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$$\newcommand{\Co}{\operatorname C} \newcommand{\Am}{\operatorname A} \newcommand{\Vo}{\operatorname V} \newcommand{\Me}{\operatorname m} \newcommand{\Se}{\operatorname s} \newcommand{\Ne}{\operatorname N} \newcommand{\Fa}{\operatorname F} \newcommand{\Jo}{\operatorname J} \newcommand{\Om}{\operatorname\Omega} \newcommand{\Si}{\operatorname S} \newcommand{\Te}{\operatorname T} \newcommand{\Ga}{\operatorname G} \newcommand{\Wb}{\operatorname{Wb}} \newcommand{\He}{\operatorname H} \newcommand{\eV}{\operatorname{eV}} \newcommand{\v}{\vec} \newcommand{\b}{\mathbf} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\e}{\mathrm e} \newcommand{\vare}{\varepsilon} \newcommand{\varp}{\varphi} \newcommand{\ome}{\omega} \newcommand{\the}{\theta} \newcommand{\Emo}{\mathcal E} \newcommand{\ovl}{\overline} \newcommand{\para}{\parallel}$$

主要参考文献：

张三慧. 大学物理学. 电磁学[M]. 北京:清华大学出版社, 2008.09.

其它参考文献：

赵凯华,陈熙谋. 新概念物理教程. 电磁学[M]. 北京:高等教育出版社, 2006.12.

赵凯华,陈熙谋. 电磁学[M]. 北京:高等教育出版社, 2011.7.

特别鸣谢：

感谢清华大学紫荆宿舍二号楼 518B-交叉信息研究院活动室对本文的书籍赞助。

XII.静电场

XII.I.电荷

电荷的基本单元为 $e=1.602\times10^{-19}\Co$ 的基元电荷。

电荷守恒定律：没有净电荷出入边界的系统，正负电荷代数和不变。

• 电荷可以产生或消失：光子可以被转化“产生”一对正负电子，正负电子也可以“湮灭”成为光子。
• 极罕见地，电子可以衰变为中微子，但是因为过于罕见所以在统计学意义下可以认为电荷守恒仍成立。

电量与运动状态无关，即电荷的 相对论不变性。

XII.II.库仑定律与叠加原理

静电学 是研究静止电荷相互作用的学科。其核心为 Coulomb 定律（真空形式）

$$\b F_{21}=k\dfrac{q_1q_2}{r_{21}^2}\b e_{21}$$

其中 $\b F_{21}$ 为 $q_2$ 受 $q_1$ 的力，$\b e_{21}$ 为 $q_1$ 向 $q_2$ 的单位矢量。

$k=8.990\times10^9\Ne\cdot\Me^2/\Co^2\approx9\times10^9\Ne\cdot\Me^2/\Co^2$。往往使用 真空介电常量（真空电容率）$k=\dfrac1{4\pi\vare_0}$ 来定义 $k$，此时 Coulomb 公式变为

$$\b F_{21}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r_{21}^2}\b e_{21}$$

$\vare_0=8.85\times10^{-12}\Co^2/(\Ne\cdot\Me^2)=8.85\times10^{-12}\Fa/\Me$

空气中，Coulomb 定律仍可以极小误差成立。

电力叠加原理：两点电荷间作用力不因第三电荷存在而改变。

XII.III.电场与电场强度

电场强度（简称电场）被下式所定义：

$$\b E=\dfrac{\b F}{q}$$

其中 $\b F$ 是试探电荷 $q$ 置于场中某处而受力。

由电力叠加原理可知电场叠加原理。

XII.IV.静止的点电荷的电场及其叠加

静止点电荷周围的电场为

$$\b E=\dfrac{q}{4\pi\vare_0r^2}\b e_r$$

其中 $\b e_r$ 是自点电荷指向某处的单位向量。

若是带电体，则要使用积分式，即

$$\b E=\int\d\b E=\int\dfrac{\d q}{4\pi\vare_0r^2}\b e_r$$

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相隔一定距离的等量异号点电荷，若二者间距远小于其一到待讨论场点的距离时，此对点电荷被称作 电偶极子。

令 $\b l$ 为 $-q$ 至 $+q$ 的矢量。令偶极子中心到偶极子中垂线上一点 $P$ 的距离为 $r$，$-q,+q$ 到 $P$ 的矢量分别为 $\b r_-,\b r_+$，则

$$\b E=\dfrac{q(\b r_+-\b r_-)}{4\pi\vare_0\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}^3} \\=-\dfrac{q\b l}{4\pi\vare_0\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}^3}$$

当 $r\gg l$ 时，$\sqrt{r^2+\dfrac{l^2}4}\approx r$，因此上式

$$\approx-\dfrac{q\b l}{4\pi\vare_0r^3}$$

其中，$q\b l$ 是电偶极子本身性质，因此可以以一个名词电偶极矩（电矩）称呼之，即 $\b p=q\b l$。那么公式为：在电偶极子中垂线上较远处，有

$$\b E=-\dfrac{\b p}{4\pi\vare_0r^3}$$

---

电偶极矩有其扩展。例如，在系统电中性的场合，可以定义电多极矩

$$\b p=\sum q_i\b r_i$$

参考点任意选择，$\b r_i$ 为自参考点指向系统中某一电荷的向量。可以发现，电偶极子的电偶极矩是电多极矩的一个特殊情况。而当非电中性的场合，参考点不能任意选择，此时有一些约定俗成的选点，例如质子的电矩一般参考点选择质心。

