读赵-陈电磁学，喝 Maxwell 咖啡，当新时代交叉人

$$\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\Ke}{\operatorname K} \newcommand{\Wa}{\operatorname W} \newcommand{\Var}{\operatorname{var}} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\boldsymbol} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\partial} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\j}{\mathtt j} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel} \newcommand{\t}{\tilde}$$

I.静电场

Coulomb 定律：

$$\b F_{12}=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\b e_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r^2}\b e_{12}$$

但是 Coulomb 定律一般不会直接使用，而是首先求出电场强度，然后通过电场为媒介施加效果。

点电荷的电场

$$\b E=\dfrac1{4\pi\vare_0}\dfrac q{r^2}\b e_r$$

电偶极子中垂线较远处的电场

$$\b E\approx\dfrac1{4\pi\vare_0}\dfrac{\b p}{r^3}$$

其中 $\b p=q\b l$ 是电偶极子电矩；其在均匀电场中受合力为零，但是受力矩非零，且满足 $\b L=\b p\times\b E$。该力矩的效果是让电偶极子从较小的一个角度旋转直到其电矩与电场强度同向。

Gauss 定理：

$$\oiint\b E\cdot\d\b S=\dfrac1{\vare_0}\sum q_i$$

第一步都是先证明包围 $q$ 的同心球面电通量均为 $\dfrac q{\vare_0}$，第二步有几种方法：一是对不包含 $q$ 的区域使用曲面积分 Gauss 定理得到不包含 $q$ 的曲面通量为零，二是用立体角的概念将其投射到球面上。第三步用电场叠加定理处理多个电荷的场合。

静电场是保守场，等效说法是静电场环路积分为零，等效说法是可以定义与静电场互相决定的电势。

若干点电荷的静电互能是

$$W=\dfrac12\sum q_iU_i$$

其中 $U_i$ 是除 $i$ 外全体点电荷在 $q_i$ 处形成的电势。倘若是电荷连续分布的带电体则有其静电自能

$$W=\dfrac12\iiint_V U\d q=\dfrac12\iiint_VU\rho\d V$$

点电荷的自能是无穷大。实际并不存在完全的点电荷：电子的质量会对应质能，假设质能全部来自静电自能，则由此可以计算电子半径 $r_c\approx2.8\times10^{-15}\Me$，称为电子的经典半径。

基本粒子理论中，使用点模型会导致上述发散问题，而不使用点模型会产生一些相对论问题，这是现代量子理论的基本矛盾，上述 $r_c$ 并非电子的线度，但其在众多涉及的场合均有应用。

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电场中的电荷携带有电势能。电势场中电荷的能量就是 $qU$，此乃电势能。于是电偶极子在均匀外电场中具有的能量为 $-\b p\cdot\b E$：同向时能量最低，反向时能量最高。

虚功 与 虚位移 等概念的用法：

一个静止的平衡系统的“势能”概念被最小化，必要条件是导数为零。此时若幻想让系统关于某个轴进行一个小变动 $\delta x$，则其与导数等效，且该小变动对势能的影响应为零。于是列出 $\delta x$ 对势能的影响，令其为零即得一条与势能导数为零的等效描述。由于整个系统没有任何动机莫名其妙产生一个 $\delta x$ 的变动，所以其自始至终都是只存于幻想中的虚妄的“导数”操作，而其又是极小的，因此为避免与非极小位移 $\Delta x$ 和实存极小位移 $\d x$ 混淆，使用 $\delta x$ 的记法。

带电体系的位形发生微小变化后，电势能相应改变；倘若改变过程中电场力做功 $\delta A$，则电势能改变 $\delta W=-\delta A$。若是微小位移 $\delta\b l$ 在电场力 $\b F$ 下产生，则 $\b F\cdot\d\delta l=-\d W$。于是可得，$\b F$ 在 $\b v$ 方向的投影 $\b F_{\b v}=-\p_{\b v} W$。

若沿某轴作微小角位移 $\delta\theta$，令 $\b L_\the$ 是力矩在转轴方向投影，则 $\b L_\the\delta\the=-\delta W$，于是 $\b L_\the=-\p_\the W$。

应用：电偶极子在外电场中的能量为 $W=-\b p\cdot\b E=-pE\cos\the$；然后知 $L_\the=-pE\sin\the$。

在非均匀外电场 $\b E$ 中受力 $F_l=\p_l(\b p\cdot\b E)$，于是 $\b F=\nabla(\b p\cdot\b E)$。若电矩与场强平行，则偶极子受力方向沿着 $pE$ 的梯度方向，即指向 $E$ 较大处。在非均匀电场中放置电介质的碎片，其会极化为沿场强方向的电偶极子，进而受电场力影响被拉向电场较强处，这就是为何顿牟掇芥。

II.静电场中的导体和电介质

静电平衡时，导体内部场强处处为零，外部场强在近边界时处处垂直于界面，且满足 $E=\dfrac{\sigma_e}{\vare_0}$ 的关系（作圆筒并使用 Gauss 定理得到）。曲率大时电荷密集则 $\sigma_e$ 大，曲率小则 $\sigma_e$ 小，曲率负时则 $\sigma_e$ 更小。

腔内无带电体的导体壳，则腔内处处无电场、无电荷。腔内有带电体的导体壳，则腔内表面感应出与腔内带电体相反的电荷；若外壳接地，则外壳电中性，可以起到静电屏蔽的效果。

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孤立导体带电 $q$ 时，其将具有一定电势；理论表明，随着 $q$ 增加，$U$ 将等比地增加，增加系数称为该导体的电容。孤立导体的电容与其体积、表面积等有关系。

近旁有其它导体的电势不仅仅与自身有关，此时可以采取静电屏蔽的方法，用封闭导体壳 $B$ 包围待测导体 $A$ 并接地然后定义 $C_{AB}=\dfrac{q_A}{U_A}$，此时 $C_{AB}$ 与导体壳 $B$ 是有关的。当然也可以不将 $B$ 接地，此时 $U_A-U_B$ 的电势差是不变的，于是

$$C_{AB}=\dfrac{q_A}{U_A-U_B}$$

这两个导体即可看作电容器的两极板。

实际应用时，电容器屏蔽性要求并不需要很苛刻，平行板电容器就足矣。

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电容器中储存着 $W=\dfrac12\dfrac{Q^2}C=\dfrac12CU^2=\dfrac12QU$​ 的能量。这可以看作是两极板构成的系统的静电互能。

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电场中的电介质会极化，极化会使得其中粒子的电矩不均匀。电极化强度 $\b P$ 是单位体积内粒子极化程度之和。极化强度大小与方向均相同的电介质被看作是均匀极化的，否则是不均匀极化的。

对极化强度求通量，可以发现

$$\oiint\b P\cdot\d\b S=-\sum q'_{in}=\sum q'_{out}$$

其中 $q'$ 仅考虑束缚电荷，不考虑自由电荷。

在电介质表面，考虑法向量 $\b e_n$ 与电场 $\b E$ 的夹角：锐角处将感应出正极化电荷，钝角处将感应出负极化电荷。表面电荷层的厚度为 $|l\cos\the|$，面元 $\d S$ 上极化电荷

$$\d q'=nql\cos\the\d S=P\cos\the\d S$$

因此极化电荷的面密度 $\sigma'=\b P\cdot\b e_n$。

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空间中任一点的电场 $\b E$ 是外电场 $\b E_0$ 与极化电场 $\b E'$ 的和。极化电场在介质外部的表现比较复杂，但在介质内部的情况是简单的：$\b E'$ 处处与 $\b E_0$ 的方向相反（至少是大体相反；但对于球或椭球等规则形状，方向是严格相反），使得 $\b E$ 比 $\b E_0$ 减弱；而决定极化程度的正是实际电场 $\b E$ 而非外加电场 $\b E_0$，因此极化程度 $\b P$ 会减弱。总体来看，极化电场 $\b E'$ 在电介质内部反倒起到了削弱极化程度的效果，因此称作 退极化场。

