汉书拾遗·咒符题匾刊录

\[\newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\i}{\mathtt i} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\mbb}{\mathbb} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\cas}[1]{\begin{cases}#1\end{cases}} \]

I. 复变函数及其导数

复变函数：令 \(G\sube\mathbb C\) 是非空集合，则自 \(G\) 中元素对应 \(\mathbb C\) 中 一个或多个 元素的对应规则称作复变函数。

单值复变函数：每个元素仅对应一个。多值复变函数：可以对应多个。【也即，复变函数是一个“泛函数”的定义】

复变函数有对应的多值反函数。

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连续性。设单值函数 \(w=f(z)\)，在 \(z_0\) 的空心邻域 \(B_\rho^*(z_0)=\{z\mid0<|z-z_0|<\rho\}\) 中都有定义。若对于一切 \(\vare>0\)，都存在 \(\delta(\vare)\in(0,\rho]\)，使得在 \(B_\delta^*(z_0)\) 时有 \(f(z)-A<\vare\)，则

\[\lim_{z\to z_0}f(z)=A \]

或 \(f(z)\to A,z\to z_0\)。

一元集合极限的双侧逼近可视性来源于实数的有序性；复数没有有序性，因此不能简单地将极限归结于某几个方向的逼近。

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定理：\(\lim_{z\to z_0}f(z)=A=u_0+\i v_0\) 等价于实部 \(u\) 的极限为 \(u_0\)、虚部 \(v\) 的极限为 \(v_0\)。

除了趋向点和趋向值都为 \(\mathbb C\) 中元素的场合，还可以定义趋向点/值之一或全部都为无穷的场合。此时意味着模长趋向于无穷。

连续即极限值与函数值相等。

定义：复可导即为：在一内点，有

\[\lim_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}=A\in\mathbb C \]

则该极限称为导数，记作 \(f'(z_0)\) 或 \(\left.\dfrac{\d f}{\d z}\right|_{z=z_0}\)。

定义：若在 \(z_0\) 邻域中均有 \(f(z_0+\Delta z)=f(z_0)+A\Delta z+\rho(\Delta z)\Delta z\)，则称其在 \(z_0\) 处可微。

• 为什么使用 \(\rho(\Delta z)\Delta z\)？因为复数域无序，取 \(\rho(\Delta z)\) 为一趋于 \(0\) 函数即可。

同时有 \(\d f=A\d z\)。

例：\(f(z)=z\)，有 \(f'(z)=1\)。

例：\(f(z)=\bar z\)，有 \(f'(z)\) 处处不存在。

例：\(f(z)=z^2\)，有 \(f'(z)=2z\)。

例：\(f(z)=(\bar z)^2\)，\(\dfrac{\Delta f}{\Delta z}=\dfrac{(\Delta\bar z)^2}{\Delta z}+2\bar z\dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\)，不存在。

例：\(f(z)=z\bar z=|z|^2\)……分析还是不存在，原因还是因为出现了 \(\dfrac{\overline{\Delta z}}{\Delta z}\) 的项！

但是！\((\bar z)^2\) 在原点处，居然……居然可导！导数为零！后者同理！！！

II. 解析函数

若复变函数在 \(z_0\) 某邻域内处处可导，则称 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处 解析，\(z_0\) 即为 解析点。易知：在一点解析，则在某邻域内处处解析。则，解析是一个 片性质。

反之，若不解析，则为 奇(qí)点。

奇点分类：

1. 无定义的奇点。
2. 有定义不连续的奇点。
3. 有定义、连续但不可导的起点。
4. 有定义不存在可导邻域的奇点。

在全部 \(\mbb C\) 上可导的函数被称作 整函数。

有理函数指多项式分式。非多项式的有理函数均不是整函数，因为由代数基本定理，分母上多项式存在零点。

考察解析函数的充要条件：

令 \(f(z=x+\i y)=w=u+\i v\) 在 \(z\) 处可导，则其可微，于是

\[\Delta w=\Delta u+\i\Delta v=A\Delta z+\rho(\Delta z)\Delta z \]