电多极矩的用处目前还未知。

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在均匀电场中放一个电偶极子。令 $\b r_+$ 和 $\b r_-$ 分别为自电偶极子中点到 $+q$ 和 $-q$ 的径矢，则电偶极子所受力矩为

$$\b M=q(\b r_+-\b r_-)\times\b E=q\b l\times\b e=\b p\times\b E$$

$\b M$ 的作用总是让电偶极子的电矩取向 $\b E$ 的方向；二者平行时力矩为 $0$。

XII.V.电场线和电通量

穿过一个面元 $\d S$ 的电通量元 $\d\Phi_e$，被定义为 $E\d S_\perp$，其中 $\d S_\perp$ 是垂直电场的投影面元。令 $\d\b S=\b e_S\d S$，其中 $\b e_S$ 为面的法向量（显然，此时我们考虑有向面元，因此法向量有着确定的某一方向），则 $\d\Phi_e=\b E\cdot\d\b S$。穿过整个有向曲面的电通量

$$\Phi_e=\int\d\Phi_e=\int\b E\cdot\d\b S$$

点电荷电场在刨除原点的场合下是保守场；由 Gauss 定律，保守场上不包含原点的闭曲面积分为零，而包含原点的闭曲面——采用球面积分——是

$$\Phi_e=\oint\b E\cdot\d\b S=\oint\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}\d S=\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}4\pi r^2=\dfrac q{\vare_0}$$

这里可以看到为什么真空介电常数与 $k$ 的换算时带入了 $4\pi$ 的量：为了达到这一结果。

进而有推论：若干点电荷构成的场中，闭曲面的电通量为

$$\Phi_e=\dfrac1{\vare_0}\sum q_{\text{in}}$$

其中 $q_{\text{in}}$ 取遍闭曲面内部点电荷。

由 Coulomb 定律可以推出 Gauss 定律；反之亦然。因此，在静电学中，两定律等价。实验表明，Gauss 定律在电荷运动时仍然有效，因此是普适的定律，而 Coulomb 定律不然。

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Gauss 定律可以被用于求电场强。这需要电荷分布有某种程度的对称性，进而电场有对称性。选取合适的封闭积分面（称作 Gauss 面）使得积分 $\oint\b E\cdot\d\b S$ 中的 $\b E$ 能以标量提出，进而由 Gauss 定理可以求出 Gauss 面上处处场强，通过参数调整 Gauss 面（这一点体现对称性）求出全空间上场强。

• 单点的场合，Gauss 面选取球面，即得 Coulomb 定律。
• 均匀带电球面的场合，Gauss 面仍选取球面，得到均匀球面在球面外电场分布就如同点电荷一般，而在球面内处处为零。
• 均匀带电球壳看作众多均匀带电球面的复合。
• 无限长均匀带电直线的场合，可以选圆筒作为 Gauss 面，此时圆筒的上下底面均无通量。
• 平面同理。
• 两有间距的平行平面，此时不能直接 Gauss 处理，但是可以用电场叠加原理处理。

XIII.电势

XIII.I.静电场的保守性

电场是保守场，保守场即可定义势能：两点间的任意线积分总等于二者势能差。换言之，环路线积分恒为零，是保守性的另一说法，即静电场环路定理。

XIII.II.电势差和电势

电势需要指定一点的电势为零，该点被称作电势零点。有限区域的电荷，此时电势零点常选择无穷远处；地面常常也被认为是零电势。

电势的单位等于电场强度乘以距离（线积分的场合），也等于功除以电量，因此有

$$1\Vo=1\Jo/\Co$$

需要注意的是，例如无限长导线的场合，电荷分布于无限区域内，此时不能选择无穷远处为零点——可以选择距导向某距离处为零点。

点电荷电势公式为

$$\varp=\dfrac q{4\pi\vare_0r}$$

带电体的电势就关于整体按上式积分即可。

XIII.III.电势叠加原理

一个电荷系的电场中任一点的电势，等于每一个带电体单独存在时该点电势之和，这被称作电势叠加原理。

等电势点组成的曲面被称作等势面。等势面与电场线处处正交。

XIII.IV.电势梯度

电场强度总是沿着电势变化速率最快的方向。因此有

$$\b E=-\nabla\varp$$

对于一个带电体，因为电势是标量，所以可以关于带电体直接标量积分求得电势，再求梯度得到电场强度；然而，若要直接求电场强度，则需要矢量积分，常常是麻烦的。

XIII.V.电荷在外电场中的静电势能

静电场中的电荷存在静电势能（简称 电势能）；沿电场线移动时，电势能减少量等于电场力做功。电势能

$$W=q_0\varp$$

即电势能等于电量乘电势。

电势能是电荷与电场相互作用时共有的能量，是一种相互作用能。

电势能的单位是 Joule。或者，一单位电子在 $1\Vo$ 电场下具有的能量被称为一电子伏特，即

$$1\eV=1.60\times10^{-19}\Jo$$

电矩为 $\b p$ 的电偶极子在均匀外电场 $\b E$ 中拥有电势能 $-\b p\cdot\b E$。

XIII.VI.电荷系的静电能

将各电荷从现有位置彼此分散到无限远时，其间静电力所做功称为电荷系在起始状态下所具有的 静电能，或相互作用能（简成 互能）

两个距离为 $r$、电量分别为 $q_1,q_2$ 的电荷，其所含互能

$$W_{12}=\dfrac{q_1q_2}{4\pi\vare_0r}$$

代入点电荷电势公式，可知

$$W_{12}=q_1\varp_1=q_2\varp_2$$

为对称，写成

$$W_{12}=\dfrac12(q_1\varp_1+q_2\varp_2)$$

的式子。

归纳可得，$n$ 个点电荷组成的电荷系下互能为

$$W=\dfrac12\sum q_i\varp_i$$

其中 $\varp_i$ 为 $q_i$ 以外其它电荷共同产生的在 $q_i$ 处的电势。

---

而如果是单一带电体而非多点电荷系统，其静电能即为切割成静电元并无限分散时的功，此时也称（静电）自能。

静电自能公式为

$$W=\dfrac12\int\varp\d q$$

其中 $\varp$ 为带电体在 $\d q$ 处产生的电势（因为 $\d q$ 是无限小电荷元所以不用忽略自身电势）。

实际场合下，常常需要将一部分电荷摘出体系考虑，此时该电荷以外的其它电荷产生的电场就是外电场，而该电荷所持电势能其实本质上是该电荷与外电场电荷系共同拥有之互能。

XIII.VII.静电场的能量

静电能储存于电场中。

表面均匀带电、半径为 $R$、总电荷为 $Q$ 的橡皮气球，因为电荷间斥力会膨胀。初态静电能为

$$W=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}$$

膨胀 $\d R$ 的半径后，会发现

$$-\d W=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0(R+\d R)} \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}(1-\dfrac{\d R}R+\left(\dfrac{\d R}R\right)^2-\dots) \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}-\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R}(1-\dfrac{\d R}R) \\=\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R^2}\d R$$

