV.LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和 首先先考虑莫反推一波式子。 \(\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf^k\Big(\gcd(i,j)\Big)\\=&\sum 阅读全文
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III.UOJ#188. 【UR #13】Sanrd 题意：求 \(\sum\limits_{i=l}^rf(i)\)，其中 \(f(i)\) 为 \(i\) 的次大质因子。 显然其可以被转为两个前缀和相减的形式。 明显 \(f(i)\) 并非积性函数，所以常规min25筛处理不了。但是我们可以用非 阅读全文
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II.LOJ#6053. 简单的函数 重申一下min25筛应用的条件： 是积性函数。 质数处取值是低阶多项式。 质数次幂处取值可以快速求出。 满足以上三点的任意函数均可以min25筛。 现在看到这题。乍一看 \(p\operatorname{xor}a\) 这种东西看上去一脸非多项式的样子；但是因为 阅读全文
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4.min25筛 听说这玩意能干杜教筛干不了的事？ 同杜教筛一样，这也是用来求积性函数前缀和的东西。其复杂度为 \(O(\dfrac{n^{0.75}}{\log n})\)，大部分时候要略优于杜教筛。 min25筛作用的积性函数，应保证对于一切质数 \(p\)，\(f(p)\) 均是有关 \(p\ 阅读全文
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VII.[NOI2016] 循环之美 依据小学数论知识，我们要求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\) 因为后面的 \(k\) 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}& 阅读全文
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VI.LJJ爱数数 题目给出要求这样的东西 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\) 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra 阅读全文
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V.Product 要求这个东西： \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\) 开始推式子。 \(\begin{aligned}\\&\prod_{i=1}^n\prod 阅读全文
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IV.Lcm 既然上一道题中的DZY都能自定义函数，那我们为什么不能呢？ 定义$f(x)$为$x$中是否含有平方项。没有则为$1$，有则为$0$。显然，它是积性函数。而我们要求的，就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\dfrac{ij}{\gcd(i,j)}f(\gcd(i,j 阅读全文
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III.DZY Loves Math 题意：求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\)，其中$f(x)$表示$x$的所有质因数中次数最高的一个的次数。 近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\ 阅读全文