时与空的夹缝中转圜的古烈干

$$\newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\dt}{\dot} \newcommand{\ddt}{\ddot} \newcommand{\h}{\hat}$$

前传（？）：圣瘸子帖木儿将变幻福音播撒向全世界。

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Lamé 系数是纯粹的坐标系不含时变换，但是坐标系可以比较畸形，只要其仍是几乎处处微分同胚即可。

另一个角度是，坐标系现在也在含时变换，但好处是可以认为任意时刻的坐标系都是 Cartasian 的，即存在一组处处相同的正交基。

坐标系含时变换可以一概用两个事物描述：

• $\b V(t)$，描述坐标系原点的运动。
• $\b\Omega(t)$，描述坐标系正交基的转动。

令 R 为基准坐标系，其是非惯性系。令 R' 为运动的坐标系，则位矢 $\b r$ 在二者中的关系是

$$\b r=\b R(t)+\b r'$$

其中 $\b R(t)$ 是 R' 原点在 R 中的坐标，也可以看做是 $\int_0^t\b V(t')\d t$。这是因为位矢本身只与原点有关，与坐标系的旋转无关；坐标系则关系着位矢的分解。因为我们接下来仅考虑某个具体 $t$ 时刻的信息，所以会省略 $(t)$。

已知 $\b r=\b R+\b r'$。现在考虑 $\b v$ 和 $\b v'$ 的关系。

$$\b r'=x'\h{\b x'}+y'\h{\b y'}+z'\h{\b z'} \\\dot{\b r'}=\dt{x'}\h{\b x'}+\dt{y'}\h{\b y'}+\dt{z'}\h{\b z'}+x'\dt{\h{\b x'}}+y'\dt{\h{\b y'}}+z'\dt{\h{\b z'}} \\=\b v'+\b \Omega\times\b r'$$

这里注意一点，如果要考虑 $\b v'$ 和 $\b a'$，则此时应该完全放到 R' 系下去分析，此时 R' 是静止的，变动的反倒是 R，因此 $\b v'=(\dt{x'},\dt{y'},\dt{z'})$，而 $\b a'=(\ddt{x'},\ddt{y'},\ddt{z'})$。

对 $\b r=\b R+\b r'$ 关于时间求导，即得

$$\b v=\b V+\b v'+\b\Omega\times\b r'$$

再导，得到

$$\dt{\b v}=\dt{\b V}+\dt{\b v'}+\dt{\b\Omega}\times\b r'+\b\Omega\times\dt{\b r'}$$

分析每一项。

• $\dt{\b V}$ 只与坐标系平移有关，因此直接记作 $\b A$ 即可。
• $\dt{\b v'}$ 与 $\dt{\b r'}$ 类似，同样可以得到 $\dt{\b v'}=\b a'+\b\Omega\times\b v'$。
• $\dt{\b\Omega}\times\b r'$ 只与坐标系旋转有关。
• $\b\Omega\times\dt{\b r'}$ 可以代入 $\dt{\b r'}$，最终得到

$$\begin{matrix} \b a=&\b A&+&\b a'&+&2\b\Omega\times\b v'&+&\dt{\b\Omega}\times\b r'&+&\b\Omega\times(\b\Omega\times\b r')& \\&\text{平移}&&\text{相对}&&\text{Coriolis}&&\text{Euler}&&\text{向心}& \end{matrix}$$

有了加速度的关系，力的关系就可以简单写成

$$\begin{matrix} \b F=&m\b A&+&\b F'&+&2m\b\Omega\times\b v'&+&m\dt{\b\Omega}\times\b r'&+&m\b\Omega\times(\b\Omega\times\b r')& \\&\text{平移惯性力}&&&&\text{Coriolis 力}&&\text{Euler 力}&&\text{向心力}& \end{matrix}$$

在只有匀速旋转的场合，有 $\b V(t)=\b0,\b\Omega=\omega\h{\b z}$，此时退化为

$$\b F=\b F'+2m\b\Omega\times\b v'-m\omega^2\h{\b r}$$