在给定极化程度的时候，退极化场是易求的；但是倘若未知极化程度，又应如何呢？

实验表明，极化程度 $\b P$ 与总电场 $\b E$ 在各向同性线性电介质中，满足简单正比关系，即

$$\b P=\chi_e\vare_0\b E$$

• 各向异性的电介质中，关系可能是一个张量描述。
• 与铁磁体相近的铁电体具有电滞效应。
• 驻极体与永磁体的性质类似，在撤去电场后并不会完全去极化。

实际应用时，往往仅仅给定 $\b E_0$ 值，而剩下的几个值都是互相依赖的。为了一劳永逸地解决相互依赖关系，引入电位移 $\b D=\vare_0\b E+\b P$，则对于一切电介质，都满足

$$\oiint\b D\cdot\d\b S=\sum q_{in}$$

且在各向同性电介质中，满足 $\b D=(\chi_e+1)\vare_0\b E=\vare_e\vare_0\b E=\vare\b E$。

唯一性定理：所有导体的电势、电量任给定其一，则电场分布确定。

• 引理一：无电荷空间内电势不存在极值。
• 引理二：所有导体电势均为零时，导体外空间电势处处为零。
• 引理三：所有导体均不带电，则所有导体等势。

则给定电势的场合，若全空间中存在两不同电势分布，则其差在所有导体上电势均为零，则处处电势为零，则两电势分布相同。

给定电量的场合，有

$$Q_k=\oiint\sigma\d S=\vare_0\oiint\b E\cdot\d\b S \\=-\vare_0\oiint\p_nU\d S$$

令对于同一组 $Q_i$ 分布有两种电势 $U_I,U_{II}$，考虑令 $U$ 为其差，则满足

$$-\vare_0\oiint\p_nU\d S=0$$

$U$ 是一组所有导体均不带电时的电势分布，于是其应处处为常数，不影响其梯度也即空间的场强分布。

静电屏蔽并接地时，单纯外电场干涉不到内部，单纯内电场也干涉不到外部；内外叠加可知另一合法解，于是内外即被完全隔离了。

若空间中处处有均匀电介质，则上述证明仍有效；若电介质分区均匀又如何？

证明唯一性定理依靠最重要的原理就是导体外空间电势分布连续且无极值。如果有一条介电常量为 $\vare$ 的界面，其上存在极化电荷，该性质是否可以保留？

由前作的论述“$D$ 线的折射定律”，在界面上满足 $\b E$ 的切向分量在两侧相同，$\b D$ 的法向分量在两侧相同。换言之，就是过界面时 $U$ 连续，且满足

$$\vare_1\p_nU_1=\vare_2\p_nU_2$$

则两侧电场若有法向分量，则它们方向一致，于是界面上电势非极值。

回到介质电场的场合。可以发现，有 $\b D=\vare_0\b E_0$ 且 $\b E=\dfrac1{\vare_r}\b E_0$，但这仅适用于均匀充满全空间的电介质，或者电介质表面是等势面，上述条件才得以满足。

电介质表面是等势面的要求正是由 $D$ 的折射定律所要求的：倘若出现折射，则显然不可能有 $\b D=\vare_0\b E_0$（因为界面两侧的 $\b E_0$ 相同，但是因折射所以两 $\b D$ 不共线），反之若全体 $\b E_0$ 均垂直于界面（这等价于电介质表面是等势面），则折射定律等效于不存在，换言之 $\b D=\vare_0\b E_0$ 即成立了。

可以发现，在这种优秀条件下，$\b D$ 是一个与介质无关的量，而 $\b E$ 根据介质确定。从而，电容器中充满均匀电介质后，电场变为原来的 $\dfrac1{\vare_r}$，进而电容变为原来的 $\vare_r$ 倍。

但是在普遍意义下，$\b D$ 和 $\vare_0\b E_0$ 并不同：虽然它们满足同一形式的 Gauss 定律，即

$$\oiint\b V\cdot\d\b S=\sum q_{in}$$

但是，Gauss 定理仅反映场的一个侧面，另一个侧面由环路定理

$$\oint\b V\cdot\d\b r=?$$

确定。

真空场强 $\b E_0$ 满足环路积分为零，但电位移环路积分不一定为零。同理，电介质中必有 $\b D$ 正比于 $\b E$，但 $\b E_0$ 不尽然（特别是各向异性电介质），二者本质不同。

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电介质对电容的影响有：

• 增大电容，减小体积。
• 提高电容的介电强度（击穿场强）

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电容储能公式 $W_e=\dfrac12QU$，有 $Q=\sigma_eS=DS$，则 $W_e=\dfrac12DEV$。取电能密度 $\ome_e=\dfrac{W_e}V$ 则 $\ome_e=\dfrac12DE=\dfrac12\vare_r\vare_0E^2$。

• 为什么 $D=\sigma_e$（其中 $D$ 是 $\b D$ 垂直于表面的分量）？因为 $\b D=\vare_0\b E_0+\b P$，而 $P_n=\sigma'_e$，电平衡的导体满足 $\sigma=\vare_0E$，于是 $D$ 就等于束缚电荷密度加上自由电荷密度，也即总电荷密度。

该式普遍成立，即

$$W_e=\iiint\ome_e\d V=\iiint\dfrac{DE}2\d V=\iiint\dfrac{\vare_r\vare_0E^2}2\d V$$

III.恒定电流

通过某一界面的电流 $I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$。让界面取微元、方向取电流方向，得电流密度矢量 $\b J$。

电流连续方程（积分形式）：

$$\oiint\b J\cdot\d\b S=-\dot q$$

电流的恒定条件：环路电流密度通量为零。恒定电流的电流线永远都是闭合曲线。

由一束电流线围成的管状区叫做电流管，则通过电流管各界面的电流强度均相等。

恒定电流场虽然不是静电场，但是如 Gauss 定律、环路定律均仍适用；不适用的是静电场中的平衡条件及其结论。

由环路定理的推论可得恒定电场的电势。电势与电流的关系是 Ohm 定律

$$I=\dfrac UR$$

对小电流管应用 Ohm 定律可知其微分形式，即

$$\b J=\sigma\b E$$

微分形式对似稳电路也是适用的，但积分形式不然。

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$$W=qU=UIt$$

于是电功率

$$P=UI$$

当功全部转化为热时，其与 $Q=I^2Rt$ 的 Joule 定律相符。

单位体积内热功率称为热功率密度，用 $p$ 表示，于是有 Joule 定律的微分形式

$$p=\dfrac{j^2}\sigma=\sigma E^2$$

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电导率使用微观图景描述的话，有

$$\sigma=\dfrac{ne^2\bar t}m$$

其中平均自由飞行时间 $\bar t$（平均碰撞频率 $\bar\nu$ 的倒数）与其平均自由程 $\bar\lambda$（两次碰撞间平均通过距离，与温度无关）和平均热运动速率（与 $\sqrt T$ 成正比）的关系是

$$\tau=\dfrac{\bar\lambda}{\bar v}$$

因此 $\sigma\propto\dfrac1{\sqrt T}$，电阻率 $\rho\propto\sqrt T$；但对大多数金属来说 $\rho\propto\sqrt T$，理论与实际的分野需要靠量子理论解决。

电阻反映自由电子与原子碰撞对电子定向运动的破坏作用，也是导体产生 Joule 热的原因。

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电动势

$$\Emo=\oint\b K\cdot\d\b r$$

其中 $\b K$ 是非静电力场。

普遍的 Ohm 定律的微分形式是

$$\b J=\sigma(\b K+\b E)$$

即，电流是静电力与非静电力共同作用的结果。

通过电源的电流方向不一定与电动势方向一致：内部电流是负极向正极即为放电，是正极向负极即为充电。

内阻场合是

$$I=\dfrac\Emo{r+R}$$

此时电源向负载输出的功率是

$$\left(\dfrac\Emo{r+R}\right)^2R$$

令其对 $R$ 求导并取导数为零，可知最大值条件即为 $r=R$，此乃负载电阻与电源的匹配条件。但是这仅在电子电路等电源高内阻的场合才有意义，常规电路中不但不需要考虑匹配，还会因为电流过大烧坏电路。

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没有非静电力的情形下，有

$$\oiint\b J\cdot\d\b S=\oiint\sigma\b E\cdot\d\b S=0$$

若导体的电导率是均匀的，则可以从积分号中消去，得到

$$\oiint\b E\cdot\d\b S=0$$

由 Gauss 定律可知任一闭合面内没有净电荷。这一结果不适用于非均匀导体内部或电导率不同的界面两侧。

此位，恒定电流的场合电场线必须与导体表面平行，否则会在电流线指向导体表面的情况会有电荷积聚破坏恒定条件。

恒定电流中电场有重要作用，其一是与非静电力共同保证电路闭合性，完成电势能与内能的互换；其二是决定电流分布：电路断开时，电源两极板间存在电势差，在空气中存在电场线，但因为未构成回路所以没有电流。接通电路的瞬间，电荷尚未移动，此时临近极板处电场强度更大，电流强度更大，因此靠近正极的电路中段将积攒正电荷，靠近负极的电路中段将积攒负电荷，激发的电场将会削弱两侧电场、增强中段电场，使电流趋于平稳。实际表现更为复杂，例如与正负极相连的导线实际已经成为正负极的一部分，因此电场的变化早在开关的电线接近的过程中就已经开始、

