Einstein 大战 Eisenstein 大战 Eppstein

$\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\mathbf} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel}$

I.牛顿相对性原理和伽利略变换

在任何惯性系中观察，同一力学现象将按同样形式发生和演变，此乃 Newton 相对性原理 或称 力学相对性原理。Newton 持有 绝对时空观，即时空的量度与参考系无关。

考虑两个参考系，以 $S(O,x,y,z)$ 与 $S'(O',x',y',z')$ 描述：它们的坐标轴相互平行， $x$ 轴与 $x'$ 轴重合， $S'$ 相对于 $S$ 沿 $x$ 轴以速度 $\b u=u\b i=u\hat{\b x}$ 运动。时间量度的绝对性导致 $t=t'$ ，则变换为

{\begin{cases} x^{'} = x - u t \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = t \end{cases}

$\begin{cases} x'=x-ut\\ y'=y\\ z'=z\\ t'=t \end{cases}$

速度变换公式是 $\b v'=\b v-\b u$ ，即 Galileo 速度变换公式。

II.爱因斯坦相对性原理和光速不变

Newton 错了！Einstein 目前没发现错！

光速 $c=299792458\Me/\Se$ 与参考系无关。

因此有 Einstein 相对性原理：物理规律对于所有惯性系均一致，不存在任何一特殊（例如绝对静止）惯性系。同样的公设有光速不变原理。

III.同时性的相对性和时间延缓

光速不变原理直接否认了同时性：在某坐标系下观测到同时发生的两件事，在其它坐标系下则不然。在 $S'$ 的 $x'$ 轴上 $A,B$ 各放一台钟， $A,B$ 中点 $M$ 向两侧同时发光，则 $S'$ 系下 $A,B$ 应同时接受到光；而在 $S$ 系上， $A$ 与光相向而行， $B$ 与光背向而行，因此 $A$ 必然先接受到光。

现于 $S'$ 系下，在 $A'$ 处固定光源，在 $y'$ 轴上 $d$ 以外放置镜子，在 $A'$ 旁放置钟表。 $A'$ 发射一束光，射入镜子并返回，所需时间为

t^{'} = \frac{2 d}{c}

$t'=\dfrac{2d}c$

那 $S$ 下的时间如何测量？考虑在 $S$ 系下沿 $x$ 轴固定众多钟表，通过 $A'$ 任意时刻临近的钟表判断经过时间。

若某个长度垂直于两坐标系相对运动方向，则其必然在两系中测量结果相同，否则火车无法通过山洞。因此，在 $S$ 下观察，镜子距 $x$ 轴距离亦为 $d$ 。

在 $S$ 下，光单程移动距离是

l = \sqrt{d^{2} + {(\frac{u Δ t}{2})}^{2}}

$l=\sqrt{d^2+\left(\dfrac{u\Delta t}2\right)^2}$

且

Δ t = \frac{2 l}{c}

$\Delta t=\dfrac{2l}c$

解得

Δ t = \frac{2 d}{c} \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}

$\Delta t=\dfrac{2d}c\dfrac1{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

于是

Δ t = \frac{Δ t^{'}}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}

$\Delta t=\dfrac{\Delta t'}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

在某一参考系下，若两时间在同一处先后发生，则二者间隔被称作 固有时。上式表明，固有时最短；若其它参考系相对固有时参考系在运动，则其测量时间会变长。

运动的钟（既然钟在运动，那说明我们相对钟而言处于非固有时参考系中）认为固有时最短，那么我们对时间的量度就会比它长，换言之运动的钟会变慢。同理，钟系的观察者会认为我们在运动，我们的钟表变慢了。

