圣瘸子帖木儿将变幻福音播撒向全世界
\[\newcommand{\p}{\partial}
\newcommand{\d}{\mathrm d}
\newcommand{\b}{\boldsymbol}
\]
现在我们有一个空间直角坐标系，其中每个点都可以用坐标 \((x,y,z)\) 描述。
现在我们有另一个坐标系。这个坐标系是合法坐标系，只要它是 \((x,y,z)\to(q_1,q_2,q_3)\) 几乎处处的微分同胚即可。也即，在每个点周围，它都存在邻域，使得其可以被线性近似（隐函数定理）。例如，球坐标系就是一个合法坐标系：它在除原点外处处均是微分同胚。
\(q_i(x,y,z)\) 是空间中一个函数。它有其等势面：球坐标下三等势面分别为球面、锥面、平面；两不同坐标下的等势面相交会得到一曲线，该曲线仅有一维变动、另两维固定，\(q_i\) 变动的场合即为 \(q_i\) 坐标曲线。
考虑坐标系下任一点：有三条坐标曲线经过之，该点处的单位向量即为三坐标曲线增加向的单位切向量，依右手法则定序。对于每一点，若三坐标曲线在此点均彼此正交，则该坐标系即为正交曲线坐标系，此时三单位切向量彼此正交（但不固定）。
考虑一条曲线
\[\b r=\b r(q_1,q_2,q_3)
\]
其弧微分
\[\d\b r=\dfrac{\p\b r}{\p q_1}\d q_1+\dfrac{\p\b r}{\p q_2}\d q_2+\dfrac{\p\b r}{\p q_3}\d q_3
\]
因为是正交曲线坐标系，所以 \(\dfrac{\p\b r}{\p q_1}\) 与 \(q_2,q_3\) 无关。其长度
\[\left|\dfrac{\p\b r}{\p q_i}\right|=\sqrt{\left(\dfrac{\p x}{\p q_i}\right)^2+\left(\dfrac{\p y}{\p q_i}\right)^2+\left(\dfrac{\p z}{\p q_i}\right)^2}=H_i
\]
\(H_i\) 即为 Lamé 系数。
在局部使用空间坐标系，则 \(\d q_i\) 构成一立方体的正交三棱，\(\d\b r\) 是至立方体对拓点的短弧，\(H_i\) 分别是立方体的三棱程度。于是弧长
\[|\d\b r|=\sqrt{\sum(H_i\d q_i)^2}
\]
立方体体积
\[\d V=\prod H_i\d q_i
\]
面元
\[\d\sigma_1=H_2H_3\d q_2\d q_3
\]
Lamé 系数的应用之一即为算梯度。有梯度公式
\[\nabla f=\dfrac1{H_1}\p_{q_1}f\hat{\b e}_1+\dfrac1{H_2}\p_{q_2}f\hat{\b e}_2+\dfrac1{H_3}\p_{q_3}f\hat{\b e}_3
\]
散度使用通量微元除以体积微元的定义方法，得到
\[\nabla\cdot\b r=\dfrac1{H_1H_2H_3}\left(\dfrac{\p(r_1H_2H_3)}{\p q_1}+\dfrac{\p(r_2H_3H_1)}{\p q_2}+\dfrac{\p(r_3H_1H_2)}{\p q_3}\right)
\]
旋度使用环量微元除以面积微元的定义方法，得到
\[\nabla\times\b r=\dfrac1{H_1H_2H_3}\begin{vmatrix}H_1\b e_1&H_2\b e_2&H_3\b e_3\\\dfrac\p{\p q_1}&\dfrac\p{\p q_2}&\dfrac\p{\p q_3}\\H_1r_1&H_2r_2&H_3r_3\end{vmatrix}
\]
Laplacian 算子变换式
\[\Delta f=\dfrac1{H_1H_2H_3}\left[\dfrac\p{\p q_1}\left(\dfrac{H_2H_3}{H_1}\dfrac{\p f}{\p q_1}\right)+\dots\right]
\]