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平衡电桥是精确测量电阻的方法，装置如下

--R1--+--R2--|
|     G      |
|-R3--+--R4--|
|            |
------E-------

其中 $G$ 是检流计，用于判断其两端有无电流（电势是否相同）。列式解方程可得其无电流时应满足

$$\dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{R_3}{R_4}$$

已知三个电阻则可测得第四个电阻。其误差来源有二：检流计不够灵敏，或电阻不够精确，都可以较好地遏制，因此测电阻的效果很好。

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电源电动势如何测量？直接接电压计测出来的是路端电压不是电动势，因为电源有其内阻。解决方法是使用补偿法：将待测电源和另一个可调电动势的电源相对而接，再连一个检流计，调节电动势使得指针不偏转时两电源具有相等电动势，它们互相补偿。

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复杂电路总是可以用 Kirchhoff 两个方程解出，但是波特能算的人不一定能算，因此有若干二级结论：

• 电压源与电流源。

一个实际电源是电动势为 $\Emo$ 内阻为 $0$ 的理想电压源与内阻 $r$ 的串联，理想情形有 $r=0$，此时其总是提供恒定值 $\Emo$，即恒压源；$r\neq0$ 时的电源是电压源，即内阻与恒压源的串联。

设想另一种理想电源，其总是提供不变电流 $I_0$，即恒流源，与电阻并联即为电流源。

实际电源可以看作电压源或电流源，它们是等效的，即该模块接入同一个外电路时，产生同样的电压和电流。

电压源提供的电流是

$$I=\dfrac\Emo{R+r}=\dfrac\Emo r\dfrac r{R+r}$$

而电流源提供的电流是

$$I=I_0\dfrac{r_0}{R+r_0}$$

于是当 $I_0=\dfrac\Emo r$ 且 $r_0=r$ 时两电源等效，即恒流源的电流等于短路电流，电阻等于内阻。

• 等效电源定理。

等效电压源定理（Thevenin 定理）：若一部分电路只有两个接口，且内部有源（两端有源网络）等效于电压源：其电动势等于网络的开路端电压，内阻等于从网络两端看除源（将电动势短路）网络的电阻。

具体而言，其电动势等于将两端间接电压计的示数，电阻等于把其中所有电源换成导线时整个网络的电阻。

同理有等效电流源定理（Norton 定理）：等效于电流源，恒流等于两端接电流计的示数，电阻等于除源网络电阻。

• 叠加定理。

若电路中存在多个电源，则通过电路中某支路的电流等于每个电源独立存在（其它电源均换成导线）时的电流之和。

• $Y$-$\Delta$ 电路的等效代换

$Y$ 型电路与 $\Delta$ 型电路存在等效变换：$Y$ 至 $\Delta$ 时

$$R_{12}=\dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}$$

$\Delta$ 至 $Y$ 时

$$R_1=\dfrac{R_{31}R_{12}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$$

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将金属棒两端维持在不等温度 $T_1,T_2$ 下，且外加一电流通过该棒，则其除了产生 Joule 热外还会吸收或释放一定的热量，即 Thomson 热，此乃 Thomson 效应。除去 Joule 热和热传导以外，电流反向时 Thomson 效应可逆。

金属中的自由电子在温度不均匀时会自发热扩散，等效于一种非静电力在棒内形成一定的电动势，即 Thomson 电动势；与非静电力同向的电流相当于电池放电，此时自由电子自外界吸热，热能转化为电能；相反则相当于电池充电，电能转化为热能。

作用在单位正电荷上的等效非静电力 $\b K$ 其大小正比于温度关于棒上坐标的导数 $\dfrac{\d T}{\d l}$，即

$$K=\sigma(T)\dfrac{\d T}{\d l}$$

比例系数 $\sigma(T)$ 与金属棒材料和温度有关，称作 Thomson 系数。整个棒内的 Thomson 电动势为

$$\Emo(T_1,T_2)=\int_{T_1}^{T_2}\sigma(T)\d T$$

可以发现其与棒间温度分布无关。

Thomson 电动势很小，例如室温下铋的 $\sigma(T)$ 约为 $10^{-5}\Vo/\Ke$。

用同一种金属仅依靠 Thomson 电动势无法建立恒定电流：考虑两根金属半圆杆拼成一个正圆，对两个接口施以不同温度 $T_1,T_2$，则两根杆上拥有等大反向的 Thomson 电动势（因为 Thomson 电动势仅与温度有关），因此相互抵消无法形成恒定电流。不同金属的棒相互连接有可能产生不同的 Thomson 电动势进而存在恒定电流。

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在电流通过两不同金属接触面时，亦会有吸放热现象：此乃 Peltier 效应，吸放热称作 Peltier 热。其是反向可逆的。

Peltier 效应解释为不同金属材料的自由电子数密度不同引起的，二者接触时将引发自由电子自发扩散。Peltier 电动势一般在 $10^{-2}\sim10^{-3}\Vo$。

单一温度下单靠 Peltier 电动势无法建立恒定电流，这是因为若接触处的温度相同则两 Peltier 电动势等大反向；多种金属连成的回路，理论和实验均表明，

$$\sum_{i=1}^{n-1}\Pi_{A_iA_{i+1}}(T)=\Pi_{A_1A_n}(T)$$

其中 $\Pi_{AB}(T)$ 意指 $AB$ 两种金属接触面上的 Peltier 电势在温度 $T$ 下的值。因此，同一温度下的多种金属也无法仅靠 Peltier 电势形成恒定电流。

金属导线的闭合回路中自发产生恒定电流，必须同时存在温度梯度和电子数密度的梯度：将 $A,B$ 导线串联，两触点温度分别为 $T_1,T_2$，则综合 Thomson 电动势和 Peltier 电动势可得回路中电动势

$$\Emo=\Pi_{AB}(T_1)+\Pi_{BA}(T_2)+\int_{T_1}^{T_2}\sigma_A(T)\d T+\int_{T_2}^{T_1}\sigma_B(T)\d T$$

此电动势一般非零，称为 Seebeck 电动势，或温差电动势。

温差电流既有吸热也有放热，二者的差转为电能，因此满足热力学定律。

两不同金属焊接并将触点置于不同温度下的回路称作温差电偶。在 $A,B$ 间插入另一种金属 $C$，只要保证其与 $A,B$ 的触点维持与同一温度 $T_2$，显然 Seebeck 电动势不变。

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给电子供给至少等于逸出功的能量，它就会变成阴极射线飞出去。有以下几种方法供给逸出功：

• 热电子发射：加热至 $1000$ 摄氏度以上后，大量电子的热运动即可获得大于逸出功的能量并逸出。
• 为研究热电子发射，在阴极与阳极间加一个电场，并使用电流计测量到达阳极的电流大小。该电流与所加电压的关系是伏安特性曲线。
• 当 $U$ 较小时，阴极虽然发射大量电子，但其堆积在阴极附近，形成空间电荷区，相当一部分电子被其排斥返回阴极；电压增大会使其快速飞向阳极不再逗留，足够大时所有逸出电子均被射出，达到饱和电流。

IV.恒定磁场

磁力的本质是运动电荷（电流）的相互作用，其通过磁场传递。

Ampere 定理直接给出了两个电流元 $\d\b l_1,\d\b l_2$ 间相互作用力，公式为

$$\d\b F_{12}=k\dfrac{I_1I_2\d\b l_2\times(\d\b l_1\times\b e_{12})}{r^2_{12}}$$

其在静磁学中的地位和静电学中的 Coulomb 定律的地位一样，总结起来就是没啥用，因为大家都在用电磁场作中介，不会一步到位算关系。

孤立电流元之间的相互作用力不一定满足 Newton 第三定律：这是因为不存在孤立的电流元，而当一整段电流被积分起来以后，Newton 第三定律便得到满足了。

事实上，动量守恒定律是比 Newton 第三定律更普适的定律。孤立的电流元（单个运动电荷）伴随着运动的电磁场，其具有一定的动量，电荷动量的交换伴随着电磁场动量的变化。

Coulomb 定律中的 $k=\dfrac1{4\pi\vare_0}$，而 Ampere 定律中的 $k=\dfrac{\mu_0}{4\pi}$，其中 $\mu_0$ 的数值通过单位被严格定义为 $4\pi\times10^{-7}$。

现在仿照电场的定义，定义对应的磁感应强度。将 $I_2\d\b l_2$ 看作试探电流元，则可知

$$\d\b F_2=I_2\d\b l_2\times\b B \\\d\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I_1\d\b l_1\times\b e_r}{r^2}$$