因为均匀带电球体内部电场强度为零，且球体膨胀不改变球体外部电场分布，仅仅清零了 $\d R$ 球壳内的电场，所以可以认为 $\d R$ 的球壳内存储了 $\dfrac{Q^2}{8\pi\vare_0R^2}\d R$ 的能量。$\d R$ 球壳内的电场强度为 $E=\dfrac Q{4\pi\vare_0R^2}$，因此有

$$\d W=\dfrac{\vare_0E^2}2\d V$$

其中 $\d V=4\pi R^2\d R$ 是球壳体积。球壳内各处电场强度大小几乎相同，因此可以引入 电场能量密度 的概念。以 $\ome_e$ 表示电场能量密度，则

$$\ome_e=\dfrac{\d W}{\d V}$$

在上述场合下，有 $\ome_e=\dfrac{\vare_0E^2}2$。虽然这仅是一个特例，但因为其仅涉及到 $E$ 这一电场本身性质，所以可以证明其适用于静电场的一般情况。带电系统的总电场能量进而可以写成

$$W=\int\ome_e\d V=\int\dfrac{\vare_0E^2}2\d V$$

注意该积分在全空间内进行，若是带电体的场合也不会局限于带电体内部。

静电场能量和互能（自能）的两个式子计算结果应是相同的，区别在于计算时使用电势还是电场罢了。

XIV.静电场中的导体

XIV.I.导体的静电平衡条件

导体静电平衡，指其内部及表面均无电荷定向移动。要达到这一点，必须满足两个条件：

• 内部电场处处为零。（换言之，导体是等势体）
• 表面电场线处处与表面正交。（换言之，导体表面是等势面）

例如，带电导体 $A$ 和不带点导体 $B$ 二者隔一定距离放置，此时 $B$ 中的自由电子在 $A$ 上电荷形成的电场作用下移动，生成等量异号的 感生电荷，这些感生电荷进一步影响电场分布，反过来影响 $A$ 上电荷，不断调整直至稳态。

XIV.II.静电平衡的导体上的电荷分布

• 静电平衡时，内部净电荷处处为零，电荷仅分布于表面（证明：对每个体积元应用 Gauss 定理，若内部有电荷则体积元会有电通量进而有电场）。

• 并且，表面的面电荷密度与紧邻处的电场大小成正比（对表面的柱体使用 Gauss 定理，则应有

  $$E\Delta S=\dfrac{\sigma\Delta S}{\vare_0}$$

  其中 $\sigma$ 是面电荷密度；因此有 $\sigma=\vare_0E$）

  应用该式可以由面电荷密度反推表面电场强度；但需要注意的是，表面电场强度并非仅由相邻处的面电荷生成，而是整个带电体的电荷共同生成，只不过恰好满足上述定量定律罢了）

• 孤立导体静电平衡时，表面曲率越大则面电荷密度越大。这是因为，导体表面的电荷同性，它们会互相排斥；高曲率时，斥力的分量很大程度指向表面外，此时与表面平行的分量会很小，进而可以容纳更近距离的电荷。因此，例如针尖等曲率极大处容易积攒超量电荷，产生 尖端放电——这是因为，过高的面电荷密度意味着过高的电场强度，此时空气分子可能电离为等量异号电荷，其中与导体异种电荷与导体电荷中和，同种电荷受电场影响被高速射出，整体来看就像是导体上电荷被喷射而出。

XIV.III.有导体存在时静电场的分析与计算

导体被突然置入已有电场后，电荷的感生与移动是难以描述的，因此计算基本上只能使用如下条件：导体电荷守恒；静电平衡时导体表面的等势性；Gauss 定律，三者列方程并求解。

XIV.IV.静电屏蔽

静电平衡时，作包围空腔的等势面可知空腔表面必然无净电荷；若有等量正负电荷分布于空腔表面上不同位置，则有些区域有正 $\sigma$ 和正附近场强，有些有负 $\sigma$ 和负场强；有场强就有电场线，因为空腔内无电荷所以电场线必始于正 $\sigma$ 终于负 $\sigma$，则二者间存在电势差，破坏了等势面条件。因此，静电平衡时空腔内表面上处处无电荷。空腔若有电场线，则其不可能始于空腔壁，更不可能在腔内起讫或成环，故亦处处无电场。则空腔内部及表面必处处无电荷、无电场，这一性质与导体壳外界电场无关：若外界电场改变，则导体壳外表面电荷会重新排布，使得最终内部无电荷。

现在考虑空腔内有电荷的场合。此时取包围空腔等势面，可知空腔内表面总电荷为空腔内总电荷的相反数。若此时已知金属外壳上总电荷，则金属外壳外表面总电荷即可知。若对外壳外表面接地，则外表面无电荷，使得内部电荷对外界的影响终止于空腔内表面，使得空腔内的电场得以不影响外界。

XIV.V.唯一性定理

给定若干静止导体，则只要对于每个导体，知晓二者其一：

• 其所携电量。
• 其表面电势。
• 这二者都被称为边界条件。

则静电场分布唯一确定，这被称为 唯一性定理。

假设所有导体的表面电势均确定，则若存在两不同分布 $\varp_1$ 与 $\varp_2$，考虑求差得到 $\varp$，则 $\varp$ 在所有边界处均为零势。由电势叠加原理，$\varp$ 显然是一合法电势场。若 $\varp$ 存在非零极大值或极小值（不妨令存在极大值），则所有电场线均由极大值射出，取包裹之 Gauss 面可以发现电通量非零，而极大值显然不可能出现边界，但是非边界处均无电荷，此时违背 Gauss 定理，则 $\varp$ 必然无极大亦无极小，此时 $\varp$ 处处为零，$\varp_1=\varp_2$。

