波导之力，存乎我心

$\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde} \newcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\c}{\mathtt c}$

高频电容

为圆盘电容器两端加诸驱动电压

E_{1} = E_{0} \exp (i ω t)

$E_1=E_0\exp(\i\omega t)$

其将引起磁场

B_{0} = \frac{i ω r}{2 c^{2}} E_{0} \exp (i ω t)

$B_0=\dfrac{\i\omega r}{2c^2}E_0\exp(\i\omega t)$

这个磁场反过来引起电场

E_{2} = - \frac{ω^{2} r^{2}}{4 c^{2}} E_{0} \exp (i ω t)

$E_2=-\dfrac{\omega^2r^2}{4c^2}E_0\exp(\i\omega t)$

其又将引起磁场……

累计修正得到

E = E_{0} \exp (i ω t) \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(i!)^{2}} (ω r / 2 c)^{2 i}

$E=E_0\exp(\i\omega t)\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(-1)^i}{(i!)^2}(\omega r/2c)^{2i}$

这个级数是所谓的 Bessel 级数

J_{0} (x) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(i!)^{2}} (x / 2)^{2 i}

$J_0(x)=\sum_{i=0}^\infty\dfrac{(-1)^i}{(i!)^2}(x/2)^{2i}$

于是有

E = E_{0} \exp (i ω t) J_{0} (ω r / c)

$E=E_0\exp(\i\omega t)J_0(\omega r/c)$

圆柱空腔谐振器

如果在 Bessel 函数的零点处围一圈导体，因为零点处始终没有电场，所以就算用导体让两极板短路也不会有任何影响，于是就有一个理想导体盒子内部可以有自发不停振的电磁场，此乃空腔谐振器。

矩形空腔谐振器

在无自由电荷和电流（远场）的场合，电场和磁场都满足方程 $\nabla^2\b E=\dfrac1{c^2}\ddot{\b E},\nabla^2\b B=\dfrac1{c^2}\ddot{\b B}$ 。倘若假设电磁场都是时谐波 $\b E(x,y,z,t)=\b E(x,y,z)\exp(\i\omega t)$ ，则其化为 Helmholtz 方程

\nabla^{2} E + k^{2} E = 0

$\nabla^2\b E+k^2\b E=\b0$

其中 $k=\omega/c$ 定义为波数。Helmholtz 公式搭配上无源公式 $\nabla\cdot\b E=0$ 和边界条件，是全体远场时谐波的充要条件。

对于 $\b E$ 的某一维 $E_x$ ，假设其三维独立，即有 $E=X(x)Y(y)Z(z)$ 的形式，得到 $X''/X+Y''/Y+Z''/Z+k^2=0$ 的形式。于是可以拆成三个独立方程 $X''/X+k_x^2=0$ 。（符号问题单独讨论可知只有一侧符号成立）。根据边界条件（电磁场的界面连续性）得到通解

{\begin{cases} E_{x} (z, y, z) = A \cos k_{x} x \sin k_{y} y \sin k_{z} z \\ k_{x} = \frac{m π}{a} \\ k_{y} = \frac{n π}{b} \\ k_{z} = \frac{p π}{c} \\ k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} = k^{2} \end{cases}

$\begin{cases} E_x(z,y,z)=A\cos k_xx\sin k_yy\sin k_zz \\k_x=\dfrac{m\pi}{a} \\k_y=\dfrac{n\pi}{b} \\k_z=\dfrac{p\pi}{c} \\k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2 \end{cases}$

根据 $\nabla\cdot\b E=0$ 处处成立得到 $E_x,E_y,E_z$ 三方向频率须协调，且不止需要协调还要满足额外公式，最终得到

E_{x} = A_{x} \cos k_{x} x \sin k_{y} y \sin k_{z} z E_{y} = A_{y} \sin k_{x} x \cos k_{y} y \sin k_{z} z E_{z} = A_{z} \sin k_{x} x \sin k_{y} y \cos k_{z} z k_{x} = \frac{m π}{a}, k_{y} = \frac{n π}{b}, k_{z} = \frac{p π}{c} k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} = k^{2} = ω^{2} / c^{2} A_{x} k_{x} + A_{y} k_{y} + A_{z} k_{z} = 0

