宽体树图

翘课唐完了。下次不翘了。

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树形 DP 依赖于删去树根后，树分裂为若干子树；换言之，在处理一些与树上邻接性相关的信息时，只需传入树根一者的状态即可进入子树处理。

显然我们可以不止传入一个信息。我们希望找到一个阈值 $w$，使得我们可以递归式地为每个状态传入至多 $w$ 个信息，进入子问题。

这就是我们有界树宽问题。

定义：一张图 $G=(V,E)$ 的树分解是满足如下条件一棵树 $T$，$T$ 上每个节点 $t$ 都放置了一个集合 $V_t$，且：

• $V$ 中每个节点被至少一个 $V_t$ 包含。
• $V$ 中每条边的两端点至少被一个 $V_t$ 同时包含。
• $V$ 中每个节点被 $V_t$ 包含的全体 $t$ 构成连通块（换言之，如果 $t_1,t_2$ 都包含 $x$，那么二者路径中的每个 $t$ 均包含 $x$）

对于 $T$ 上一个节点集合 $T'$，定义 $G_{T'}$ 为 $T'$ 中全体节点 $V_t$ 的并集的导出子图。

树分解满足如下性质：

• 对于树上每个节点 $t$，删去 $t$ 后树分成若干块 $T_1,\dots$，则全体 $G_{T_i}\setminus V_t$ 两两无交、且不相邻。
• 对于每条边 $(s,t)$，删去后树分成两块 $T_1,T_2$，则 $G_{T_i}\setminus\{V_s\cap V_t\}$ 无交、不相邻。

第一条性质：假设有交，不妨令 $T_1$ 中的点 $t_1$ 的 $V_{t_1}$ 和 $T_2$ 中 $t_2$ 的 $V_{t_2}$ 同时含 $x\notin V_t$，则 $t$ 在 $t_1$ 至 $t_2$ 的路径上，因此必须包含 $x$，则 $x\in V_t$，不合法；假设有边 $x,y$，则 $x$ 在 $T$ 中的分布连通块显然不能过 $t$，$y$ 同理，于是它们不可能在同一个 $V_t$ 内共存，$(x,y)$ 边未被任何 $V_t$ 同时包含。

第二条性质同理。

一个树分解对应的树宽即为 $\max|V_t|-1$。一个图的树宽为全体树分解中最小树宽。子图的树宽必然不超过母图。

一个非冗余 (nonredundant) 的树分解是任意相邻两点 $s,t$ 不存在一个的 $V$ 包含另一个的场合。通过重复将被包含的那个点缩到更大的点上，一个冗余树分解必然可以在不改变树宽的前提下变成非冗余树分解。通过不断剥叶子，可以证明非冗余树分解的点数必然不超过原图的点数。

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如何求出一张图的树宽？这其实是 NP-Hard 的。但是，给定一个阈值 $w$，构造一个树宽小于 $4w$ 的树分解或判定树宽必然大于等于 $w$，这件事情是可以在与 $w$ 有关的复杂度（具体而言，$f(m)\cdot mn$）内解决的。

如何判定树宽？

定义：两个包含相等数目节点的集合 $Y,Z$ 是可分 (separable) 的，若它们间的最小割点集的大小严格小于二者共同的节点数目。即，存在集合 $X$ 满足 $|X|<|Y|=|Z|$，且 $Y\setminus S$ 与 $Z\setminus S$ 在 $G\setminus S$ 上不连通。【注意，这并不要求 $Y,Z$ 无交】

定义：一个集合 $X$ 被称作 $w$-连接 ($w$-linked) 的，如果 $|x|\geq w$ 且其中所有子集 $|Y|=|Z|\leq w$ 都是不可分的。

可以在 $f(|X|)m$ 的复杂度内判定一个集合 $X$ 是否是 $w$-连接的；如果不是，该算法同时可以找到可分集合对 $(Y,Z)$ 和它对应的割点集 $S$。

