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XXXII.[AGC005F] Many Easy Problems 直接计算恐怕不太容易，正难则反，考虑一个节点何时不被包含在一个连通块内。 显然，假如我们以当前节点为根，则当且仅当集合中所有节点同处在其某一个儿子的子树内，当前节点不在连通块内。 我们设 \(f(i,j)\) 表示节点 \(i\) 阅读全文
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XXXI.[CTS2019]珍珠 设$cnt_i$为$i$颜色的出现次数。 则由题意，应有$\sum\limits_^\left\lfloor\dfrac{2}\right\rfloor\geq m$ 下面开始颓式子： \(\begin{aligned}\sum\limits_{i=1}^{D}\l 阅读全文
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XXX.calc加强版 没错，这题还有个加强版，要从多项式角度考虑了。 首先，很容易就能想到，单个数$a$的生成函数即为$1+ax$，而我们要求的就是$\prod\limits_^(1+ix)$这个多项式的前$n$项的系数。 我们在之前XV.付公主的背包中也碰见过类似的形式。于是我们可以直接套上一个 阅读全文
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XXIX.[集训队互测2012] calc 考虑DP。 我们设$f(i,j)$表示所有有$i$个数，且每个数都处于$[1,j]$区间内的递增序列的值之和。则答案即为$f(n,m)\times n!$（因为题目中不限制只有递增序列） 我们考虑DP，则有 \(f(i,j)=f(i-1,j-1)\time 阅读全文
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XXVIII.[NOI2017]泳池 常系数齐次线性递推的应用。 我们首先将问题转换为（面积小于等于$K$的方案数）减去（面积小于等于$K-1$的方案数）。 然后考虑两个东西分别DP。我们设当前考虑的是面积小于等于$m$的情况。 我们设$f_{i,j}$表示考虑一段长为$i$的沙滩，其中前$j-1$ 阅读全文
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XXVII.【模板】常系数齐次线性递推 题意：已知$f_0,\dots,f_$，且对于$k\geq m$，有 \(f_k=\sum\limits_{i=1}^ma_if_{k-i}\) 其中$a_1,\dots,a_m$是给定的系数。 求$f_n$。 我们一个naive的思路就是矩阵快速幂。 考虑设 阅读全文
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XVI.WD与积木 本题有两种思路。 首先，两种思路共同的地方在于都将期望化成了$\dfrac{\text{所有方案一共的层数}}{\text{总共的方案数}}\(。我们设其为\)\dfrac$。 思路1：从DP开始 我们先考虑求出$g_n$。 我们有 \(g_n=\sum\limits_{i=1} 阅读全文
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XXV.玩游戏 我们考虑令$f(p)$表示游戏的“$p$次价值”的期望。 则按照期望定义，我们有 \(f(p)=\dfrac{\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^m(a_i+b_j)^p}{nm}\) 考虑二项式暴力展开，得到 \(f(p)=\dfrac{\su 阅读全文
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XXIV.CF960G Bandit Blues 我们注意到，$n$一定是前缀最大值中最靠右的一个以及后缀最大值中最靠左的一个。换句话说，我们在位置$n$可以将整个排列划成两半，前一半中恰有$a-1$个前缀最大值，而后一半中恰有$b-1$个后缀最大值。 显然两半的问题是相同的，因为后缀最大值在翻转序 阅读全文
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XVIII.CF848E Days of Floral Colours 大部分FFT题都是用来优化DP的…… 首先，我们看向环上的某个位置$i$（自动对$2n$取模）： \(\dots,(i-2),(i-1),i,(i+1),(i+2),\dots\) 它有如下几种配对： \((i,i+n)\)。 阅读全文
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XVII.CF773F Test Data Generation 首先先把题意翻译成人话，就是满足两个条件： $n$为奇数。 $a_n$为$a$中含有最少$2$次幂的因子的数，且$a_n$中至少含有一个$2$。 第一个限制很好满足，但是第二个咋办呢？ 我们再来翻译一下，就是将所有数同除以$2$的一个 阅读全文
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XVI.「SWTR-03」Counting Trees 说起来他们那场比赛还找我帮忙验了这题来着的，然后我$50%$暴力都不会 先说结论：任何度数之和等于$2m-2$的$m$个节点，都可以构成至少一颗树。该结论可以通过一个名叫prufer序列的神奇玩意证出。 于是我们现在就有这样的判别式： \(\s 阅读全文
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XV.付公主的背包 注意这份题解中$f_i$的意义是$f$的$i$次项系数，而$f_i(x)$的意义是第$i$个多项式！ 对于每个商品，设它的体积为$v$，则我们可以设一个$f$，其中$f_i=[v|i]$。 则最终的答案，就是所有商品的$f$的卷积。 我们把$f$写成函数的形式，它就变成$f(x) 阅读全文
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XV.UVA12298 Super Poker II 我们设$f_{i,j}$表示遍历完前$i$种花色后，有多少种方案凑出和为$j$来。 再设$g_{i,j}$表示第$i$种花色是否存在点数为$j$的牌。 则有$f_{i,j}=\sum\limits_^jf_{i-1,k}\times g_{i,j 阅读全文
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XIV.CF553E Kyoya and Train 题解 阅读全文
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XIII.CF623E Transforming Sequence 这题仔细一想还挺简单的……但是我一直在想有标号的DP，但实际上只需要用无标号DP即可…… 首先，一眼可以看出当$n>k$时无解，可以直接特判掉。 则我们设$f[i][j]$表示当前填到第$i$个数，且前$i$个数$\operator 阅读全文
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XII.差分与前缀和 打 表 出 奇 迹 我们先考虑前缀和。 对于两个下标$i,j$，我们考虑$k$阶前缀和后，位置$j$会被加上多少个$a_i$。显然，加上$a_i$的数量，仅与$j-i$的值有关。 于是我们就打表辣 \(k\) \ \(j-i\) 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 阅读全文
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XI.CF438E The Child and Binary Tree 经 典 老 题 我们可以设一个$G$，其中$G_x=[\exists\ i\ \text\ c_i=x]$，即是否存在$x$这个值。 我们再设$F_x$表示权值为$x$的二叉树的方案数。很明显有$F_0=1$。 则我们枚举树根的 阅读全文
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XI.[集训队作业2013]城市规划 各类计数问题是多项式最常见的场景。 这里有一个套路，就是设$f(x)$为合法个数，$g(x)$为全部个数，然后往往$g$可以被$f$与$g$表示出来，且$g$本身有通项公式，然后就可以简单求解了。 例如这题。我们设$f(x)$为联通图个数，$g(x)$为全部无向 阅读全文
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X.拉格朗日插值2 从这题开始，拉格朗日插值就逐渐同多项式同流合污了。 我们列出式子： \(f(m+i)=\sum\limits_{j=0}^nf(j)\prod\limits_{k\neq j}\dfrac{m+i-k}{j-k}\) 借鉴前面的思想，我们将它转成了 \(f(m+i)=\sum\l 阅读全文