$E_x=A_x\cos k_xx\sin k_yy\sin k_zz \\E_y=A_y\sin k_xx\cos k_yy\sin k_zz \\E_z=A_z\sin k_xx\sin k_yy\cos k_zz \\k_x=\dfrac{m\pi}{a},k_y=\dfrac{n\pi}{b},k_z=\dfrac{p\pi}{c} \\k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2=\omega^2/c^2 \\A_xk_x+A_yk_y+A_zk_z=0$

以上公式完美刻画了一个时谐独立电场。其对应的频率是 $\omega_{mnp}$ 。 $m,n,p$ 中至多只能有一维为零，否则易知整个电磁场就不存在了。

不妨假设矩形空腔在 $y$ 维的长度最短（为什么是 $y$ 维？因为我们认为 $z$ 维是较为特殊的一维：TE 波满足 $E_z=0$ ，TM 波满足 $B_z=0$ ，TEM 波二者皆有），此时对应的 $\omega_{101}$ 即为 TE101 模式

E_{y} = A_{y} \sin \frac{x}{a} π \sin \frac{z}{c} π B_{x} = - \frac{i}{ω} A_{y} \frac{π}{c} \sin \frac{x}{a} π \cos \frac{z}{c} π B_{z} = \frac{i}{ω} A_{y} \frac{π}{a} \cos \frac{x}{a} π \sin \frac{z}{c} π E_{x} = E_{z} = B_{y} = 0

$E_y=A_y\sin\dfrac xa\pi\sin\dfrac zc\pi \\B_x=-\dfrac\i\omega A_y\dfrac\pi c\sin\dfrac xa\pi\cos\dfrac zc\pi \\B_z=\dfrac\i\omega A_y\dfrac\pi a\cos\dfrac xa\pi\sin\dfrac zc\pi \\E_x=E_z=B_y=0$

波导

波导：沿着 $z$ 轴截面不变的中空金属筒。

波导分析时，不适宜用磁感应强度 $\b E$ ，而是用磁场强度 $\b H$ 。有 $\b B=\mu\b H$ 。

将电场分割为沿波导方向（ $z$ ）方向的电场和垂直波导方向的电场。则有

\bar{E} (x, y, z) = (\bar{e} (x, y) + e_{z} (x, y) \hat{z}) \exp (- j β z)

$\bar{\b E}(x,y,z)=(\bar{\b e}(x,y)+e_z(x,y)\hat z)\exp(-\j\beta z)$

其中， $\b e(x,y)$ 是垂直波导 (transverse，横) 分量， $e_z(x,y)$ 是沿波导 (longitudinal，纵) 分量。 $\b H$ 同理。 $\bar{\b E}$ 上面的 bar 意为这其实是振幅，若要化成真实波要乘以一个 $\exp(\j\omega t)$ 。此时 Maxwell 方程修正为

\nabla \times \bar{E} = - j ω μ \bar{H} \nabla \times \bar{H} = j ω ε \bar{B}

$\nabla\times\bar{\b E}=-\j\omega\mu\bar{\b H} \\\nabla\times\bar{\b H}=\j\omega\vare\bar{\b B}$

将其六维分别拆开来，得到六个方程。解一大坨后，得到

H_{x} = \frac{j}{k_{c}^{2}} (ω ε \frac{\partial E_{z}}{\partial y} - β \frac{\partial H_{z}}{\partial x}) H_{y} = \frac{- j}{k_{c}^{2}} (ω ε \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + β \frac{\partial H_{z}}{\partial y}) E_{x} = \frac{- j}{k_{c}^{2}} (β \frac{\partial E_{z}}{\partial x} + ω μ \frac{\partial H_{z}}{\partial y}) E_{y} = \frac{j}{k_{c}^{2}} (- β \frac{\partial E_{z}}{\partial y} + ω μ \frac{\partial H_{z}}{\partial x})

$H_x=\dfrac\j{k_c^2}\left(\omega\vare\dfrac{\p E_z}{\p y}-\beta\dfrac{\p H_z}{\p x}\right) \\H_y=\dfrac{-\j}{k_c^2}\left(\omega\vare\dfrac{\p E_z}{\p x}+\beta\dfrac{\p H_z}{\p y}\right) \\E_x=\dfrac{-\j}{k_c^2}\left(\beta\dfrac{\p E_z}{\p x}+\omega\mu\dfrac{\p H_z}{\p y}\right) \\E_y=\dfrac\j{k_c^2}\left(-\beta\dfrac{\p E_z}{\p y}+\omega\mu\dfrac{\p H_z}{\p x}\right)$

