圣瘸子帖木儿将变幻福音播撒向全世界

$\newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\b}{\boldsymbol}$

现在我们有一个空间直角坐标系，其中每个点都可以用坐标 $(x,y,z)$ 描述。

现在我们有另一个坐标系。这个坐标系是合法坐标系，只要它是 $(x,y,z)\to(q_1,q_2,q_3)$ 几乎处处的微分同胚即可。也即，在每个点周围，它都存在邻域，使得其可以被线性近似（隐函数定理）。例如，球坐标系就是一个合法坐标系：它在除原点外处处均是微分同胚。

$q_i(x,y,z)$ 是空间中一个函数。它有其等势面：球坐标下三等势面分别为球面、锥面、平面；两不同坐标下的等势面相交会得到一曲线，该曲线仅有一维变动、另两维固定， $q_i$ 变动的场合即为 $q_i$ 坐标曲线。

考虑坐标系下任一点：有三条坐标曲线经过之，该点处的单位向量即为三坐标曲线增加向的单位切向量，依右手法则定序。对于每一点，若三坐标曲线在此点均彼此正交，则该坐标系即为正交曲线坐标系，此时三单位切向量彼此正交（但不固定）。

考虑一条曲线

r = r (q_{1}, q_{2}, q_{3})

$\b r=\b r(q_1,q_2,q_3)$

其弧微分

d r = \frac{\partial r}{\partial q_{1}} d q_{1} + \frac{\partial r}{\partial q_{2}} d q_{2} + \frac{\partial r}{\partial q_{3}} d q_{3}

$\d\b r=\dfrac{\p\b r}{\p q_1}\d q_1+\dfrac{\p\b r}{\p q_2}\d q_2+\dfrac{\p\b r}{\p q_3}\d q_3$

因为是正交曲线坐标系，所以 $\dfrac{\p\b r}{\p q_1}$ 与 $q_2,q_3$ 无关。其长度

| \frac{\partial r}{\partial q_{i}} | = \sqrt{{(\frac{\partial x}{\partial q_{i}})}^{2} + {(\frac{\partial y}{\partial q_{i}})}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial q_{i}})}^{2}} = H_{i}

$\left|\dfrac{\p\b r}{\p q_i}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{\p x}{\p q_i}\right)^2+\left(\dfrac{\p y}{\p q_i}\right)^2+\left(\dfrac{\p z}{\p q_i}\right)^2}=H_i$

$H_i$ 即为 Lamé 系数。

在局部使用空间坐标系，则 $\d q_i$ 构成一立方体的正交三棱， $\d\b r$ 是至立方体对拓点的短弧， $H_i$ 分别是立方体的三棱程度。于是弧长

| d r | = \sqrt{\sum (H_{i} d q_{i})^{2}}

$|\d\b r|=\sqrt{\sum(H_i\d q_i)^2}$

立方体体积

d V = \prod H_{i} d q_{i}

$\d V=\prod H_i\d q_i$

面元

d σ_{1} = H_{2} H_{3} d q_{2} d q_{3}

$\d\sigma_1=H_2H_3\d q_2\d q_3$

Lamé 系数的应用之一即为算梯度。有梯度公式

\nabla f = \frac{1}{H_{1}} \partial_{q_{1}} f {\hat{e}}_{1} + \frac{1}{H_{2}} \partial_{q_{2}} f {\hat{e}}_{2} + \frac{1}{H_{3}} \partial_{q_{3}} f {\hat{e}}_{3}

$\nabla f=\dfrac1{H_1}\p_{q_1}f\hat{\b e}_1+\dfrac1{H_2}\p_{q_2}f\hat{\b e}_2+\dfrac1{H_3}\p_{q_3}f\hat{\b e}_3$

散度使用通量微元除以体积微元的定义方法，得到

\nabla \cdot r = \frac{1}{H_{1} H_{2} H_{3}} (\frac{\partial (r_{1} H_{2} H_{3})}{\partial q_{1}} + \frac{\partial (r_{2} H_{3} H_{1})}{\partial q_{2}} + \frac{\partial (r_{3} H_{1} H_{2})}{\partial q_{3}})

$\nabla\cdot\b r=\dfrac1{H_1H_2H_3}\left(\dfrac{\p(r_1H_2H_3)}{\p q_1}+\dfrac{\p(r_2H_3H_1)}{\p q_2}+\dfrac{\p(r_3H_1H_2)}{\p q_3}\right)$

旋度使用环量微元除以面积微元的定义方法，得到

\nabla \times r = \frac{1}{H_{1} H_{2} H_{3}} | \begin{matrix} H_{1} e_{1} & H_{2} e_{2} & H_{3} e_{3} \\ \frac{\partial}{\partial q_{1}} & \frac{\partial}{\partial q_{2}} & \frac{\partial}{\partial q_{3}} \\ H_{1} r_{1} & H_{2} r_{2} & H_{3} r_{3} \end{matrix} |

$\nabla\times\b r=\dfrac1{H_1H_2H_3}\begin{vmatrix}H_1\b e_1&H_2\b e_2&H_3\b e_3\\\dfrac\p{\p q_1}&\dfrac\p{\p q_2}&\dfrac\p{\p q_3}\\H_1r_1&H_2r_2&H_3r_3\end{vmatrix}$

Laplacian 算子变换式