复变函数，自集英社归来，唐唐复活！

$\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde}$

现在我们尝试解决静电场的边值问题。这个问题有着如下模型：给定曲面上各处电势和内部的电荷分布，由唯一性原理，曲面内部的电场、电势分布随之确定。现在，我们试图解出之。

一个最朴素的场合是曲面是带电导体的边界故而是等势面，而其它位置都没有电荷。此时，在无电荷的区域，由 Gauss 定理，有

\nabla \cdot E = \frac{ρ}{ε_{0}} = 0 E = - \nabla φ \nabla^{2} φ = 0

$\nabla\cdot\b E=\dfrac\rho{\vare_0}=0 \\\b E=-\nabla\varp \\\nabla^2\varp=0$

这是一个 Lagrange 方程的形式。一般而言，这是难以求出精确解的。

但是，如果电场在某一维上几乎没有变化，则它退化为二维问题

\frac{\partial^{2} x}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} y}{\partial y^{2}} = 0

$\dfrac{\p^2x}{\p x^2}+\dfrac{\p^2y}{\p y^2}=0$

此时可以使用复变函数方法解决。

一个二维场 $\b A=A_x\b i+A_y\b j$ 与复变函数 $A+A_x+\i A_y$ 等效。

令 $\b v=v_x\b i+v_y\b j$ 是不可压缩理想液体的流速场。则 $v_x,v_y\in\mathscr C^1$ 。

若 $\b v$ 是无源场，即 $\nabla\cdot\b v=0$ ，则有

\frac{\partial v_{x}}{\partial x} = - \frac{\partial v_{y}}{\partial y}

$\dfrac{\p v_x}{\p x}=-\dfrac{\p v_y}{\p y}$

此时，令 $-v_y\d x+v_x\d y$ 是某个二元函数 $\psi$ 的全微分，则

\frac{\partial ψ}{\partial x} = - v_{y}, \frac{\partial ψ}{\partial y} = v_{x}

$\dfrac{\p\psi}{\p x}=-v_y,\dfrac{\p\psi}{\p y}=v_x$

沿着等值线 $\psi(x,y)=C$ ，有 $d\psi(x,y)=-v_y\d x+v_x\d y=0$ ，因此等值线上有 $\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{v_y}{v_x}$ 。即， $\psi$ 等值线上每一点处的向量场 $\b v$ 与等值线相切， $\psi(x,y)=C$ 是流线， $\psi$ 称作流函数。

同时，对于无旋场的 $\b v$ ，有

\frac{\partial v_{y}}{\partial x} - \frac{\partial v_{x}}{\partial y} = 0

$\dfrac{\p v_y}{\p x}-\dfrac{\p v_x}{\p y}=0$

则令 $v_x\d x+v_y\d y$ 是 $\varp(x,y)$ 的全微分，可知有 $\nabla\varp=\b v$ 。则 $\varp$ 是 $\b v$ 的势函数，其等值线为等势线。

若 $\b v$ 既无旋又无源（典型即为无电荷区域内的电场），则它同时有势函数和流函数，比较可知有

\frac{\partial φ}{\partial x} = \frac{\partial ψ}{\partial y}, \frac{\partial φ}{\partial y} = - \frac{\partial ψ}{\partial x}

$\dfrac{\p\varp}{\p x}=\dfrac{\p\psi}{\p y},\dfrac{\p\varp}{\p y}=-\dfrac{\p\psi}{\p x}$

这恰是 Cauchy-Riemann 方程。于是，

f (z) = φ (x, y) + i ψ (x, y)

$f(z)=\varp(x,y)+\i\psi(x,y)$

则是一解析函数，称作该平面场的复势。

有

v = v_{x} + i v_{y} = \frac{\partial φ}{\partial x} + i \frac{\partial φ}{\partial y} = \frac{\partial φ}{\partial x} - i \frac{\partial ψ}{\partial x} = \bar{f^{'} (z)}

$v=v_x+\i v_y=\dfrac{\p\varp}{\p x}+\i\dfrac{\p\varp}{\p y}=\dfrac{\p\varp}{\p x}-\i\dfrac{\p\psi}{\p x}=\ovl{f'(z)}$

于是有流速场 $\b v$ 对应的复变形式 $v$ 满足 $v(z)=\ovl{f'(z)}$ 的形式。

在电工学中，静电场 $\b E$ 使用满足 $\d u=-E_y\d x+E_x\d y$ 的函数作为力函数， $\d v=-E_x\d x-E_y\d y$ 的函数作为势函数， $w=u+\i v$ 作为复势，满足