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使用唯一性定理分析静电屏蔽问题。

考虑一接地金属壳。腔外有电荷但腔内无时，易知腔内无电场。同理，腔内有但腔外无时，知腔外无电场。现在，将二者合一，腔内外同有电荷时，电场如何？

显然，把外有内无和外无内有二者叠合起来，能得到一合理合法的电场分布。由唯一性定理，此乃唯一可行之电场分布。这表明：接地金属壳完全隔绝了内外——虽然金属壳的存无影响了电场本身（金属壳存在和金属壳连同里面的东西一起消失时，外部电场不同），但是改变内外某侧的电场分布，完全不会影响另一侧的电场分布。反观不接地金属壳则不然——其只能存在一脆弱平衡。

唯一性定理引出一方法：镜像法。

考虑一无穷大接地水平金属板，班的上空有一点电荷。考虑区域：金属板及其上方无穷边界，这一块边界电势处处为零。现在关于金属板作一对称虚电荷带等量异种电荷，则金属板与两电荷垂直平分面恰重合。现撤去金属板，可知垂直平分面上电荷处处为零，则上方区域边界条件与金属板的场合完全相同，由唯一性定理二者具有相同电场分布，于是点电荷在金属板上空产生的电场等效于对称系统的电场。

XV.静电场中的电介质

XV.I.电介质对电场的影响

两板间插入一相对介电常量（相对电容率）为 $\vare_r$ 的电介质，两板间电压变为 $U'=\dfrac U{\vare_r}$，其中 $\vare_r$ 是电介质的一个固有性质，为一个大于 $1$ 的数。这意味着，电介质下的电场强度减弱为 $E=\dfrac{E_0}{\vare_r}$。

XV.II.电介质的极化

对于中性分子，其正负电荷电量相等，因此可以认为其是一个微小的电偶极子。极性分子的正负电荷中心不重合，有着非零的电矩，即 固有电矩；非极性分子的电矩为零。但是若施加一外电场，非极性分子的正负中心就会在电场力的作用下出现偏移，产生一微小电矩，称为 感生电矩，大约是固有电矩的 $10^{-5}$。感生电矩的方向总与外加电场方向相同。

电场下的非极性分子总有着整齐的电矩；而极性分子的固有电矩会沿电场方向取向，但因为无规则热运动无法整齐排列。电场越强，排列越整齐。

电介质内部任取一块区域，正负电荷数目均大致相等；仅在表面处，一侧展现正电荷，一侧展现负电荷。这样的电荷称作 面束缚电荷（面极化电荷），与自由电荷不同，无法通过传导的方式引走。表现出束缚电荷的过程被称作 电介质的极化。

电极化强度 $\b P$ 衡量介质的极化状态，使用如下公式计算：

$$\b P=\dfrac{\sum\b p_i}{\Delta V}$$

非极性分子的感生电矩均相同，因此若 $n$ 表示单位体积分子数目，则非极性介质的电极化强度即为

$$\b P=n\b p$$

各向同性电介质当电场强度不过大时，满足公式

$$\b P=\vare_0(\vare_r-1)\b E$$

其中 $\vare_r-1$ 也被记作 $\chi$，称为电介质的 电极化率。

使用非极性介质推理可知，在 $\d S$ 的面积元上，因电极化越过单位面积的电荷为 $\b P\cdot\b e_n$，其中 $\b e_n$ 是面积元的法向量；而其亦适用于极性介质。若取 $\d S$ 为面临真空的表面，则上式给出面束缚电荷大小。

当介质内部电极化强度并非处处相等时，任意框出内部一封闭曲面，其会有相应的 体束缚电荷。有

$$q_{out}=\oint\b P\cdot\d\b S$$

即，总逸出电荷为电极化强度通量；则总体束缚电荷等于负的电极化强度通量。

低外加电场仅仅引起极化（分子电介质显然是绝缘的），但高外加电场可能将电介质中分子的正负电荷拉开变成导体，称之为 电介质的击穿。

XV.III.D 的高斯定理

电介质下的电场，由束缚电荷和自由电荷共同决定；而束缚电荷又反过来受电场而确立，因此问题是复杂的。但是通过引入物理量，可以解决这一问题。

我们有束缚电荷 $Q$ 和自由电荷 $q$。取封闭面 $S$，由 Gauss 定理，有

$$\oint\b E\cdot\d\b S=\dfrac1{\vare_0}\left(\sum Q_{in}+q_{in}\right)$$

$Q_{in}$ 的式子可以使用体束缚电荷的公式代入，移项得

$$\oint(\vare\b E+\b P)\cdot\d\b S=\sum q_{in}$$

引入辅助物理量 电位移 $\b D=\vare_0\b E+\b P$，则上式即为

$$\oint\b D\cdot\d\b S=\sum q_{in}$$

即，电位移通量等于自由电荷代数和。真空电介质的场合，该式退化为 Gauss 公式。

代入 $\b P=\vare_0(\vare_r-1)\b E$，有 $\b D=\vare_0\vare_r\b E$。令 $\vare=\vare_0\vare_r$ 称作介电常量（电容率），则 $\b D=\vare\b E$（仅在各向同性的场合有效）。这样，由自由电荷分布可知 $\b D$ 分布，然后可知 $\b E$ 分布。

---

由静电场回路定理，介质界面两侧，电场强度界面切向分量相等；由 $D$ 的 Gauss 定理，电位移界面法向分量相等。于是可以推出：令 $\the_1,\the_2$ 为电位移矢量与法线夹角，可知

$$\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\vare_{r1}}{\vare_{r2}}$$

称之为 $D$ 线折射定律。

XV.IV.电容器和它的电容

电容器两金属板上带有等量异号电荷 $\pm Q$，同时有电压 $U$。电容器所带电量与电压成正比，比值 $\dfrac QU$ 称作 电容，则

$$C=\dfrac QU$$

单位是 Farad，$1\Fa=1\Co/\Vo$。

平行板电容器的电容为 $\dfrac{\vare_0\vare_rS}d$。圆柱形、球形等可类似计算。

孤立导体可认为与无限远处另一导体组成电容。例如，半径为 $R$ 的孤立导体球，可以认为其与无穷远处同心导体球成电容。

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电容并联时，电容两侧电压均相同，因此 $C=\sum C_i$；串联时，电容所带电量相等，因此 $\dfrac1C=\sum\dfrac1{C_i}$。