其中，式子

$$\d\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\d\b l\times\b e_r}{r^2} \\\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\oint\dfrac{I\d\b l\times\b e_r}{r^2}$$

即为 B-S 定律（的微分式和积分式），而

$$\d\b F=I\d\b l\times\b B \\\b F=\int I\d\b l\times\b B$$

即为 Ampere 力（的微分式和积分式）。

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磁通连续定律（磁场是无源场、磁场的散度为零、Gauss 磁定律）：即

$$\oiint\b B\cdot\d\b S=0$$

可以从 B-S 定律出发严格证明该定理。

磁感应线围成的磁感应管膨大处磁场弱，收缩处磁场强。

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从 B-S 定律出发，可以推理出磁场的磁矢势表达式。

取场为 $\d l$、截面积 $\d S$ 的小电流管，则电流 $I=J\d S$。因为 $\b J$ 和 $\d\b l$ 共线，所以有 $I\d\b l=\b J\d S\d l$，于是

$$\d\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\d\b l\times\b e_r}{r^2}=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\b J\times\b e_r}{r^2}\d S\d l=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{\b J\times\b e_r}{r^2}\d V$$

注意，其中 $\b J$ 是讨论的电流管原点 $O$ 的函数，而 $\b B$ 是场点的函数，$\b e_r$ 则是自原点指向场点的单位向量。求梯度等概念时，应分清是对何者求梯度（毕竟上述所有函数都可以被看作是源点、场点共同决定的函数）。以下认为，$\nabla$ 是场点微分，而 $\nabla'$ 是源点微分。

计算整个载流导体在某场点处的磁场，有

$$\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\dfrac{\b J\times\b e_r}{r^2}\d V'$$

其中积分范围是全体有电流的部分。后方使用 $\d V'$ 意指积分是关于源点积分。

须知：有式子

$$\nabla\times\left(\dfrac{\b J}r\right)=\dfrac1r\nabla\times\b J+\nabla\left(\dfrac1r\right)\times\b J$$

$\b J$ 是源点函数，与场点无关，于是 $\nabla\times\b J=0$，而 $\nabla\left(\dfrac1r\right)=-\dfrac{\b e_r}{r^2}$，则

$$\nabla\times\left(\dfrac{\b J}r\right)=\dfrac{\b J\times\b e_r}{r^2}$$

这个硬凑出的结果（真的是硬凑出的吗？事实上，磁场的无源性保证这必然可以凑出）可以有

$$\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla\times\left(\dfrac{\b J}r\right)\d V'$$

场点散度和源点积分显然可以互换位置，则

$$\b B=\nabla\times\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\left(\dfrac{\b J}r\right)\d V'$$

式

$$\b A=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\dfrac{\b J}r\d V'$$

即为载流导体在空间中磁矢势的表达式。则 $\b A$ 是一个场点向量场，且有

$$\b B=\nabla\times\b A$$

旋度的散度恒为零。因此磁场连续定理的微分形式即为

$$\nabla\cdot\b B=0$$

即磁场的散度为零。

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回到我们 Ampere 环路定理，即

$$\oint\b B\cdot\d l=\mu_0\sum I$$

尝试得到其微分形式？

$$\nabla\times\b B=(\nabla\times)^2\b A=\nabla(\nabla\cdot\b A)-\nabla^2\b A$$

而

$$\nabla\cdot\b A=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)\d V'$$

其中

$$\nabla\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)=\nabla\left(\dfrac1r\right)\cdot\b J+\dfrac1r\nabla\cdot\b J$$

因为 $\nabla\cdot\b J=0$ 所以

$$\nabla\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)=\nabla\left(\dfrac1r\right)\cdot\b J$$

同理因为电流的恒定条件，有 $\nabla'\cdot\b J=0$，因此同样有

$$\nabla'\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)=\nabla'\left(\dfrac1r\right)\cdot\b J$$

由 $r$ 的表达式，有 $\nabla\dfrac1r=-\nabla'\dfrac1r$，因此

$$\nabla\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)=-\nabla'\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)$$

因此

$$\nabla\cdot\b A=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)\d V' \\=-\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla'\cdot\left(\dfrac{\b J}r\right)\d V'$$

逆用微积分 Gauss 定理可知

$$=-\dfrac{\mu_0}{4\pi}\oiint_\Omega\dfrac{\b J}r\cdot\d\b S$$

体积 $V$ 包含所有 $\b J\neq0$ 的空间，故其表面有 $\b J=0$，因此有上式等于 $0$。可知 $\nabla\cdot\b A=0$。

现在回到开头， 有

$$\nabla\times\b B=(\nabla\times)^2\b A=\nabla(\nabla\cdot\b A)-\nabla^2\b A=-\nabla^2\b A$$

代入 $\b A$ 计算式，则

$$-\nabla^2\b A=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\iiint_V\nabla^2\dfrac{\b J}r\d V'$$

$\b J$ 相对 $\nabla$ 而言是常量，而除场点外的点都有 $\nabla^2\dfrac1r=0$，因此上述积分范围缩小为以场点为中心的小球 $O_\vare$ 内。当 $\vare\to0$ 时 $\b J$ 可看作常数提出，则

$$-\nabla^2\b A=\dfrac{\mu_0\b J}{4\pi}\iiint_{O_\vare}\nabla\cdot\nabla\dfrac1r\d V' \\=\dfrac{\mu_0\b J}{4\pi}\oiint_{\Omega_\vare}\nabla\dfrac1r\cdot\d\b S \\=\dfrac{\mu_0\b J}{4\pi}\oiint_{\Omega_\vare}\dfrac1{\vare^2}\d S \\=\dfrac{\mu_0\b J}{4\pi}\times\dfrac1{\vare^2}\times4\pi\vare^2 \\=\mu_0\b J$$

因此最终得 Ampere 环路定理的微分式

$$\nabla\times\b B=\mu_0\b J$$

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矩形载流线圈在均匀磁场中所受力矩为

$$\b L=IS(\b e_n\times B)$$

将任一线圈切割后即可得其适用于一切平面线圈。其中

$$\b m=IS\b e_n$$

是载流平面线圈本身性质，称为线圈的磁矩，则有

$$\b L=\b m\times\b B$$

磁场总是试图让线圈的磁矩与磁感应强度同向，这一过程会在线圈的磁矩与磁场同向时终止。为了让线圈一直旋转，需要用电刷屏蔽掉半程的电流/将半程电流换向，使得期间线圈以惯性旋转。

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Lorentz 力

$$\b F=q\b v\times\b B$$

通过对自由电子的漂移速度等分析，可以由 Lorentz 力推得 Ampere 力。

初速 $\b v$ 垂直于 $\b B$ 时，粒子作匀速圆周运动，半径为

$$R=\dfrac{mv}{qB}$$

周期为

$$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$$

荷质比（比荷）是带电微观粒子的基本参量，也是计算粒子匀速圆周运动的半径、周期等的重要参数。

发射电子流，通过两个小孔限制其入射方向为直线，然后通过一磁场电场共存区域，此时满足

$$eE=evB \\v=\dfrac EB$$

时该区域内粒子平衡，不会受力偏转。依此法求得电子流速率，然后切断电场使得电子流圆弧运动，求出弧半径得到 $R$ 后，使用 $R,v,B,E$ 四个量即可求得比荷。

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Hall 效应：导电板置于垂直磁场中，通过电流后会产生与电流垂直的电势差，可以用 Lorentz 力解释。满足

$$U=K\dfrac{IB}d$$

其中 $d$ 是极板宽度，$K$ 是 Hall 系数。

令高度为 $b$，要求

$$quB=q\dfrac Ub$$

因为 $I=bdnqu$，所以有

$$K=\dfrac1{nq}$$

则 $K$ 与载流子浓度有关。

电势差与载流子电荷正负号有关，由此可以判定传递电荷的是电子还是空穴。这是为数不多的与载流子电性相关的现象之一。

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在一个参考系中，静止电荷产生静电场；换到另一个参考系中，因为电荷是运动的，所以会产生电场与磁场；一个参考系下的静电作用，另一个参考系下就是电磁相互作用。

相对性原理指不同参考下的力学定律具有相同规律。很多电磁定律都没有协变性，指其在不同参考系下不一定都适用。例如，Coulomb 定律仅能描述静电荷的电场，而环路定理依然。

