ReINSTEIN 大战 ReISENSTEIN 大战 RePPSTEIN

\[\newcommand{\bmat}[1]{\begin{bmatrix}#1\end{bmatrix}} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\varp}{\varphi} \]

一个事件可以用一个四元组 \((x,y,z,t)\) 来定位。这个四元组必然要相对一个原点 \(O\) 而建构。现在，从 \(S\) 系转到沿 \(x\) 轴以 \(v\) 的速度匀速运动的 \(S'\) 系（在两系计时同为 \(t=0\) 时，认为原点重合），在 Newton 空间下，有 Galilean 变换

\[\begin{cases} x'=x-vt \\y'=y \\z'=z \\t'=t \end{cases} \]

但是这不是刻画世界的应有模式。在 Minkowski 时空中，变换须满足其相关的等式

\[c^2\Delta t'^2-\Delta x'^2-\Delta y'^2-\Delta z'^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2 \]

从这个假设出发，即导出 Lorentz 变换

\[\begin{cases} x'=\gamma(-\beta ct+x) \\y'=y \\z'=z \\ct'=\gamma(ct-\beta x) \end{cases} \]

其中 \(\beta=\dfrac vc\)，\(\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-\beta^2}}\)。使用矩阵语言，即有

\[\bmat{x'\\y'\\z'\\ict'}=\bmat{\gamma&0&0&i\gamma\beta\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\gamma\beta&0&0&\gamma}\bmat{x\\y\\z\\ict} \]

中间的这个矩阵称作沿 \(x\) 轴 boost 的 Lorentz 变换矩阵，记作 \(\Lambda\)。

任意满足通过 \(\Lambda\) 进行变化的四元组都被称作一个四元矢量。

四维时空间隔

\[\Delta s^2=\Delta x^2+\Delta y^2+\Delta z^2-c^2\Delta t^2=\|\b v\|^2 \]

是任意坐标系下的守恒量，其中 \(\b v\) 是依上述法定义的一个四元矢量。

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对于两个事件，若取一个系，使得在该系中两事件先后发生于同一点，则此时两事件间隔被称作 固有时，记作 \(\Delta\tau\)。固有时只与事件有关。

在固有时下，有 \(\Delta s^2=-c^2\Delta\tau^2\)，则 \(\Delta\tau=\dfrac ic\Delta s\)；同时，有 \(\Delta s^2=(v\Delta t)^2-(c\Delta t)^2\)，可知 \(\Delta t=\dfrac{i\gamma}c\Delta s\)。于是固有时 \(\Delta\tau\) 和坐标时 \(\Delta t\) 的关系是

\[\Delta\tau=\dfrac{\Delta t}{\gamma} \]

因为 \(\gamma>1\)，所以可知：固有时最短。

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四维坐标矢量 \((\b x,ict)\)，其模长为固有的 \(-c^2\tau^2\)。

令其关于固有时 \(\tau\) 的导数定义为四维速度矢量，则有四维速度矢量 \((\gamma\b v,ic\gamma)\)，其中 \(\b v\) 是 \(\dfrac{\d\b x}{\d t}\) 的传统三维速度向量。四维速度的模长是固有的 \(-c^2\)。

把一个质量为 \(m\) 的粒子的四维动量定义为其质量和其四维速度的乘积。其最后一个分量，再乘一个光速，就是能量。即，四维动量 \((\gamma m\b v,i\gamma m_0c)=(\b p,iE/c)\)。其模长是固有的 \(-c^2m_0^2\)。特别地，因为动质量 \(m=\gamma m_0\)，所以其也可以被写成 \((\b p,imc)\) 的形式。

四维力是四维动量对固有时的导数，即 \((\gamma\b F,i\dfrac\gamma c\b F\cdot\b v)\)。其三维方面指出 \(\dfrac{\d\b p}{\d t}=\b F\)，即 Newton 第二定律；其第四维方面指出 \(\b F\cdot\b v=\dfrac{\d E}{\d t}\)，即能量守恒定律。因此，四维形式的 Newton 运动定律同时涵盖了三维 Newton 定律和能量守恒定律。

四维电流是 \((\b j,ic\rho)\)。其模长是固有的 \(-c^2\rho_0^2\)，其中 \(\rho_0\) 是静电荷密度。

四维势 \((\b A,i\varp)\)。但是，因为对于某一组确定的 \((\b E,\b B)\)，有不止一组 \(\b A,\varp\)，因此出现了所谓的 规范冗余：对于一个时空标量场 \(\chi\)，令 \(\varp\to\varp+\dfrac1c\dfrac{\p\chi}{\p t},\b A\to \b A-\nabla\chi\)，则对应的电磁场不发生变化。此时，可以施加所谓的 Lorentz 规范以处理这种冗余。