电容器的性质除了电容，还有耐压能力。并联电容的耐压能力受限于最弱者，而串联电容的电容小于任一成分电容。

XV.V.电容器的能量

电容器内储存了能量。考虑放电了 $-\d q$ 的电量，这些电量在电场力下做功 $\d W=-u\d q=-\dfrac qC\d q$。总功

$$W=\int\d W=\dfrac12\dfrac{Q^2}C=\dfrac12CU^2=\dfrac12QU$$

同理可认为，电容器的能量即为其中电场所存有能量。考虑平行板电容器，可以发现 $W=\dfrac{\vare_0\vare_r}2E^2Sd$；代入电场能量密度式子可以发现，$\omega_e=\dfrac12\vare E^2=\dfrac12DE$——该式由平行板电容推出，但是适用于一切电容。在电介质中，相同电场下储存的能量变为原本的 $\vare_r$ 倍，这是因为电介质极化过程储存了能量。

XVI.恒定电流

XVI.I.电流与电流密度

电流的本质是微观粒子的定向运动，移动的可以是电子、质子、离子，甚至是带正电的“空穴”。这样的电流称作传导电流。

通过某一界面的电流是 $I=\dfrac{\Delta q}{\Delta t}$。电流是标量。

考虑有一种载流子，电量是 $q$，速度是 $\b v$；取面积元 $\d S$，法线夹角为 $\the$；单位体积载流子数目为 $n$，则

$$\d I=\dfrac{qnv\cos\theta\d t\d S}{\d t}=qnv\cos\the\d S=qn\b v\cdot\d\b S$$

引入 $\b J=qn\b v$，则 $\d I=\b J\cdot\d\b S$，此处的 $\b J$ 被称作 $\d S$ 处的电流密度。多种载流子的场合，令 $\b J_i$ 为第 $i$ 种载流子的电流密度，则 $\d I=\sum\b J_i\cdot\d\b S$。或者，令 $\b J=\sum\b J_i$，则仍有 $\d I=\b J\cdot\d\b S$。

金属的场合，只有自由电子一种载流子，但各载流子速度不同。令平均速度为 $\bar{\b v}$，则 $\b J=ne\bar{\b v}$。平均速度 $\bar{\b v}$ 称作漂移速度。

通过某曲面的电流是电流密度通量。根据电荷守恒定律，可知

$$\oint\b J\cdot\d\b S=-\dfrac{\d q_{in}}{\d t}$$

称之为 电流的连续性方程。

XVI.II.恒定电流与恒定电场

恒定电流是处处电流密度不随时间变化的电流。恒定电流的场合，所有闭合曲面电流均为零——否则依照电流连续性方程，某区域内的电荷会无限升高或降低，而这是不合法的。推论为，同一根导线中的所有截面，通过电流均相等。

电路中几根导线可以组成节点，节点的总流入电流等于流出电流，称作 节点电流方程，或 Kirchhoff 第一方程。

不随时间变化电流意味着恒定电荷分布，进一步有着恒等电场。恒定电场有保守型，因此可以定义电势。在恒定电流电路中，沿任何闭合回路一周的电势降落的代数和总等于零，称作 回路电压方程，或 Kirchhoff 第二方程。

恒定电场伴随着电荷移动和电场力做功，需要能量维持；静电场则不需要额外能量的维持。

XVI.III.欧姆定律和电阻

在金属、电解液等场合，有 Ohm 定律，即

$$U=IR$$

其中 $R$ 有计算公式

$$R=\rho\dfrac\ell S$$

其中 $\rho$ 是该材料的电阻率；$\sigma=1/\rho$ 被称作材料的电导率，于是亦有

$$R=\dfrac\ell{\sigma S}$$

电阻的单位是 Ohm $\Om$，电阻的倒数是电导，单位是 Siemens $\Si$。

算截面积不均导体的电阻时可以积分。

---

对于一段导体，可知 $U=E\Delta\ell$，$I=J\Delta S$，$R=\rho\Delta\ell/\Delta S$，代入可知 $J=E/\rho=\sigma E$。在金属或电解液中，$\b J$ 和 $\b E$ 的方向相同，所以有

$$\b J=\sigma\b E$$

表明电流密度（与电流挂钩）和电场强度（与电压挂钩）的关系（通过与电阻挂钩的电导率联系），可以看作是 Ohm 定律的微分形式。

XVI.IV.电动势

电源提供非静电力以维持恒定电流不变：外电路中电流在静电力作用下由正极流向负极，内电路中则在非静电力作用下由负极流向正极。

若电源将电量为 $q$ 的正电荷由负极移到正极做了 $W$ 的功，则认为电源的电动势

$$\Emo=\dfrac Wq$$

电动势和电势差有相同量纲，但二者不同：电动势衡量电源性质，与外电路无关，但电势差随外电路变化有不同分布。

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电动势可以用如下公式计算：令 $\b E_{ne}$ 为电源内部的非静电场，则