普遍情形的 Lorentz 力公式是

$$\b F=q(\b E+\b v\times\b B)$$

该公式是具有协变性的。

大量事实表明，总电荷量与运动无关，是具有协变性的，这一点与质量不似。

同理，不同速度的电子具有相同的电荷，恰能使原子保持电中性；不同温度下的原子都要保持电中性，这一点是很重要的。

• 然而，因为运动的距离会缩短，运动带电体的电荷密度会改变。

对受力使用 Lorentz 变换吧。

V.电磁感应与暂态过程

Faraday 电磁感应定律：

$$\Emo=-\dot\Phi$$

方向用 Lenz 定律判断。

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若大块金属处于变化磁场中或切割磁感线运动时，内部会产生感应电流。感应电流呈涡旋状，故称涡流。金属电阻很小，故涡流强度可以很高，释放大量 Joule 热。此法优点是可以在真空中加热金属。与此同时，发电机等场合则需要尽量减少涡流。

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直流电流会均匀通过整个截面，而高频交流电会使得电流趋近于导线表面，即趋肤效应。趋肤效应使有效截面积减小，等效电阻增加。因此频率高但不完全高的导线常常使用辫线，即相互绝缘的细导线编织成束。更高频时，表面常常还需要镀银以减少表面层的电阻。趋肤效应的正面应用例如表面淬火等。

一个粗浅的解释是：电流 $I_0$ 通过会在周围感应出环形磁场 $\b B$，$I_0$ 变化会导致 $\b B$ 变化并感应出电动势 $\Emo$ 和涡流 $I_1$。分析可知，在周期的大部分时间内，在轴线周围 $I_0,I_1$ 反向，在边缘处 $I_0,I_1$ 共向，于是边缘电流即高于中心电流。更详细的分析要交流电相关信息。

电流密度 $J$ 随深度 $d$ 的增加会按指数衰减，即满足式子

$$J=J_0\e^{-d/d_s}$$

其中 $J_0$ 是表面电流密度，$d_s$ 是一个具有长度量纲的量，称之为趋肤深度。趋肤深度由下式决定

$$d_s=\sqrt{\dfrac2{\omega\mu_r\mu_0\sigma}}=\dfrac{503}{\sqrt{f\mu_r\sigma}}$$

其中 $f$ 是频率，$\omega$ 是角速度，$f=\dfrac{\omega}{2\pi}$；$\sigma$ 是电导率。

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动生电动势的来源是 Lorentz 力，公式

$$\Emo=\int(\b v\times\b B)\cdot\d\b l$$

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动生电动势的用处之一是交流发电机：由原动机（外部动力）带动的线圈在磁场中旋转时切割磁感线产生电动势。

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感生电动势由变化磁场本身引起，激发的电场叫做感应电场或涡旋电场。涡旋电场与静电场的区别之一，在于涡旋电场的电场线是闭合的，它不是保守场，沿回路的环量不一定为零。产生感应电动势的非静电力 $\b K$ 来源于这一涡旋电场 $\b E_r$，即

$$\Emo=\oint\b E_r\cdot\d\b l=-\dot\Phi$$

一般情况下，总电场 $\b E$ 是静电场 $\b E_s$ 和涡旋电场 $\b E_r$ 的叠加，即

$$\b E=\b E_s+\b E_r$$

而静电场的环量为零，因此即有

$$\Emo=\oint\b E\cdot\d\b l$$

另一方面，有

$$\Emo=-\dot\Phi=-\dfrac\d{\d t}\iint_S\b B\cdot\d\b S$$

环路不变时，微分可以移进去，于是有 Faraday 电磁感应定律

$$\oint\b E\cdot\d\b l=-\iint\dot{\b B}\cdot\d\b S$$

它是静电场保守性的普遍式，亦适用于非静电场，因此是电磁学的基本方程。在静电学或恒定电流的场合，一切物理量不随时间变化，回到静电场环路定理。

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互感系数是相互的，即 $M_{12}=M_{21}=M$。互感系数衡量线圈激发磁场的磁通量，即

$$\Psi_{12}=M_{12}I_1$$

然后知 $\Emo_2=-M\dot I_1$。

同理有自感系数 $L$，有 $\Psi=LI$。自感电动势 $\Emo=-L\dot I$。

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两线圈间互感系数与其各自自感系数有一定联系：若每一个线圈产生的磁通量对于每一匝都相等且全部穿过另一个线圈——这被称作无漏磁，将两个线圈密排并缠即可——此时

$$M=\dfrac{N_1\Phi_{21}}{I_2}=\dfrac{N_2\Phi_{12}}{I_1} \\L_1=\dfrac{N_1\Phi_1}{I_1},L_2=\dfrac{N_2\Phi_2}{I_2}$$

因为无漏磁，所以 $\Phi_{12}=\Phi_1,\Phi_{21}=\Phi_2$，然后知

$$M^2=L_1L_2 \\M=\sqrt{L_1L_2}$$

在有漏磁的场合，$M$ 比 $\sqrt{L_1L_2}$ 小。

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两个自感线圈顺接时，若通过电流是 $I$，则在线圈 $1$ 中感应出自感电动势 $\Emo_1$ 和线圈 $2$ 对其的互感电动势 $\Emo_{21}$，其方向相同、与电流相反，因此 $1$ 中的电动势是二者相加，有

$$\Emo_1+\Emo_{21}=-(L_1\dot I+M\dot I)$$

$2$ 同理。因为二者方向相同所以可得总自感为

$$L=L_1+L_2+2M$$

同理可得反接的场合有

$$L=L_1+L_2-2M$$

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自感线圈内储存有

$$W=\dfrac12LI^2$$

的自感磁能。同理，互感线圈内储存有

$$W=MI_1I_2$$

的互感磁能。互感磁能可能为负，此时其起到的效果是遏制了一部分自感磁能。

普遍情形下，多个线圈系统储能为

$$W_m=\dfrac12\sum_{i=1}^nL_iI_i^2+\dfrac12\sum_{i\neq j}M_{i,j}I_iI_j$$

互感磁能与电流建立的顺序无关。

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当自感与电阻组成 $LR$ 电路时，如果电路两端的电压出现了自 $0$ 至 $\Emo$ 或相反的阶跃，则因为自感的作用，电路中电流不会突变；电容与电阻的 $RC$ 电路同理。此乃暂态过程。

$LR$ 电流的暂态过程由时间常数 $\tau=\dfrac LR$ 标志；$RC$ 同理，由时间常数 $\tau=RC$ 标志。它们的推理需要似稳电路的 Ohm 定律。

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$LCR$ 电路。其方程为

$$L\dfrac{\d i}{\d t}+iR+\dfrac qC=\begin{cases}\Emo\\0\end{cases}$$

其中有 $i=\dfrac{\d q}{\d t}$。代入得到

$$L\ddot q+R\dot q+\dfrac qC=\begin{cases}\Emo\\0\end{cases}$$

是二阶常系数线性微分方程。

其解的形式与阻尼度

$$\lambda=\dfrac R2\sqrt{\dfrac CL}$$

有密切关系。电容和电感是储能元件，其中能量转化可逆；电阻是耗能元件，能量转换不可逆。$\lambda$ 反映电路中电磁能耗散情况。

$\lambda=0$ 时无阻尼，放电开始后静电能和磁能会互相转化，形成等幅振荡，自由振荡频率 $f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}$，自由周期 $T_0=2\pi\sqrt{LC}$。

$\lambda<1$ 时阻尼振荡，此时振幅不断衰减，但还是会有振荡。此时

$$f=\dfrac1{2\pi}\sqrt{\dfrac1{LC}-\dfrac{R^2}{4L^2}}$$

电阻加大时，振荡频率减小、周期加大，衰减程度增加。

临界值 $\lambda=1$ 时频率趋于 $0$、周期趋于无穷大，衰减过程不再具有周期性，称之为临界阻尼。更大的电阻会让放电更缓慢，此乃过阻尼。

VI.磁介质

关于磁介质磁化理论有两种不同观点，即分子电流观点和磁荷观点，分别导出了 $\b B$ 和 $\b H$ 两个物理量，但却得到了相同的描述宏观规律的表达式。

分子电流观点认为所有磁分子相当于环形电流，当线圈通入电流后电流产生的外磁场 $\b B_0$ 使得分子电流的磁矩趋向于外磁场方向，此时软铁棒即被磁化。内部的分子电流抵消而横截面边缘未被抵消，宏观上看铁棒外侧出现大环形电流，产生的磁感应强度 $\b B'$ 的分布在棒内同 $\b B_0$ 一致，此乃为何铁芯可以增加磁通量。

磁化强度矢量 $\b M$ 是单位体积内分子磁矩矢量和，其与磁化电流有一定关系：

将所有分子看作完全一样电流环，其有面积 $a$ 和取向 $\b e_a$，合起来用矢量面元 $\b a$ 代表。则分子磁矩为 $I\b a$，则 $\b M=nI\b a$。