其中 $k_c^2=k^2-\beta^2$ ，被称作 截断波数(cutoff wave number)。

考虑 TEM 波的场合。此时应有 $E_z=H_z=0$ 。其能成立，当且仅当 $k_c=0$ ，则应有 $k=\beta$ 。回到 Helmholtz 方程，得到 $\nabla^2_{x,y}\bar{\b e}(x,y)=\b0$ ，即二维 Laplace 方程。而这个方程刚好与导体之间的静场相同。因此，单一导体不存在 TEM 波。
在同轴电缆的场合，定义 TEM impedence $z_{TEM}=\dfrac{E_x}{H_y}=-\dfrac{E_y}{H_x}=\dfrac{\omega\mu}{\beta}=\sqrt{\mu/\vare}=:\eta$ ，在真空时这一数值为 $377\Om$ 。
TE 波的 $z_{TE}=\dfrac k\beta\eta$ 。TM 则是 $\dfrac\beta k\eta$ 。

不是，这推导真不如不把 $x,y,z$ 拆开来一点好吧。

直接从 Helmholtz 方程组

\nabla^{2} E + k^{2} E = 0

$\nabla^2\b E+k^2\b E=\b0$

出发。假设 $\b E$ 满足 $\b E(x,y,z)=\b E(x,y)\exp(\j k_zz)$ 的传播公式，则对于 $x,y,z$ 中任一维，其对应的 $E=\b E_{x/y/z}(x,y)$ 都有

(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) E (x, y) \exp (j k_{z} z) + (k^{2} - k_{z}^{2}) E (x, y) \exp (j k_{z} z) = 0 (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}) E (x, y) + (k^{2} - k_{z}^{2}) E (x, y) = 0

$(\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2})E(x,y)\exp(\j k_zz)+(k^2-k_z^2)E(x,y)\exp(\j k_zz)=\b0 \\(\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2})E(x,y)+(k^2-k_z^2)E(x,y)=0$

这里的 $k_z$ 就是前面推导的 $\beta$ ，于是 $k^2-k_z^2=k_c^2$ 。

在矩形波导的场合，现在假设 $E(x,y)=X(x)Y(y)$ ，分离变量、结合边界条件得到

E_{x} = A_{x} \cos k_{x} x \sin k_{y} y \exp (j k_{z} z) E_{y} = A_{y} \sin k_{x} x \cos k_{y} y \exp (j k_{z} z) E_{z} = A_{z} \sin k_{x} x \sin k_{y} y \exp (j k_{z} z)

$E_x=A_x\cos k_xx\sin k_yy\exp(\j k_zz) \\E_y=A_y\sin k_xx\cos k_yy\exp(\j k_zz) \\E_z=A_z\sin k_xx\sin k_yy\exp(\j k_zz)$

同理应有 $k_x=m\pi/a,k_y=n\pi/b$ ， $k_x^2+k_y^2+k_z^2=k^2$ 。再考虑散度为零，得到 $k_xA_x+k_yA_y-\j k_zA_z=0$ 。

f_{c m n} = \frac{k_{c}}{2 π \sqrt{μ ε}} = \frac{1}{2 π \sqrt{μ ε}} \sqrt{(m π / a)^{2} + (n π / b)^{2}}

$f_{cmn}=\dfrac{k_c}{2\pi\sqrt{\mu\vare}}=\dfrac1{2\pi\sqrt{\mu\vare}}\sqrt{(m\pi/a)^2+(n\pi/b)^2}$

当 $a>b$ 时，截断模式是 $TE_{10}$ ， $f_{c10}=\dfrac1{2a\sqrt{\mu\vare}}$ ，低于该频率的波时， $\beta$ 会为虚数，此时波并非传播波，而是指数衰减波。

$Z_{TE}=\dfrac k\beta\eta$ ，其中 $\eta$ 是波导介质的特征阻抗。波导波长 $\lambda_g=\dfrac{2\pi}\beta>\dfrac{2\pi}k=\lambda$ ，相速度 $v_p=\dfrac\omega\beta>\dfrac\omega k=\dfrac1{\sqrt{\mu\vare}}$ 。群速度则是 $<c$ 。