$$\Emo=\int_{(-)}^{(+)}\b E_{ne}\cdot\d\b r$$

另一种情况，是非电动势存在于整个电流回路（例如磁场中膨胀的线圈），此时整个回路就应该被整体积分

$$\Emo=\oint\b E_{ne}\cdot\d\b r$$

XVI.V.有电动势的电路

有非静电力的场合，Ohm 定律的微分形式是

$$\b J=\sigma(\b E+\b E_{ne})$$

考虑接电源的简单电路：因为电场保守性所以有

$$\oint\b E\cdot\d\b r=0$$

因此有

$$\sigma\oint\b E_{ne}\cdot\d\b r=\oint\b J\cdot\d\b r$$

显然 $\d\b r$ 与 $\b J$ 处处方向相同，于是上式

$$=\oint J\d l=\oint\dfrac{JS\d l}S$$

其中 $JS$ 是电流，且处处电流相等，于是

$$=I\oint\dfrac{\d l}S=\sigma I\oint\d R=\sigma I(r+R)$$

其中 $r$ 是内阻，$R$ 是外阻。于是有 $\Emo=I(r+R)$，或 $I=\dfrac\Emo{r+R}$（全电路 Ohm 定律公式）

复杂电路的场合，对于每个回路可以得到普遍式

$$\sum(\mp\Emo_i)+(\sum\pm I_iR_i)=0$$

其中，正负号按如下法则选取：

• 电动势与回路同向时取负号，反之取正号。
• 电流同向取正，反向取负。

此乃 Kirchhoff 第二方程之普遍式。

XVI.VI.电容器的充电与放电

给电容器充电。令某时刻的电流为 $i$，电容上电量为 $q$、电压为 $u$，电源电动势为 $\Emo$，电路电阻为 $R$，则由 Kirchhoff 第二方程，有

$$-\Emo+iR+u=0$$

充放电时，有

$$\dot q=i$$

由电容的性质

$$C=\dfrac qu$$

整体代入得到

$$R\dot q+\dfrac qC=\Emo$$

解微分方程得到解为

$$q=C\Emo(1-\e^{-t/RC}) \\i=\dfrac\Emo R\e^{-t/RC}$$

可以发现，此式涉及到的核心参数是 $\tau=RC$，被称作电路的 时间常量。经过时间 $\tau$ 后，电量与最大值的差值将缩减至 $1/\e$，而电流将缩减至 $1/\e$。更大的 $\tau$ 能让电量增速和电流降速均放缓。一般认为 $10\tau$ 时已充电完成。

定义 $Q=C\Emo$ 是电容的最大充电量，$I=\dfrac\Emo R$ 是初始电流，则充电式简化为

$$q=Q(1-\e^{-t/\tau}) \\i=I\e^{-t/\tau}$$

同理可得放电的场合

$$q=Q\e^{-t/\tau} \\i=I\e^{-t/\tau}$$

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电容器充放电的场合，电路并非恒定电流电路，似乎应用 Kirchhoff 第二方程是不合理的；但是电容器充放电的场合，电量变化速率较慢，可以近似当作恒定电场考虑。此等变化缓慢电场称为 似稳电场，似稳电场可以应用 Kirchhoff 方程。

XVI.VII.电流的一种经典微观图像

我们有微分形式 Ohm 定律

$$\b J=\sigma\b E$$

电流密度 $\b J$ 取决于载流子速度，但 $\b E$ 对载流子的作用是加速度，二者看起来无法依照线性关系挂钩；但是可以使用经典理论给出一个近似但是形象的描述。

金属中的电子在无规则随机运动。无电场时，该运动是全方向随机的，因此均速为零，无电流；在外电场 $\b E$ 的作用下，电子额外进行一个定向运动。但是电子不断与其它粒子碰撞，碰撞完后，速度重归纯随机。

令 $\b v_0$ 为一个随机的初速度，经过 $t$ 时刻后，粒子速度为

$$\b v_0+\dfrac{e\b E}mt$$

考虑一次采样：采样时各个粒子各有不同的 $t_i$。则有

$$\b J=\sum e(\b v_0+\dfrac{e\b E}mt_i)$$

$\sum\b v_0$ 因为 $\b v_0$ 随机所以抵消为零，后一项令 $\bar t$ 为自由飞行时间 $t_i$ 的均值，则

$$\b J=\dfrac{ne^2\bar t}m\b E$$

$\bar t$ 被称作 平均自由飞行时间；在弱电场的场合下，$\bar t$ 完全由热运动决定，与电场强度 $\b E$ 无关。因此 $\b J$ 与 $\b E$ 成正比，同理我们可知电导率 $\sigma$ 的计算公式

$$\sigma=\dfrac{ne^2\tau}m$$

该公式在一定范围内符合实际。

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粒子碰撞的场合相当于电场力增加的动能全部转化为内能，这部分转化出的能量被称作 Joule 热。

经过自由飞行时间 $t$ 获得的定向速率为

$$v=\dfrac{eE}mt$$

动能为

$$E_k=\dfrac{e^2E^2}{2m}t^2$$

平均值为

$$\ovl{E_k}=\dfrac{e^2E^2}{2m}\ovl{t^2}$$

按照统计理论，有 $\ovl{t^2}=2\bar t^2$。并且，每秒中自由电子的碰撞次数平均为 $1/\bar t$；单位体积有 $n$ 个自由电子；因此单位体积内产生的 Joule 热为

$$p=n\dfrac1{\bar t}\times\dfrac{e^2E^2}{2m}\times2\bar t^2=\dfrac{ne^2\bar t}mE^2$$

代入电导率计算式可知

$$p=\sigma E^2$$

其中 $p$ 被称作电流的 热功率密度，即 $\dfrac{\d P}{\d V}$。上式即为 Joule 定律的微分式。

对长 $\ell$、横截面 $S$ 的导体来说，发热功率为

$$P=p\ell S=\sigma E^2\ell S \\=\dfrac{(\sigma E)^2\ell S}\sigma \\=\dfrac{J^2\ell S}{\sigma} \\=\dfrac{(JS)^2\ell}{\sigma S} \\=I^2R$$

即 Joule 定律的宏观式。

XVII.磁场和它的源

XVII.I.磁力与电荷的运动

磁力是运动电荷相互作用的表现。永磁体之所以能持久展现电流，是因为其中电子和质子的运动形成的微小电流排列整齐，展现出统一的效果。

XVII.II.磁场与磁感应强度

运动电荷产生电场，同时也产生磁场。另一个运动电荷受到的磁力就是磁场对其作用，但除此之外其还受到电场的作用；因此为研究磁场，需要寻找仅有磁场、不存在电场的区域——例如通电导线周围：导线内既有正电荷，即金属离子；也有负电荷，即自由电荷。导线中的电流是自由电荷在运动，但是局部的正负电荷数目总是相同的，因此外电场被抵消，仅余磁场。

