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IV.LOJ#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和 首先先考虑莫反推一波式子。 \(\begin{aligned}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nf^k\Big(\gcd(i,j)\Big)\\=&\sum 阅读全文
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III.UOJ#188. 【UR #13】Sanrd 题意：求 \(\sum\limits_{i=l}^rf(i)\)，其中 \(f(i)\) 为 \(i\) 的次大质因子。 显然其可以被转为两个前缀和相减的形式。 明显 \(f(i)\) 并非积性函数，所以常规min25筛处理不了。但是我们可以用非 阅读全文
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II.LOJ#6053. 简单的函数 重申一下min25筛应用的条件： 是积性函数。 质数处取值是低阶多项式。 质数次幂处取值可以快速求出。 满足以上三点的任意函数均可以min25筛。 现在看到这题。乍一看 \(p\operatorname{xor}a\) 这种东西看上去一脸非多项式的样子；但是因为 阅读全文
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4.min25筛 听说这玩意能干杜教筛干不了的事？ 同杜教筛一样，这也是用来求积性函数前缀和的东西。其复杂度为 \(O(\dfrac{n^{0.75}}{\log n})\)，大部分时候要略优于杜教筛。 min25筛作用的积性函数，应保证对于一切质数 \(p\)，\(f(p)\) 均是有关 \(p\ 阅读全文
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VII.[NOI2016] 循环之美 依据小学数论知识，我们要求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m[\gcd(i,j)=1][\gcd(j,k)=1]\) 因为后面的 \(k\) 是个常数，所以我们就想把它搞出来。 \(\begin{aligned}& 阅读全文
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VI.LJJ爱数数 题目给出要求这样的东西 \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}\) 开始胡搞 \(\begin{aligned}\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}&=\dfrac{1}{c}\\\dfrac{a+b}{ab}&=\dfra 阅读全文
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V.Product 要求这个东西： \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^n\dfrac{\operatorname{lcm}(i,j)}{\gcd(i,j)}\) 开始推式子。 \(\begin{aligned}\\&\prod_{i=1}^n\prod 阅读全文
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IV.Lcm 既然上一道题中的DZY都能自定义函数，那我们为什么不能呢？ 定义$f(x)$为$x$中是否含有平方项。没有则为$1$，有则为$0$。显然，它是积性函数。而我们要求的，就是 \(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\dfrac{ij}{\gcd(i,j)}f(\gcd(i,j 阅读全文
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III.DZY Loves Math 题意：求 \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^mf(\gcd(i,j))\)，其中$f(x)$表示$x$的所有质因数中次数最高的一个的次数。 近乎套路的一堆操作后，我们得到了 \(\sum\limits_{i=1}^{\ 阅读全文
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II.[CQOI2015]选数 我们要求这个东西： \(\sum\limits_{a_1=L}^R\sum\limits_{a_2=L}^R\dots\sum\limits_{a_n=L}^R[\gcd\limits_{i=1}^n(a_i)=k]\) 老套路，除一下，得到 \(\sum\limit 阅读全文
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I.简单的数学题 在做这题之前，我们先来见一位老朋友： \(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n\gcd(i,j)\) 我们在1.v.[NOI2010]能量采集中就已经接触到了这道题。当时我们运用了$\sum\limits_{d|n}\mu(d)=[n=1]\ 阅读全文
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3.杜教筛 之前在做莫反的题时，有很多题都需要用到杜教筛，因而我非常不爽。因此便来研究杜教筛了。 杜教筛可以干什么？ 在非线性时间内（准确说，\(O(n^{\frac{2}{3}})\)）求出某些积性函数的前缀和。例如，\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)。 怎么办呢？ 假设我们要求$S(n 阅读全文
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2.狄利克雷卷积与数论函数 在1.v.[NOI2010]能量采集中，我们第一次认识到了狄利克雷卷积这个概念。下面我们将介绍它的更多性质。 我们之前得到了如下性质： \(\boxed{h(n)=(f*g)(n)\Leftrightarrow h(n)=\sum_{d|T}f(d)*g(\dfrac{T 阅读全文
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ix.[51Nod1222]最小公倍数计数 求 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\operatorname{lcm}(i,j)\in[a,b]\Big]\)。 考虑差分，问题转换为 \(\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}\Big[\ 阅读全文
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viii.[SDOI2017]数字表格 题意：求出 \(\prod\limits_{i=1}^n\prod\limits_{j=1}^mf_{\gcd(i,j)}\)，其中$f$是斐波那契数列。 就算是积，我们也一样能反演，只是反演到了指数头上。 \(\begin{aligned}\prod_{i= 阅读全文
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vii.[SDOI2014]数表 仍然是线性筛筛各种东西。我们引出一个东西$\sigma(x)=\sum\limits_{d|n}d$，也就是$x$的约数和。这个东西明显是积性函数。设$x=\prod\limits_n(P_i)\(，则\)\sigma(x)=\prod\limits_n(\sum\ 阅读全文
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vi.于神之怒加强版 在这之前，我们引出一个数论函数$idk(x)=xk$。这个函数就是整数域上的$k$次函数。很明显，它是积性函数，准确地说，是完全积性函数。 它的两个特例，一是$k=1$，就是我们之前提到的$id$函数。二是$k=0$，即$id0$函数。因为$\forall x\in\mathb 阅读全文
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v.[NOI2010]能量采集 真正自己做出来的第一道莫反题祭~~~~ 题意： 求$\sum_^n\sum_^m(2\gcd(i,j)-1)$。 开始推式子： \(\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m(2\gcd(i,j)-1) & =2\sum_{i=1} 阅读全文
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iv.[SDOI2015]约数个数和 完蛋了，我们前几题里面都有$\gcd(\dots)$，但是这道题没有，怎么办呢？ 引理： \(\boxed{d(ij)=\sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}[\gcd(x,y)==1]}\) 换句话说，两个数$(i,j)$积的因数 阅读全文
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iii.[HAOI2011]Problem b 第一道自己做出来的莫比乌斯反演题祭~~~ 实际上就是对上一道题套上一个类似于二维前缀和的东西。 把上一道题的东西的答案设为$calc(a,b,d)$， 则依据容斥原理，本题答案即为$calc(b,d,k)-calc(a-1,d,k)-calc(b,c- 阅读全文