划出面 $S$，则分子环流分为三类：不与 $S$ 交；交两次；交一次；仅有交一次时对总电流产生贡献。

对 $S$ 表面的 $\d\b l$ 分析可得其穿过的所有分子环流总贡献为 $\b M\cdot\d\b l$，因此积分可得

$$\oint\b M\cdot\d\b l=\sum I_{in}$$

对介质表面的矩形回路运用上式。令介质表面单位长度上磁化电流为 $i'$（面磁化电流密度），则穿过矩形回路的磁化电流为 $i'\Delta l$，且分析得到

$$M_t=i'$$

其中 $M_t$ 为 $\b M$ 关于表面的切线方向。考虑方向得到矢量式

$$\b i'=\b M\times\b e_n$$

即，只有介质表面 $\b M$ 有切向方向的地方 $\b i'\neq0$。

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磁化电流的效果就像均匀密绕螺线管。可知

$$\b B'=\mu_0(l/d)\b M[1+(l/d)^2]^{-1/2}$$

其中 $d$ 为圆棒直径、$l$ 为圆棒长度。

可知：对于无穷长棒，有 $\b B'=\mu_0\b M$。对于薄介质片，有 $\b B'\approx0$。其余场合的 $\b B'$ 介于 $0$ 和 $\mu_0\b M$ 之间。

该公式也适用于闭合介质环上的磁路。截掉一段形成缺口，缺口即对应一段磁阻。

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磁介质中的 Ampere 环路定理为

$$\oint\b B\cdot\d\b l=\mu_0\sum I_{0in}+\mu_0\sum I'_{in}$$

其中 $I_{0in}$ 是穿过回路的传导电流，$I'_{in}$ 是穿过回路的磁化电流。

代入 $\oint\b M\cdot\d\b l=\sum I_{in}$，可以定义 $\b H=\dfrac1{\mu_0}\b B-\b M$ 然后

$$\oint\b H\cdot\d\b l=\sum I_{0in}$$

真空中 $\b M=0$，该式回到 Ampere 环路积分定律。

此外，磁通连续定律也是磁场的基本公式之一，无论是真空还是磁介质中均亦然。

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磁场强度 $\b H$ 最初是被定义与电场强度 $\b E$ 相对的，并建立了与分子电流磁理论等效的磁荷观念。

人们认为，磁铁 N 极聚集正磁荷，S 极聚集负磁荷。实验得到磁的 Coulomb 定律，即

$$F=k\dfrac{q_{m1}q_{m2}}{r^2}$$

在 MKSA 单位制中，$k=\dfrac1{4\pi\mu_0}$，于是磁 Coulomb 式为

$$F=\dfrac1{4\pi\mu_0}\dfrac{q_{m1}q_{m2}}{r^2}$$

磁场强度矢量 $\b H$ 是矢量，其方向等于单位点磁荷在磁场受磁场力大小，即

$$\b H=\dfrac{\b F}{q_{m0}}$$

全体电荷相关理论均可直接移植至磁荷理论。同理有磁偶极子的磁矩 $\b p_m=q_m\b l$。在均匀外磁场的力矩是 $\b L=\b p_m\times\b H$，在外磁场中的磁势能公式 $W=-\b p_m\cdot\b H$。

一壳层的两表面上有等量异号磁荷，即曲面上垂直并列大量磁偶极子，此乃磁壳。磁壳在周围空间场点产生的磁场强度正比于磁壳相对场点所张立体角梯度。

仿照电势可以定义磁势 $U_m$，则 $\b H=-\nabla U_m$。静磁势公式

$$U_m=\dfrac1{4\pi\mu_0}\dfrac{q_m}r$$

令两面磁荷密度 $\pm\sigma_m$，则相对面元 $\d S_\pm$ 的磁荷 $\pm\sigma_m\d S_\pm$ 产生的静磁势

$$\d U_{m\pm}=\pm\dfrac1{4\pi\mu_0}\dfrac{\sigma_m\d S_\pm}{r_\pm}$$

总效果为

$$\d U_m=\d U_{m+}+\d U_m-$$

令磁壳厚度为 $l$、法向量 $\b e_n$。则 $\d S_+$ 相对 $\d S_-$ 位移 $\b l=l\b e_n$。源点的位移等效于场点的反向位移，令 $P$ 位移 $-\b l$ 后到达 $P'$，则 $\d U_m$ 即为 $\sigma_m\d S_+$ 在 $P',P$ 产生磁势之差。因为 $l$ 很小所以差值可以写成梯度。

$$\d U_m=-\b l\cdot\nabla\left(\dfrac{\sigma_m\d S}{4\pi\mu_0r}\right)$$

推式子得到

$$\d U_m=-\dfrac{\pi_m}{4\pi\mu_0}\d\Omega$$

其中 $\pi_m=\sigma_ml$，即单位面积磁偶极矩。计算整个磁壳贡献，积分即得

$$U_m=-\dfrac{\pi_m}{4\pi\mu_0}\Omega$$

故

$$\b H=\dfrac{\pi_m}{4\pi\mu_0}\nabla\Omega$$

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从磁荷角度来看，磁介质的最小单元是磁偶极子。通以磁化场 $\b H_0$ 将对磁偶极子产生力时其磁偶极矩转向磁场方向，宏观效果是磁棒端面上感应出等量正负磁荷。

磁极化强度矢量 $\b J$ 是单位体积内分子磁偶极矩的矢量和。$\b J$ 与 $\b H_0$ 是同向的。与电介质极化强度类似，满足对应公式

$$\oiint\b J\cdot\d\b S=-\sum q_{m,in}=\sum q_{m,out} \\\sigma_m=\b J\cdot\b e_n$$

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总磁场强度是磁化场 $\b H_0$ 和磁荷产生的附加场 $\b H'$ 的叠加，即

$$\b H=\b H_0+\b H'$$

此时磁极化强度不再取决于 $\b H_0$ 而是取决于 $\b H$。正磁荷（N 极）会在 $\b H_0$ 的下游感出，而负磁荷（S 极）会在上游感出，因此 $\b H_0$ 的方向实际与 $\b J$ 相反，也即

$$H=H_0-H'$$

磁场被削弱，因此附加磁场 $\b H'$ 常被称作退磁场。

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细长磁棒和短粗磁棒，若拥有相同磁极化强度，此时细长磁棒因为端磁荷 $\sigma_mS=J_nS$ 较小且距离远，退磁场会比短粗磁棒弱。因此有式子

$$H'=N_DJ/\mu_0$$

此处除以 $\mu_0$ 是为了让 $H'$ 和 $J/\mu_0$ 拥有相同量纲，从而 $N_D$ 是纯数。$N_D$ 被称作介质棒的退磁因子，其随 $l/d$ 增加而单调下降。

推理可知

$$N_D=1-(l/d)[1+(l/d)^2]^{-1/2}$$

于是对于无限长磁棒有 $N_D\approx0$，而极薄介质片 $N_D\approx1$。一般情况下 $N_D\in(0,1)$。

特别地，闭合环状棒亦有 $N_D=0$，其最易磁化。

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我们有载流线圈磁感应强度公式

$$\b B=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\nabla\Omega$$

以及磁壳产生磁感应强度公式

$$\b H=\dfrac{\pi_m}{4\pi\mu_0}\nabla\Omega$$

两公式相似。令线圈与磁壳面积均为 $S$，则线圈磁矩 $m=IS$，磁壳的磁偶极矩 $p_m=\pi_mS$；线圈受力矩为 $\b L=\b m\times\b B$，磁偶极子受力矩为 $\b L=\b p_m\times\b H$。比较可得，若令

$$\b m=\dfrac{\b p_m}{\mu_0} \\\b B=\mu_0\b H$$

则二式等价。换言之，磁矩为 $\b m$ 的电流环等价于偶极矩为 $\b p_m=\mu_0\b m$ 的磁壳。对该观察应用于磁分子，可得

$$\b M=\b J/\mu_0$$

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同理，可以从磁荷角度重新审视之前若干结论。

B-S 定律

$$\b H_0=\dfrac1{4\pi}\int\dfrac{\d\b l\times\b e_r}{r^2} \\\d\b H_0=\dfrac I{4\pi}\dfrac{\d\b l\times\b e_r}{r^2}$$

由此得 Gauss 定理和 Ampere 环路定理

$$\oiint\b H_0\cdot\d\b S=0 \\\oint\b H_0\cdot\d\b l=\sum I_0$$

同理，$\b H'$ 服从的定理和极化电荷定律类似

$$\oiint\b H'\cdot\d\b S=\dfrac1{\mu_0}\sum q_{m,in} \\\oint\b H'\cdot\d\b l=0$$

叠加 $\b H=\b H_0+\b H'$，得到

$$\oiint\b H\cdot\d\b S=\dfrac1{\mu_0}\sum q_{m,in} \\\oint\b H\cdot\d\b l=\sum I_{0,in}$$