磁感应强度 $\b B$ 是矢量，可以描述磁场。一个以速度 $\b v$ 通过磁场的检验电荷 $q$ 会受到磁场力，但是按照某特定方向或其反方向通过该点时受的磁力为零，该方向或其反方向即被认为是磁场的方向；若 $q$ 沿其它方向运动，则受到的磁力总非零，且与 $\b B$、$\b v$ 均垂直。最终分析可知

$$\b F=q\b v\times\b B$$

即 Lorentz 力公式。磁感应强度的单位为 Tesla，符号为 $\Te$；另存在一种非国际单位制但常见的单位 Gauss $\Ga$，换算公式为

$$1\Te=10^4\Ga$$

磁感应强度与电场强度是对应关系；之所以不称作磁场强度是因为其另有其意义。

磁场满足叠加原理。磁场有磁通量，

$$\Phi=\int\b B\cdot\d\b S$$

磁通量的单位是 Weber，符号为 $\Wb$，有 $1\Wb=1\Te\cdot\Me^2$。

XVII.III.毕奥-萨伐尔定律

Biot-Savart 定律衡量电流元 $I\d\b l$ 的磁场。令 $\b r$ 为自其指向某一点的矢量，则实验表明磁场由下式决定

$$\d\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\d\b l\times\b e_r}{r^2}$$

其中 $\mu_0=\dfrac1{\vare_0c^2}=4\pi\times10^{-7}\Ne/\Am^2$，被称作 真空磁导率。

因为电流元不能孤立存在，所以 B-S 定律并非直接分析实验数据得到，而是经验定律。

对该公式积分，即可对任意导线求出磁场分布。

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电流元的任意磁感线均为电流元轴线上同心圆，即闭合曲线。故通过电流元的任何闭合曲面的磁通量均为零；又因为任何磁场都是电流形成，而任何电流都由电流元组成，因此由磁场叠加原理可以得到结论：任何磁场中通过任意封闭曲面的磁通量总为零，即 磁通连续定律。公式形式为

$$\oint\b B\cdot\d\b S=0$$

这表明自然界中不存在与电荷对应的孤立的“磁荷”，即孤立磁极或磁单极子。

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使用 B-S 定律计算直导线周围磁场强度。

因为直导线上不同电流元在同一处产生磁场方向均相同（通过右手螺旋定则给出），所以只需对磁感应强度积分即可。

使用极坐标。令 $(\the_1,\the_2)$ 为导线起讫点在关注点的俯仰角，则

$$B=\int\d B=\int\dfrac{\mu_0I\d l\sin\theta}{4\pi r^2} \\=\int_{\the_1}^{\the_2}\dfrac{\mu_0 I}{4\pi r}\sin\theta\d\theta \\=\dfrac{\mu_0I}{4\pi r}(\cos\the_1-\cos\the_2)$$

对于无限长直导线，可知

$$B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$$

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对于圆环导线，令电流 $I$、半径 $R$，考虑轴线上磁场：其方向由右手螺旋定则给出，磁场强度积分可知为

$$B=\dfrac{\mu_0IR^2}{2(R^2+x^2){3/2}}$$

其中 $x$ 为关注点距环心距离。

定义闭合通电线圈的 磁偶极矩 或 磁矩

$$\b m=IS\b e_n$$

其中 $\b e_n$ 为线圈平面的正法线方向，与线圈中电流方向符合右手螺旋定则。若通电线圈不在平面上，可以割裂成面积元并计算 $I\int\d\b S$。

环线圈的磁矩为 $m=IS=IR^2\pi$，于是

$$B=\dfrac{\mu_0m}{2\pi r^3} \\\b B=\dfrac{\mu_0\b m}{2\pi(R^2+x^2)^{3/2}}$$

公式与电偶极子轴线电场公式形式相同。在较远距离 $\b r$ 处的磁场通过 Taylor 展开可得

$$\\\b B=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\left(\dfrac{-\b m}{r^3}+\dfrac{3\b m\cdot\b r}{r^5}\b r\right)$$

与电偶极子相同。

XVII.IV.匀速运动点电荷的磁场

考虑电流元 $I\d\b l$：其截面 $S$，载流子数目密度 $n$，载流子电荷 $q$，漂移速度 $\b v$ 与 $\d\b l$ 共方向，$I\d\b l$ 产生的磁场可看作是载流子磁场的叠加。

$I=nqSv$，电流元中载流子数目为 $nS\d l$，故每个载流子的磁场是

$$\b B'=\dfrac{\dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{nqSv\d\b l\times\b e_r}{r^2}}{nS\d l}$$

因为 $\b v,\d\b l$ 方向相同，所以 $v\d\b l=\b v\d l$，故

$$\b B'=\dfrac{\mu_0q\b v\times\b e_r}{4\pi r^2}$$

故运动电荷的磁感线是垂直于运动方向平面上的若干同心圆，且其亦满足磁通连续定理。

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静电荷的电场为

$$\b E=\dfrac q{4\pi\vare_0r^2}\b e_r$$

当电荷运动速度较小，即 $v\ll c$ 时，其亦可近似用于求运动电荷的磁场。由 $\mu_0=\dfrac1{\vare_0c^2}$ 可知

$$\b B=\dfrac1{c^2}\b v\times\b E$$

XVII.V.安培环路定理

考虑无限长直导线中有恒定电流 $I$ 的磁场 $B=\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}$。

取一个绕导线的回路 $C$ 并计算环路积分的 $\oint_C\b B\cdot\d\b r$。

考虑令 $\alpha$ 为 $\d\b r$ 关于我们关心的点在导线上投影点的张角。则 $B\cdot\d\b r=Br\d\alpha$，于是

$$\oint\b B\cdot\d\b r=\oint\dfrac{\mu_0I}{2\pi r}r\d\alpha=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\oint\d\alpha$$