方法很简单：全体 $Y,Z$ 对共有不超过 $4^{|k|}$ 对；每一对相当于求最小割，因此在 $|Y|m$ 的复杂度内即可判定是否可分。

定理：存在大小至少为 $3w$ 的 $w+1$-连接集合意味着树宽至少为 $w$。

假设存在非冗余的树分解 $T$ 满足全体 $|V_t|\leq w$，同时存在 $w+1$-连接、大小至少为 $3w$ 的集合 $X$。

令树是有根树。令 $G_t$ 为树上节点 $t$ 子树中全体点对应的 $G_T$。考虑从根往下能走就走，直到某点 $t$，满足 $G_t$ 包含超过 $2w$ 个 $X$ 中元素，但其全体儿子均不然。

显然 $t$ 不是叶子（否则 $G_t=V_t$，而 $|V_t|\leq w$）。令其有儿子们 $t_1,\dots,t_d$。

假如存在一个包含至少 $w$ 个 $X$ 中元素的儿子 $t_i$，则从中挑出 $w$ 个作为 $Y$，从 $G-G_{t_i}$ 中挑出 $w$ 个作为 $Z$。因为非冗余，所以 $|V_t\cap V_{t-1}|<w$，而删去 $V_t\cap V_{t-1}$ 后，$Y$ 与 $Z$ 就此分别，于是 $Y,Z$ 可分，违背了 $X$ 是 $w+1$ 连接的前提。

假如不存在这样的儿子，那么考虑用多个儿子组合起来，直到 $G_{t_{1\sim p}}$ 中包含严格超过 $w$ 个 $X$ 中元素，则其必然严格小于 $2w$ 个。于是从其内部挑 $w+1$ 个，再从外部挑 $w+1$ 个，删光 $V_t$ 即可将它们分割。

算法：给定一个阈值 $w$，构造一个树宽小于 $4w$ 的树分解或判定存在大小至少 $3w$ 的 $w+1$-连接集合。

维护一个部分树分解：我们如今已构造了若干 $V_t$；它们应恰好成为 $G$ 的某个子集（即全体 $V_t$ 并集 $U$）诱导子图的树分解。我们需要保证部分树分解中全体 $|V_t|\leq4w$。

$G\setminus U$ 由若干连通块组成，它们是相对独立的。一个连通块 $C$ 拥有邻居 $u\in U$，如果 $u$ 与 $C$ 中某一元素 $v$ 相邻。

在维护部分树分解的过程中，同时维持一条额外性质，即任意时刻，每个 $C$ 至多有 $3w$ 个邻居，这些邻居由同一个 $V_t$ 储存（即 $C$ 中诞生的新状态的父亲）。这样，每次递归就是从 $C$ 中挑出不超过 $w$ 个元素，把它与这不超过 $3w$ 个邻居放一块搞出来，作为 $V_t$ 的儿子连出来。

如果邻居确实不够 $3w$ 个，那再多一个也没事。于是从 $C$ 中随便挑一个，把它和这不足 $3w$ 个邻居放一块诞生子状态，则 $C$ 分裂（不一定发生）出的所有子状态的邻居集合至多多一个新增元素，因此这样做合法。

现在邻居恰有 $3w$ 个，记为集合 $X$。首先可以跑一边 $w+1$-连接集合验证算法，判定邻居集合是否是 $w+1$-连接的，如果是那么 $G$ 的树宽显然大于 $w$。否则其并非 $w+1$ 连接的，存在两个集合 $Y,Z$，通过删去某个 $S$ 而不连通。

因为 $Y,Z$ 各自都与 $C$ 中有边，所以 $S$ 不可能不含 $C$ 中元素。取 $S'=S\cap(Y\cup Z\cup C)$，则 $S'\not\subseteq X$ 且 $|S'|\leq w$。令 $S'\cup X$ 为 $V_s$ 作为 $V_t$ 的儿子，则其合法，因为：

令 $S''$ 为 $S'$ 中剔除 $X$ 中元素的部分。则 $C\setminus S''$ 中的每个元素关于与 $Y,Z$ 是否联通，分成两个集合，每个集合的邻居集合都是 $X$ 中用 $Y/Z$ 二者其一换成了 $S$，因此邻居数量仍然保持在 $3w$ 内。