令 \(A=f'(z)=\alpha+\i\beta\)。令 \(\rho=\rho_1+\i\rho_2\)，则 \(\rho_1,\rho_2\to0\)。

则

\[\begin{cases} \Delta u=\alpha\Delta x-\beta\Delta y+\rho_1\Delta x-\rho_2\Delta y \\\Delta v=\beta\Delta x+\alpha\Delta y+\rho_2\Delta x+\rho_1\Delta y \end{cases} \]

于是，\(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 在 \((x,y)\) 分别可微，且满足

\[\begin{cases} \p_xu=\p_yv\\\p_yu=-\p_xv \end{cases} \]

此乃 Cauchy-Riemann 方程。故，若实部、虚部在开集上连续可导且满足 C-R 方程，则其在开集上解析。

另有结论：

\[f'(z)=\p_x u-\i\p_yu=\p_xu+\i\p_x v=\dots \]

该方法可以用于不使用极限语言进行求导（即，对于实部和虚部分别求偏导来组合出复变导数）。

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形式导数：已知

\[\cas{z=x+\i y\\\bar z=x-\i y} \]

那么就有

\[\cas{ x=\dfrac12(z+\bar z) \\y=\dfrac1{2\i}(z-\bar z) } \]

且使用 Jacobian 易验证 \((z,\bar z)\leftrightarrow(x,y)\) 是正则换元。

于是，

\[u=u(x,y)=u(\dfrac{z+\bar z}2,\dfrac{z-\bar z}{2\i}) \]

于是记形式导数

\[\p_zu=\p_xu\p_zx+\p_yu\p_z y=\dfrac12(\p_xu-\i\p_y u) \\\p_{\bar z}u=\dfrac12(\p_xu+\i\p_yu) \]

• 有 \(\p_zu=\overline{\p_{\bar z}u}\)。是巧合吗？是因为共轭与积分、求导有交换律！

因此，\(f(z)\) 也可以被看作 \(f(z,\bar z)\) 的二元形式函数（这么做合法，是因为 \(\bar z,z\) 存在函数关系）

有

\[f_z=\dfrac12(u_x+v_y)+\dfrac\i2(v_x-u_y) \\f_{\bar z}=\dfrac12(u_x-u_v)+\dfrac\i2(u_y+v_x) \]

然后发现，\(f_{\bar z}=0\) 等价于 C-R 方程。此时，\(f_z=u_x+\i v_x=u_x-\i u_y=f'(z)\)。

• 即，把 \(f(z)\) 看作 \(f(x,y)\) 再换元为 \(f(z,\bar z)\) 后，关于 \(\bar z\) 的偏导数退化为 C-R 方程，关于 \(z\) 偏导数就是 \(f'(z)\)。C-R 方程成立等效于关于 \(\bar z\) 偏导为零，偏导为零等效于与该参数无关，于是解析函数与 \(\bar z\) 无关。

于是，我们可以用该理论分析之前的例子：

• \(f(z)=\bar z\)，有 \(f_{\bar z}=1\)，故处处不可微。
• \(f(z)=(\bar z)^2\)，有 \(f_{\bar z}=2\bar z\)，故仅在原点处可微，此处 \(f'(0)=f_z(0)=0\)。
• \(f(z)=z\cdot\bar z\)，仅在原点可微，有 \(f'(0)=f_z(0)=0\)。

或许有人会好奇：\(f(z)=z\) 也可以写成 \(f(z)=\overline{(\bar z)}\)，此时如何计算 \(f_{\bar z}\) 呢？

事实上，当我们采用 \(f(x,y)=f(z,\bar z)\) 的记号的同时，我们就 摒弃了共轭的概念：此时共轭仅仅是一个仅出现在 \(\bar z\) 中的记号而已。而当我们看到了 \(\overline{(\bar z)}\) 这样的“未定义”时，我们便要反问：这玩意是怎么定义的？然后我们发现，它的定义就是 \(z\)，因此我们计算时完全不会看到 \(\overline{(\bar z)}\)，而只会看到 \(z\)。