IV.长度收缩

长度测量与同时性是密切相关的：我们对长度的定义是 同一时刻 两端点的距离。

有一根棒 $A'B'$ 固定于 $x'$ 轴。 $S'$ 系中其长度为 $l'$ 。

假设在 $S$ 中的时刻 $t_1$ ， $B'$ 端经过点 $x_1$ ，在时刻 $t_1+\Delta t$ ， $A'$ 经过 $x_1$ ，则可以认为有

l = u Δ t

$l=u\Delta t$

从 $S'$ 系看来，棒是静止的，而 $x_1$ 相继经过 $B'$ 和 $A'$ 端，时间间隔为

Δ t^{'} = \frac{l^{'}}{u}

$\Delta t'=\dfrac{l'}u$

然而 $S$ 系下的时间是固有时，因此

Δ t^{'} = \frac{Δ t}{\sqrt{1 - u^{2} / t^{2}}}

$\Delta t'=\dfrac{\Delta t}{\sqrt{1-u^2/t^2}}$

则 $l=l'\sqrt{1-u^2/c^2}$ 。

在静止参考系下，其长度称作静长或 固有长度。运动的棒长度会收缩。

V.洛伦兹坐标变换

求两个坐标系测出的某时刻发生在 $P$ 点的事件的坐标值间关系。若在 $S'$ 系中测量的时刻为 $t'$ ，从 $y'z'$ 到 $P$ 的距离为 $x'$ ，则从 $xz$ 到 $P$ 的距离，应等于两原点距离 $ut$ 加上 $y'z'$ 到 $P$ 的距离；后一段在 $S$ 系中测量时，数值不再等于 $x'$ ，根据长度收缩，变为 $x'\sqrt{1-u^2/c^2}$ 。即，

x = u t + x^{'} \sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}

$x=ut+x'\sqrt{1-u^2/c^2}$

同时有 $x'=x\sqrt{1-u^2/c^2}-ut'$

因此有

t^{'} = \frac{t - \frac{u}{c^{2}} x}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}}

$t'=\dfrac{t-\dfrac u{c^2}x}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

总结：

{\begin{cases} x^{'} = \frac{x - u t}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = \frac{t - \frac{u}{c^{2}} x}{\sqrt{1 - u^{2} / c^{2}}} \end{cases}

$\begin{cases} x'=\dfrac{x-ut}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \\y'=y \\z'=z \\t'=\dfrac{t-\dfrac u{c^2}x}{\sqrt{1-u^2/c^2}} \end{cases}$

此乃 Lorentz 坐标变换。

常用以下二恒等符号

β \equiv \frac{u}{c}, γ \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - β^{2}}}

$\beta\equiv\dfrac uc,\gamma\equiv\dfrac1{\sqrt{1-\beta^2}}$

于是公式为

{\begin{cases} x^{'} = γ (x - β c t) \\ y^{'} = y \\ z^{'} = z \\ t^{'} = γ (t - \frac{β}{c} x) \end{cases}

$\begin{cases} x'=\gamma(x-\beta ct) \\y'=y \\z'=z \\t'=\gamma(t-\dfrac\beta cx) \end{cases}$

以下是正确的：

若在某系中，某两点始终保持静止，则其间距离是最长的固有长度。

若在某系中，某两事件先后发生于同一点，则其间间隔时刻是最短的固有时。

一点和两点相向而行，一点系中两点先后过一点，计算的时间是固有时，相应的长度会短；两点系中两点始终静止，计算的长度是固有长度，相应的时间会长。

两坐标系原点的间隔在两坐标系视角下均相同，且都等于 $ut$ 。

因此，有 $OP=OO'+O'P$ ，在 $O$ 系下 $O'P$ 的长度 $l$ 与 $O'$ 系下二者长度 $l'$ 满足关系 $l=l'/\gamma$ ，因此有 $x=ut+x'/\gamma$ 。

使用 Lorentz 变换，两点 $(x_1,t_1),(x_2,t_2)$ 有

l^{'} = x_{2}^{'} - x_{1}^{'} = γ (x_{2} - β c t_{2}) - γ (x_{1} - β c t_{1})