此时引入磁极化强度矢量，并引入与电位移 $\b D$ 对应的辅助量 $\b B$ 磁感应强度满足

$$\b B=\mu_0\b H+\b J$$

于是

$$\oiint\b B\cdot\d\b S=0$$

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两种观点虽然微观模型不同，但服从的基本定理却完全一样。磁介质强度理论相关更贴近磁场本质，但磁荷理论有时更简便。

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磁化率

$$\chi_m=\dfrac MH=\dfrac J{\mu_0 H}$$

磁导率

$$\mu_r=\dfrac B{\mu_0 H}$$

因为

$$\b B=\mu_0(\b H+\b M)=\mu_0\b H+\b J$$

所以

$$\mu_r=1+\chi_m$$

因此

$$\b M=\chi_m\b H \\\b B=\mu_r\mu_0\b H=\mu\b H$$

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分子 $\b m$ 的来源：因为电子在原子或分子中的运动包括轨道运动和自旋两部分，轨道运动相当于电流环，具有轨道磁矩；自旋产生自旋磁矩。因为电子带负电，磁矩 $\b m$ 和角速度 $\omega$ 总是反向的。令半径为 $r$，则周期为 $T=\dfrac{2\pi}\omega$，电流为 $-\dfrac{e\omega}{2\pi}$，电矩 $\b m=-\dfrac{er^2}2\ome$。

磁介质分子，有些分子的电子磁矩不抵消，则有固有磁矩；有些抵消，则无。有固有磁矩时，无磁场则取向随机磁矩抵消，有磁场则磁矩取向磁场，加强磁场，产生顺磁性。热运动干扰磁矩取向，因此温度越高 $\chi_m$ 越小。

现考虑抗磁性。令电子 $\omega_0$、半径 $r$，原子序数 $Z$，Coulomb 力

$$F_L=\dfrac{Ze^2}{4\pi\vare_0r^2}$$

由 Newton 第二定律，其等于向心力 $m\omega_0^2r$，解得

$$\ome_0=\sqrt{\dfrac{Ze^2}{4\pi\vare_0mr^3}}$$

加上外磁场 $\b B$ 后，电子受 Lorentz 力 $-e\b v\times\b B$。为简单起见，令轨道面与外磁场垂直。若 $\b\ome\para\b B$，则 Lorentz 力指向中心。假设轨道半径不变（这一点由量子理论保证），则角速度增加到 $\ome=\ome_0+\Delta\ome$，于是满足新运动方程

$$\dfrac{Ze^2}{4\pi\vare_0r^2}+e\ome rB=m\ome^2r$$

当 $B$ 不太大（$B\ll\dfrac{m\ome_0}e$），$\Delta\ome\ll\ome_0$，于是 $\ome^2\approx\ome_0^2+2\ome_0\Delta\ome$，代入得到

$$\Delta\ome=\dfrac{eB}{2m}$$

同理可以证明，当 $\b\ome\para-\b B$ 的情形，背离中心的 Lorentz 力会导致 $\ome=\ome_0-\Delta\ome$，此时 $\Delta\ome$ 也由上式决定。于是

$$\Delta\b m=-\dfrac{er^2}2\Delta\b\ome=-\dfrac{e^2r^2}{4m}\b B$$

理论上可以证明，$\Delta\ome$ 总与 $\b B$ 的方向一致，从而感生的附加磁矩 $\Delta\b m$ 总与 $\b B$ 反向，进而整个分子内产生与外磁场反向的感生磁矩，此乃抗磁性的来源。

上述抗磁性于顺磁性分子中同样展现，但因顺磁性远强于抗磁性，所以抗磁性被掩盖了。

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$\b B$ 的法线分量连续，而 $\b H$ 的切向分量连续，于是知介质折射定律。

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对于磁路而言，由 Ampere 环路定理，

$$NI_0=\oint\b H\cdot\d\b l=\sum H_il_i \\=\sum\dfrac{B_il_i}{\mu_i}=\sum\dfrac{\Phi_{B_i}l_i}{\mu_iS_i}$$

其中 $N$ 是产生磁化场的线圈匝数，$I_0$ 是励磁电流。$H_i,l_i,B_i,\mu_i,S_i$ 分别是第 $i$ 段均匀磁路中的磁场强度、长度、磁感应强度、绝对磁导率、截面积。在无漏磁的场合，通过各磁路的磁感应强度通量相同，可统一用 $\Phi_B$ 表示，于是

$$NI_0=\sum H_il_i=\Phi_B\sum\dfrac{l_i}{\mu_iS_i}$$

于是有如下的对应关系：

电路	磁路
电动势 $\Emo$	磁动势 $\Emo_m=NI_0$
电流 $I$	磁感应通量 $\Phi_B$
电导率 $\sigma_i$	绝对磁导率 $\mu_i=\mu_{r_i}\mu_0$
电阻 $R_i=\dfrac{l_i}{\sigma_iS_i}$	磁阻 $R_{m_i}=\dfrac{l_i}{\mu_iS_i}$
电势降落 $U_i=IR_i$	磁势降落 $U_{m_i}=H_il_i=\Phi_BR_{m_i}$

写成与电路公式更相近的形式即为

$$\Emo_m=\sum H_il_i=\Phi_B\sum R_{m_i}$$

此乃磁路定理，即闭合磁路的磁动势等于各段磁路上磁势降落和。

磁路上偶会留有气隙，此时气隙相当于一个很大的磁阻，对磁路整体都有很大影响。

用铁壳包裹空气腔，则铁壳相当于与空气并联于磁路中，磁感线主要经过磁阻小的铁壳中，空气腔中几乎没有磁场，此乃磁屏蔽。磁屏蔽的效果不如静电屏蔽，因此常常需要多包几层铁壳。

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磁场密度公式为

$$\ome_m=\dfrac12\b B\cdot\b H$$

VII.交流电

交流电的波形多样：简谐波、锯齿波、方波、尖脉冲、调频波、调幅波等。但由 Fourier 变换，一切交流电都可分解为简谐成分之和。

简谐波的任何变量都可以被写成时间 $t$ 的正余弦函数的形式。使用余弦函数为标准，有

$$e(t)=\Emo_0\cos(\ome t+\varp_e) \\u(t)=U_0\cos(\ome t+\varp_u) \\i(t)=I_0\cos(\ome t+\varp_i)$$

交变简谐量有其幅值或峰值，但几乎所有交流电表均按有效值来刻度，等于峰值的 $\dfrac1{\sqrt2}\approx70\%$。我国电压是 $U=220\Vo$，即其峰值为 $U_0=\sqrt2U\approx311\Vo$。

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交流电路中反映某一元件上电压与电流的关系需要两个量：其峰值之比，称为该元件的阻抗 $Z=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac UI$，二是相位差 $\varp=\varp_u-\varp_i$，二者合起来表示元件本身特性。

电阻的特性最简单，因为其仍满足 Ohm 定理，于是有 $Z_R=R,\varp_R=0$。

恒定直流电无法通过电容，但交流电不然，且频率越高交流电越容易通过。这是因为电容器在交变电动势作用下时而充电时而放电。

已知电流 $i(t)=\dot q(t)$，其中 $q$ 即为极板上电荷量。令 $q(t)$ 初相位为 $0$，则

$$\begin{cases} q(t)=Q_0\cos\ome t \\u(t)=U_0\cos(\ome t+\varp_u) \\i(t)=I_0\cos(\ome t+\varp_i) \end{cases}$$

则 $i(t)=\dot q(t)=\ome Q_0\cos(\ome t+\dfrac\pi2)$，而因为电压与电荷成正比所以 $u(t)=\dfrac{q(t)}C=\dfrac{Q_0}C\cos\ome t$，于是 $I_0=\ome Q_0,U_0=\dfrac{Q_0}C,\varp_i=\dfrac\pi2,\varp_u=0$，可知电容的阻抗 $Z_C=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac1{\ome C}$，相位差 $\varp=\varp_u-\varp_i=-\dfrac\pi2$。

也即，容抗与频率呈反比，频率越高容抗（电阻）越低；总结而言，电容具有高频短路、直流开路的效果。电容上电压相位落后电流 $\dfrac\pi2$，本质因为电压正比于电荷而电流正比于电荷微分，微分使得余弦变正弦、相位差了 $\dfrac\pi2$。