E = - i \bar{f^{'} (z)}

$\b E=-\i\ovl{f'(z)}$

与流速场的复势差一个 $-\i$ 的因子乃是电工学中习惯用法。

微元 $\d z$ 在可微函数 $f(z)$ 的变换下变成了 $\d z'$ 。 $\d z$ 相对于 $\d z'$ ，有 $\arg f'(z)$ 的辐角变换和 $|f'(z)|$ 的长度伸缩；取同一点处的另一微元 $\d\tilde z$ ，类似分析则可知该变换是保角的。对于解析函数，其是处处保角的，因此也被称作保角变换。

现在我们假设要求一个不太优秀的区域内的电势分布。我们可以尝试对该区域应用保角变换，令该区域中的 $(x,y)\mapsto(\xi,\eta)$ 。然后把 $\nabla^2=\dfrac{\p^2}{\p x^2}+\dfrac{\p^2}{\p y^2}$ 用 $\xi,\eta$ 表示，然后由 $\xi,\eta$ 的 C-R 方程的一坨推导后可知，

\nabla^{2} = [{(\frac{\partial ξ}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial ξ}{\partial y})}^{2}] \frac{\partial^{2}}{\partial ξ^{2}} + [{(\frac{\partial η}{\partial x})}^{2} + {(\frac{\partial η}{\partial y})}^{2}] \frac{\partial^{2}}{\partial η^{2}}

$\nabla^2=\left[\left(\dfrac{\p\xi}{\p x}\right)^2+\left(\dfrac{\p\xi}{\p y}\right)^2\right]\dfrac{\p^2}{\p\xi^2}+\left[\left(\dfrac{\p\eta}{\p x}\right)^2+\left(\dfrac{\p\eta}{\p y}\right)^2\right]\dfrac{\p^2}{\p\eta^2}$

因为 $f(x,y)=\xi(x,y)+\i\eta(x,y)$ ，所以两个系数都等于 $|f'(z)|^2$ 。于是有

\nabla_{x, y}^{2} = | f^{'} (z) |^{2} \nabla_{ξ, η}^{2}

$\nabla_{x,y}^2=|f'(z)|^2\nabla_{\xi,\eta}^2$

这意味着，如果从 $x,y$ 系变到 $\xi,\eta$ 系后，Laplace 算子会按照 $|f'(z)|^2$ 的比例扩大。因此，如果初始是 Poisson 方程

\nabla^{2} φ (x, y) = - \frac{ρ}{ε_{0}}

$\nabla^2\varp(x,y)=-\dfrac\rho{\vare_0}$

那么变换后的方程是

\nabla^{2} φ (ξ, η) = - \frac{1}{| f^{'} (z) |^{2}} \frac{ρ}{ε_{0}}

$\nabla^2\varp(\xi,\eta)=-\dfrac1{|f'(z)|^2}\dfrac\rho{\vare_0}$

令新的 $\rho$ 是原来的 $\dfrac1{|f'(z)|^2}$ 即可。例如，依此法算电容时， $\rho$ 虽然缩小，但 $\d S$ 的微元会被放大 $|f'(z)|^2$ 倍，因此总 $Q$ 是不变的；而 $\varp$ 在两个系中是统一的，因此 $\varp$ 也不变，因此保角变换前后电容不变。

常见保角变换诸如：

线性变换 $f(z)=az+b$ 。是朴素位似，一般不单独使用。
幂/根变换 $f(z)=z^n$ 或 $f(z)=z^{1/n}$ 。幂变换是 $r\e^{\i\theta}\mapsto r^n\e^{\i n\theta}$ 。这是好的，例如在某一个角度（如 $60^\circ$ ）取 $z^3$ 即可变为半空间。在 $\xi,\eta$ 空间中求出分布后，逆变换为 $x,y$ 空间即可得知原分布。
指数函数 $f(z)=e^xe^{\i y}$ ，将平行于 $x$ 轴的直线转为过原点的直线，将平行于 $y$ 轴的直线转成以原点为圆心的圆。对数是其逆变换。

例：求两个半径为 $R_1,R_2$ 的共心圆柱间的电容。

取 $f=\ln z$ ，其被变换为 $x=\ln R_1,x=\ln R_2$ ， $y\in[0,2\pi]$ 的两个平行板。其电容直接为 $\dfrac{\vare_0 S}d=\dfrac{\vare_02\pi}{\ln R_2-\ln R_1}$ 。

分式线性变换 $f(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$ 。变形为 $\dfrac ac+\dfrac{(bc-ad)/c^2}{z+d/c}$ 。其可以被看作先后经过 $z\mapsto z+c_1$ ， $z\mapsto\dfrac{c_2}z$ ， $z\mapsto z+c_3$ 三个变换的叠加。一、三都是平移，而二可以将一个圆变成另一个圆。圆变换性质很牛：对于两个对称点（即生成 Apollonius 圆恰为该圆的二点），变换后仍然保持这一性质（即对称点的像仍是对称点）。这是因为，过对称点的任意圆都与 Apollonius 圆正交（交点处，一个圆的半径会切另一个圆），而保角变换保角进而保正交。