$l'=x'_2-x'_1=\gamma(x_2-\beta ct_2)-\gamma(x_1-\beta ct_1)$

测量长度时要求共时性，因此有 $t_1=t_2$ ，此时 $l'=\gamma l$ ，即得长度关系。

t^{'} = t_{2}^{'} - t_{1}^{'} = γ (t_{2} - \frac{β}{c} x_{2}) - γ (t_{1} - \frac{β}{c} x_{1}) = γ (t_{2} - t_{1}) (1 - \frac{β}{c} \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}}) = γ t (1 - \frac{β}{c} \frac{x_{2} - x_{1}}{t_{2} - t_{1}})

$t'=t_2'-t_1'=\gamma(t_2-\dfrac\beta cx_2)-\gamma(t_1-\dfrac\beta cx_1) \\=\gamma(t_2-t_1)(1-\dfrac\beta c\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}) \\=\gamma t(1-\dfrac\beta c\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1})$

有因果关系的两件事，其先后关系不可能被颠倒。因果关系总是伴随着信息传播，而信息传播速度 $v=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\leq c$ 。然后知 $\gamma(1-\dfrac\beta cv)\geq0$ ，即因果关系存在的两件事先后关系锚定了。

VI.相对论速度变换

相对论速度变换公式

v_{x}^{'} = \frac{v_{x} - β c}{1 - \frac{β}{c} v_{x}} v_{y}^{'} = \frac{v_{y}}{γ (1 - \frac{β}{c} v_{x})} v_{z}^{'} = \frac{v_{z}}{γ (1 - \frac{β}{c} v_{x})}

$v_x'=\dfrac{v_x-\beta c}{1-\dfrac\beta cv_x} \\v_y'=\dfrac{v_y}{\gamma(1-\dfrac\beta cv_x)} \\v_z'=\dfrac{v_z}{\gamma(1-\dfrac\beta cv_x)}$

特别地，考虑沿 $x$ 轴传播的光速，代入知

c^{'} = \frac{c - β c}{1 - \frac{β}{c} c} = c

$c'=\dfrac{c-\beta c}{1-\dfrac\beta c c}=c$

然后知光速不变定律被保持了。

VII.相对论质量

动量守恒比起 Newton 定律而言是更本质的定律。动量的公式

p = m v

$\b p=m\b v$

在 Newton 力学中， $m$ 与质点速率无关，即所谓的 静止质量。但实际对动量的测量发现并非成正比。

$S'$ 系中考虑一静止于 $O'$ 的粒子，突然分裂为两半 $A,B$ 沿 $x'$ 轴的负向和正向移动。则二者速率应相同，均为 $u$ 。

令 $S$ 与 $A$ 相对静止地运动；根据相对论变换， $B$ 的速度为

$v_B=\dfrac{2u}{1+u^2/c^2}$
分裂前总动量为 $Mu\b i$ ，分裂后总动量为 $m_Bv_B\b i$ 。合理地假设分裂前后能量守恒，则

$(m_A+m_B)u=\dfrac{2m_Bi}{1+u^2/c^2}$
最终可以解得

$m_B=\dfrac{m_A}{\sqrt{1-v_B^2/c^2}}$
在 $S$ 系下观察， $B$ 的质量即发生这样的改变。

然后知 Lorentz 变换导出相对论质量

m = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = γ m_{0}

$m=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}=\gamma m_0$

$m$ 称为 相对论质量，而 $m_0$ 是静止质量，是物体能达到的最小质量。速度越快，质量就越大。

相对论动量的公式即为

p = m v = γ m_{0} v

$\b p=m\b v=\gamma m_0\b v$

动量关于时间的变化率即为力，即

F = \dot{p}

$\b F=\dot{\b p}$

经典力学中， $m$ 与速度无关，因此可以提出，得到 $F=ma$ 的 Newton 第二定律；但是现在 $m$ 与速度有关，必须使用

F = m \dot{v} + \dot{m} v

$\b F=m\dot{\b v}+\dot m\b v$

才有效。

VIII.力与加速度的关系

考虑力在切向与法向上的分解。法向有

F_{n} = m {\dot{v}}_{n} = m a_{n}

$\b F_n=m\dot{\b v}_n=m\b a_n$

而切向则是

F_{t} = m a_{t} + v \dot{m}

$\b F_t=m\b a_t+v\dot m$

因为 $a_n=\dfrac{v^2}R,a_t=\dot v$ ，最终解得

F_{n} = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} a_{n} = γ m_{0} a_{n} F_{t} = \frac{m_{0}}{(1 - v^{2} / c^{2})^{3 / 2}} a_{t} = γ^{3} m_{0} a_{t}