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电感的场合，沿电流方向电压下降，电容具有遏制电流增加的效果，说明电流增加时电容相当于一个正电动势，因此

$$u=L\dfrac{\d i}{\d t}$$

代入得到

$$Z_L=\omega L \\\varp_L=\dfrac\pi2$$

即，电感元件具有阻高频、通低频的性质。

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交流电路中，电压、电流的峰值或有效值间关系仍和直流电流中的 Ohm 定律类似，即 $U=IZ$ 或 $I=\dfrac UZ$，但因为有相位差，瞬时值之间一般不存在简单比例关系。

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交流电中，串并联定律仍然适用，即对于串联电路，

$$u(t)=\sum u_i(t)$$

对于并联电路则是

$$i(t)=\sum i_i(t)$$

但电压表、电流表读数则不然，这是因为交流电表读数是有效值而非瞬时值，对于有效值来说串并联电路中不满足上式。为何如此？因为相位差：有相位差的同频简谐量不在同一时刻达到峰值，则合成量的峰值势必不等于峰值之和（典型例子例如两个差半周期的波会抵消）。

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设同频简谐量 $A_i\cos(\ome t+\varp_i)$，其合成可以依下法算得：

• 在平面直角坐标系中作向量 $\b A_i$，其辐角等于初相位 $\varp_i$，模长等于峰值 $A_i$，即相当于复数 $A_i\exp(\j\varp_i)$。注意，物理中为与电流 $i$ 区分，使用 $\j$ 表示虚数单位。
• 求 $\sum\b A_i$ 即为合成波的对应向量。
• 复原即可。

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考虑 RC 串联电路。则通过电流是共同的 $i(t)$，以水平矢量 $\b I$ 表示，则电阻分压 $\b U_R$ 与 $\b I$ 平行，而电容分压 $\b U_C$ 比 $\b I$ 落后 $\dfrac\pi2$ 因此垂直 $\b I$ 向下，作图可知和电压 $\b U$ 的长度为 $\sqrt{U_R^2+U_C^2}$。RC 并联同理，此时电压相同电流偏差相位。

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复数法是另一种方法。

$$A_i\cos(\ome t+\varp_i)\leftrightarrow\tilde A_i=A_1\exp(\j(\ome t+\varp_i))$$

则亦可直接求和得到合成结果。

由此引入复电压、复电流的概念，即为电压、电流依上法对应的结果。于是

$$\dfrac{\t U}{\t I}=\dfrac{U_0}{I_0}\exp(\j(\varp_u-\varp_i))=Z\exp(\j\varp)$$

这也是一个复数，记作 $\t Z$，即

$$\t Z=Z\e^{\j\varp}$$

则其完全概括了阻抗和相位差两方面性质，称为复阻抗。引入复阻抗的场合，式子变为优雅的

$$\dfrac{\t U}{\t I}=\t Z$$

串并联同理。串联电路满足电压线性性 $\t U=\sum\t U_i$ 和复阻线性性 $\t Z=\sum\t Z_i$，并联电路满足电流线性性 $\t I=\sum\t I$ 和复阻倒线性性 $\dfrac1{\t Z}=\sum\dfrac1{\t Z_i}$。

阻抗 $\t Z$ 的倒数称作导纳 $\t Y$，即

$$\t Y=\dfrac1{\t Z}=\dfrac{\t I}{\t U}$$

则有

$$\t Y=\dfrac1Z\e^{-\j\varp}$$

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Kirchhoff 方程组的复形式：

$$\sum\pm\t I=0 \\\sum\t U=\sum(\pm\t I\t Z)+\sum(\pm\t\Emo)=0$$

使用之可以解决一切不含互感之简谐交流电路问题。

等效电压源定理、$Y$-$\Delta$ 代换等仍是有用之二级结论。

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计算功率。若存在相位差 $\varp$，则

$$P(t)=I_0U_0\cos\ome t\cos(\ome t+\varp) \\=\dfrac12U_0I_0\cos\varp+\dfrac12U_0I_0\cos(2\ome t+\varp)$$

其由常数项和二倍频率周期变化项组成。

有意义的往往不是瞬时功率而是平均功率，即

$$\bar P=\dfrac1T\int_0^TP(t)\d t$$

周期性变化项会抵消，然后有

$$\bar P=\dfrac12U_0I_0\cos\varp$$

纯电阻元件有 $\bar P=\dfrac12U_0I_0$，$\dfrac12$ 的系数其实相当于两个 $\dfrac1{\sqrt2}$ 相乘，也即 $\bar P=UI$。纯电阻、纯电感元件因为差 $\dfrac\pi2$ 所以平均功率为零，即在一些周期内储能、一些周期内输能。

公式 $\bar P=\dfrac12U_0I_0$ 也可以被强行套用复数场合，满足

$$\bar P=\dfrac12\Re(\t U\t I^*)=\dfrac14\Re(\t U^*\t I+\t U\t I^*)$$

其中 $z^*$ 是一个复数的共轭。

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电流可以看成两个电流的叠加，即 $I_\para=I\sin\varp,I_\perp=I\cos\varp$，与 $\b U$ 的相位为 $0$ 或 $\pm\dfrac\pi2$。其中，只有 $\b I_\para$ 做功，称为有功分量/有功电流，$\b I_\para$ 即为无功分量/无功电流。但是无功电流会产生 Joule 热，因此无功电流应该尽量避免。

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视在功率/表观功率 $S=UI$，它不等于实际功率，因为没有乘以功率因数 $\cos\varp$，因此 $S$ 一般大于 $\bar P$。为区别，视在功率的单位往往写成伏安 $\Vo\cdot\Am$ 而非 $\Wa$。

无功功率 $P_{\text{无功}}=UI_\perp$，且满足 $S=\sqrt{P_{\text{有功}}^2+P_{\text{无功}}^2}$​ 的三角形关系。为区别，无功功率的单位常被称作“乏”或“千乏”，英文全称 volt-ampere reactive，写成单位是 $\Var$。其衡量电容和电感间交换能量的速率。

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复阻抗 $\t Z$ 的实部 $r$ 称作有功电阻，虚部 $x$ 称作电抗。负电抗称为容抗，正电抗称作感抗。

$P_{\text{有功}}=I^2r,P_{\text{无功}}=I^2x$。

一个电抗元件的品质系数 $Q$ 的定义为

$$Q=\dfrac{P_{\text{无功}}}{P_{\text{有功}}}=\dfrac xr$$

$Q$ 高则损耗小。$Q$ 其实是损耗三角形一个角的 $\cot$ 值，该角 $\delta=\dfrac\pi2-\varp$，称为损耗角。则

$$\tan\delta=\dfrac1Q,Q=\dfrac1{\tan\delta}$$

而 $\tan\delta$，即 $Q$ 的倒数，为耗散因数。

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在一个频率可调的信号发生器上连接 LCR 电路，得到串联谐振电路。从低到高改变发生器频率 $f$，会发现电流随频率有一个极大值 $I_M$，换言之总阻抗有一个极小值 $Z_m$。极大值处称之为出现了谐振，该频率即为谐振频率。

使用矢量分析得到总电压为

$$U=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C)^2}$$

代入

$$U_R=IR \\U_L=\ome LI \\U_C=\dfrac I{\ome C}$$

解得

$$U=I\sqrt{R^2+\left(\ome L-\dfrac1{\ome C}\right)}$$

总阻抗即为

$$Z=\sqrt{R^2+\left(\ome L-\dfrac1{\ome C}\right)}$$

相位差为

$$\varp=\arctan\dfrac{U_L-U_C}{U_R}=\arctan\dfrac{\ome L-\dfrac1{\ome C}}{R}$$

于是可知，当

$$\ome=\dfrac1{\sqrt{LC}}$$

时 $I$ 值最大，故 $f_0=\dfrac1{2\pi\sqrt{LC}}$。

可以求得谐振时的 $Z_m=R,I_M=\dfrac UR$，看起来就像是电容、电感都不存在一样。但实际并非如此。

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一个周期 $T$ 中电阻元件损耗能量为

$$W_R=RI^2T$$

其中 $I$ 是电流有效值。

电容电感存储总能量为

$$W_S=\dfrac12Li^2(t)+\dfrac12Cu_C^2(t)$$

若 $i(t)=I_0\cos\ome t$，可知

$$W_S=\dfrac12I_0^2(L\cos^2\ome t+\dfrac1{\ome^2C}\sin^2\ome t)$$

则谐振电路与外界交换无功功率。谐振场合 $W_S$ 不再随时间变化，$LI^2$ 的电磁能稳定存于电路中，只需有功功率 $W_R$ 输入电路即可。因此谐振电路的品质因数（$Q$ 值）为

$$Q=2\pi\dfrac{W_S}{W_R}$$

$Q$ 值越高，则谐振电路储能效率越高。