ReINSTEIN 大战 ReISENSTEIN 大战 RePPSTEIN

$\newcommand{\bmat}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\varp}{\varphi}$

一个事件可以用一个四元组 $(x,y,z,t)$ 来定位。这个四元组必然要相对一个原点 $O$ 而建构。现在，从 $S$ 系转到沿 $x$ 轴以 $v$ 的速度匀速运动的 $S'$ 系（在两系计时同为 $t=0$ 时，认为原点重合），在 Newton 空间下，有 Galilean 变换

{\begin{cases} x^{'} = x - v t \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = t \end{cases}

$\begin{cases} x'=x-vt \\y'=y \\z'=z \\t'=t \end{cases}$

但是这不是刻画世界的应有模式。在 Minkowski 时空中，变换须满足其相关的等式

c^{2} Δ t^{' 2} - Δ x^{' 2} - Δ y^{' 2} - Δ z^{' 2} = c^{2} Δ t^{2} - Δ x^{2} - Δ y^{2} - Δ z^{2}

$c^2\Delta t'^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2$

从这个假设出发，即导出 Lorentz 变换

{\begin{cases} x^{'} = γ (- β c t + x) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ c t^{'} = γ (c t - β x) \end{cases}

$\begin{cases} x'=\gamma(-\beta ct+x) \\y'=y \\z'=z \\ct'=\gamma(ct-\beta x) \end{cases}$

其中 $\beta=\dfrac vc$ ， $\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-\beta^2}}$ 。使用矩阵语言，即有

[\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \\ z^{'} \\ i c t^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} γ & 0 & 0 & i γ β \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ - i γ β & 0 & 0 & γ \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ i c t \end{matrix}]

$\bmat{x'\\y'\\z'\\ict'}=\bmat{\gamma&0&0&i\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\gamma\beta&0&0&\gamma}\bmat{x\\y\\z\\ict}$

中间的这个矩阵称作沿 $x$ 轴 boost 的 Lorentz 变换矩阵，记作 $\Lambda$ 。

任意满足通过 $\Lambda$ 进行变化的四元组都被称作一个四元矢量。

四维时空间隔

Δ s^{2} = Δ x^{2} + Δ y^{2} + Δ z^{2} - c^{2} Δ t^{2} = ‖ v ‖^{2}

$\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2=\|\b v\|^2$

是任意坐标系下的守恒量，其中 $\b v$ 是依上述法定义的一个四元矢量。

对于两个事件，若取一个系，使得在该系中两事件先后发生于同一点，则此时两事件间隔被称作 固有时，记作 $\Delta\tau$ 。固有时只与事件有关。

在固有时下，有 $\Delta s^2=-c^2\Delta\tau^2$ ，则 $\Delta\tau=\dfrac ic\Delta s$ ；同时，有 $\Delta s^2=(v\Delta t)^2-(c\Delta t)^2$ ，可知 $\Delta t=\dfrac{i\gamma}c\Delta s$ 。于是固有时 $\Delta\tau$ 和坐标时 $\Delta t$ 的关系是

Δ τ = \frac{Δ t}{γ}

$\Delta\tau=\dfrac{\Delta t}{\gamma}$

因为 $\gamma>1$ ，所以可知：固有时最短。

四维坐标矢量 $(\b x,ict)$ ，其模长为固有的 $-c^2\tau^2$ 。

令其关于固有时 $\tau$ 的导数定义为四维速度矢量，则有四维速度矢量 $(\gamma\b v,ic\gamma)$ ，其中 $\b v$ 是 $\dfrac{\d\b x}{\d t}$ 的传统三维速度向量。四维速度的模长是固有的 $-c^2$ 。

把一个质量为 $m$ 的粒子的四维动量定义为其质量和其四维速度的乘积。其最后一个分量，再乘一个光速，就是能量。即，四维动量 $(\gamma m\b v,i\gamma m_0c)=(\b p,iE/c)$ 。其模长是固有的 $-c^2m_0^2$ 。特别地，因为动质量 $m=\gamma m_0$ ，所以其也可以被写成 $(\b p,imc)$ 的形式。

四维力是四维动量对固有时的导数，即 $(\gamma\b F,i\dfrac\gamma c\b F\cdot\b v)$ 。其三维方面指出 $\dfrac{\d\b p}{\d t}=\b F$ ，即 Newton 第二定律；其第四维方面指出 $\b F\cdot\b v=\dfrac{\d E}{\d t}$ ，即能量守恒定律。因此，四维形式的 Newton 运动定律同时涵盖了三维 Newton 定律和能量守恒定律。

四维电流是 $(\b j,ic\rho)$ 。其模长是固有的 $-c^2\rho_0^2$ ，其中 $\rho_0$ 是静电荷密度。

四维势 $(\b A,i\varp)$ 。但是，因为对于某一组确定的 $(\b E,\b B)$ ，有不止一组 $\b A,\varp$ ，因此出现了所谓的 规范冗余：对于一个时空标量场 $\chi$ ，令 $\varp\to\varp+\dfrac1c\dfrac{\p\chi}{\p t},\b A\to \b A-\nabla\chi$ ，则对应的电磁场不发生变化。此时，可以施加所谓的 Lorentz 规范以处理这种冗余。