$\b F_n=\dfrac{m_0}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\b a_n=\gamma m_0\b a_n \\\b F_t=\dfrac{m_0}{(1-v^2/c^2)^{3/2}}\b a_t=\gamma^3m_0\b a_t$

因为二者系数不同，所以力在数值上不等于加速度，且与加速度的方向也不同；加速度相同时，速度越大力越大，因此增加速度的大小很困难。

IX.相对论动能

相对论动能是总能量减去静能量的部分，即

E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2}

$E_k=mc^2-m_0c^2$

其与 Newton 力学表达式 $E=\dfrac12mv^2$ 明显不同；但是当 $v\ll c$ 时，有

γ = \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2} / c^{2}}} = 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}} + \dots \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{v^{2}}{c^{2}}

$\gamma=\dfrac1{\sqrt{1-v^2/c^2}}=1+\dfrac12\dfrac{v^2}{c^2}+\dots\approx1+\dfrac12\dfrac{v^2}{c^2}$

代入即得 Newton 动能公式。

由动能定理，

$E_k=\int_{(v=0)}^{(v)}\b F\cdot\d\b r \\=\int_{(v=0)}^{(v)}\dfrac{\d(m\b v)}{\d t}\cdot\d\b r \\=\int_{(v=0)}^{(v)}\b v\cdot\d(m\b v) \\=\int_{(v=0)}^{(v)}mv\d v+v^2\d m$
又 $m^2c^2-m^2v^2=m_0^2c^2$ ，所以

$2mc^2\d m-2mv^2\d m-2m^2v\d v=0$
也即

$c^2\d m=v^2\d m+mv\d v$
因此

$E_k=\int_{(m=m_0)}^{(m)}c^2\d m \\=mc^2-m_0c^2$

X.相对论能量

一定的能量相应于一定的质量。能量守恒时，所有粒子的能量都带有 $c^2$ 因子，除以 $c^2$ 即得质量守恒；但需要注意的是守恒的是静质量，且能量变化大（例如核裂变）时，质能是可以互换的。

XI.动量和能量的关系

满足 $E^2=p^2c^2+m_0^2c^4$ 。动量-能量变换式为：

{\begin{cases} p_{x}^{'} = γ (p_{x} - \frac{β E}{c}) \\ p_{y}^{'} = p_{y} \\ p_{z}^{'} = p_{z} \\ E^{'} = γ (E - β c p_{x}) \end{cases}

$\begin{cases} p'_x=\gamma(p_x-\dfrac{\beta E}c) \\p'_y=p_y \\p'_z=p_z \\E'=\gamma(E-\beta cp_x) \end{cases}$

XII.相对论力的变换

{\begin{cases} F_{x} = \frac{F_{x}^{'} + \frac{β}{c} F^{'} \cdot v^{'}}{1 + \frac{β}{c} v_{x}^{'}} \\ F_{y} = \frac{F_{y}^{'}}{γ (1 + \frac{β}{c} v_{x}^{'})} \\ F_{z} = \frac{F_{z}^{'}}{γ (1 + \frac{β}{c} v_{x}^{'})} \end{cases}

$\begin{cases} F_x=\dfrac{F'_x+\dfrac\beta c\b F'\cdot\b v'}{1+\dfrac\beta cv_x'} \\F_y=\dfrac{F'_y}{\gamma(1+\dfrac\beta cv_x')} \\F_z=\dfrac{F'_z}{\gamma(1+\dfrac\beta cv_x')} \end{cases}$