ReINSTEIN 大战 ReISENSTEIN 大战 RePPSTEIN

一个事件可以用一个四元组 (x,y,z,t) 来定位。这个四元组必然要相对一个原点 O 而建构。现在,从 S 系转到沿 x 轴以 v 的速度匀速运动的 S 系(在两系计时同为 t=0 时,认为原点重合),在 Newton 空间下,有 Galilean 变换

{x=xvty=yz=zt=t

但是这不是刻画世界的应有模式。在 Minkowski 时空中,变换须满足其相关的等式

c2Δt2Δx2Δy2Δz2=c2Δt2Δx2Δy2Δz2

从这个假设出发,即导出 Lorentz 变换

{x=γ(βct+x)y=yz=zct=γ(ctβx)

其中 β=vcγ=11β2。使用矩阵语言,即有

[xyzict]=[γ00iγβ01000010iγβ00γ][xyzict]

中间的这个矩阵称作沿 x 轴 boost 的 Lorentz 变换矩阵,记作 Λ

任意满足通过 Λ 进行变化的四元组都被称作一个四元矢量。

四维时空间隔

Δs2=Δx2+Δy2+Δz2c2Δt2=v2

是任意坐标系下的守恒量,其中 v 是依上述法定义的一个四元矢量。


对于两个事件,若取一个系,使得在该系中两事件先后发生于同一点,则此时两事件间隔被称作 固有时,记作 Δτ。固有时只与事件有关。

在固有时下,有 Δs2=c2Δτ2,则 Δτ=icΔs;同时,有 Δs2=(vΔt)2(cΔt)2,可知 Δt=iγcΔs。于是固有时 Δτ 和坐标时 Δt 的关系是

Δτ=Δtγ

因为 γ>1,所以可知:固有时最短。


四维坐标矢量 (x,ict),其模长为固有的 c2τ2

令其关于固有时 τ 的导数定义为四维速度矢量,则有四维速度矢量 (γv,icγ),其中 vdxdt 的传统三维速度向量。四维速度的模长是固有的 c2

把一个质量为 m 的粒子的四维动量定义为其质量和其四维速度的乘积。其最后一个分量,再乘一个光速,就是能量。即,四维动量 (γmv,iγm0c)=(p,iE/c)。其模长是固有的 c2m02。特别地,因为动质量 m=γm0,所以其也可以被写成 (p,imc) 的形式。

四维力是四维动量对固有时的导数,即 (γF,iγcFv)。其三维方面指出 dpdt=F,即 Newton 第二定律;其第四维方面指出 Fv=dEdt,即能量守恒定律。因此,四维形式的 Newton 运动定律同时涵盖了三维 Newton 定律和能量守恒定律。

四维电流是 (j,icρ)。其模长是固有的 c2ρ02,其中 ρ0 是静电荷密度。

四维势 (A,iφ)。但是,因为对于某一组确定的 (E,B),有不止一组 A,φ,因此出现了所谓的 规范冗余:对于一个时空标量场 χ,令 φφ+1cχt,AAχ,则对应的电磁场不发生变化。此时,可以施加所谓的 Lorentz 规范以处理这种冗余。

posted @   Troverld  阅读(45)  评论(1编辑  收藏  举报
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