绕一圈的 $\d\alpha$ 积分是 $2\pi$（前提是只绕一圈），于是可知

$$\oint\b B\cdot\d\b r=\mu_0I$$

若电流方向相反，则结果取负，所以积分结果与电流方向有关。因此规定：若电流方向满足右手螺旋定则时为正否则为负，则环路积分值可以统一用上式表示。

不包围电流的环路可以用两个包围电流的环路相减得到，因此不包围电流的环路积分无贡献。

最终得到，当有若干长直导线存在时，沿任一闭合路径的磁场环路积分有

$$\oint\b B\cdot\d\b r=\mu_0\sum I_{in}$$

即 Ampere 环路定理。

---

以上分析仅适用于长直导线的场合；事实上我们更多还是在考虑环形电路。

考虑环路上某点 $P$ 的线元 $\d\b l$ 和电路上的线元 $\d\b l'$。计算

$$\b B\cdot\d\b l=\dfrac{\mu_0}{4\pi}\oint\dfrac{I\d\b l'\times\b e_r}{r^2}\cdot\d\b l \\=-\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\oint\dfrac{\d\b l'\times(-\d\b l)\cdot(-\b e_r)}{r^2}$$

通过画图可以发现，$\d\b l'\times(-\d\b l)$ 的数值为 $\d\b l'$ 作位移 $-\d\b l$ 扫过平行四边形的面积 $\d S$，进而 $\d\b l'\times(-\d\b l)\cdot(-\b e_r)$ 是 $\d S$ 对 $P$ 所张立体角 $\d\omega$（立体角的定义是某图样在单位球上投影的面积，正如平面角的定义是某图样在单位圆上投影的长度），于是沿电路的积分即为整个电路作位移 $-\d\b l$ 时扫过的带状面对 $P$ 所张立体角 $\omega$。即，

$$\b B\cdot\d\b l=-\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\omega$$

选择以电路为边界的任一曲面 $S$，$S$ 对 $P$ 点有立体角 $\Omega$；电路平移时 $\Omega$ 改变。令 $\Omega_2,\Omega_1$ 为平移前、后 $S$ 的立体角，则总可以选取适当的 $S$ 使得 $P$ 位于 $S$ 平移前后曲面、带状面这三个面构成的闭曲面之外，此时 $\Omega_2-\Omega_1+\omega=0$，因此有

$$\b B\cdot\d\b l=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}(\Omega_2-\Omega_1)$$

$\Omega_2-\Omega_1$ 是 $S$ 平移 $-\d\b l$ 引起的立体角变化，换言之我们亦可固定 $S$ 改变场点 $P$ 的坐标平移 $\d\b l$ 变动应相同。将 $\Omega(P)$ 看作是关于 $P$ 点位置的立体角函数，则由 Taylor 展开，有

$$\Omega_2-\Omega_1=\Omega(P+\d\b l)-\Omega(P) \\=\d\b l\cdot\nabla\Omega(P)+o(\d\b l)$$

$o(\d\b l)$ 的项显然可以忽略，于是就有

$$\b B\cdot\d\b l=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\d\b l\cdot\nabla\Omega(P)$$

因为 $\d\b l$ 可以任选所以须有

$$\b B=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\nabla\Omega$$

于是有

$$\oint\b B\cdot\d\b l=\dfrac{\mu_0I}{4\pi}\oint\nabla\Omega\cdot\d\b l$$

右侧积分的含义就是两环“套连”“包围”“铰链”的次数乘以 $4\pi$。于是知 Ampere 环路定理对环电路亦成立。

注意，Ampere 环路定理仅对闭合恒定电流或无限恒定电流（此时视作其在无限远处闭合）有效：对电流的某一截断或是变化电流，其不成立。

XVII.VI.利用安培环路定理求磁场的分布

使用 Gauss 定理和 Gauss 面可以借助对称性求得电场分布；同理，使用 Ampere 环路定理和相应的 Ampere 环路 亦可求得磁场分布。核心思想仍是将 $\b B$ 以标量形式自积分号中提出。

XVII.VII.与变化电场相联系的磁场

与闭合路径“铰链”可以使用如下思考方式：考虑任何以闭合路径为边的可定向曲面（前提是其与我们关心的电流的所有相交都是以孤立点形式进行的），则每一次正向相交就意味着正向的一匝，反向相交意味着反向的一匝，因此可以机械化计算相交匝数。

• 但是这种方式仅限于闭合路径可以确定可定向曲面。
• 普适的定义好像是所谓的 环绕数？

但是，只有恒定电流可以被解释为若干电流环路的和，非恒定电流则不然；有必要寻找合适的描述非恒定电流（变化电场）下的 Ampere 环路定理。

Maxwell 大胆假设，变化的电场会引发磁场，并得出了在没有电流时，

$$\oint_C\b B\cdot\d\b r=\mu_0\vare_0\dfrac{\d\Phi_e}{\d t}=\mu_0\vare_0\dfrac\d{\d t}\int_S\b E\cdot\d\b S$$

其中 $C$ 是任意回路、$S$ 是任意以 $C$ 为边界的可定向曲面（定向法则参考右手螺旋定则）、$\Phi_e$ 是是其电通量。注意到有 $\mu_0\vare_0=1/c^2$，但是为了让其与 Ampere 环路定理适配所以保留之。

将其整合入 Ampere 环路定理，得到 ex-Ampere 环路定理，即

$$\oint_C\b B\cdot\d\b r=\mu_0(I_{in}+\vare_0\dfrac\d{\d t}\int_S\b E\cdot\d\b S) \\=\mu_0\int_S(\b J+\vare_0\dot{\b E})\cdot\d\b S$$

$\vare_0\dot\Phi_e$ 和电流具有相同量纲，因此亦可看作是一种电流，被称作 位移电流。于是有位移电流 $I_d$ 的计算公式是

$$I_d=\vare_0\dot\Phi_e=\vare_0\int_S\dot{\b E}\cdot\d\b S$$

位移电流密度 $\b J_d=\vare_0\dot{\b E}$ 则直接与电场变化相联系。

位移电流的本质是变化的电场，且与传统电流的唯一共同点是生成相同磁场。以下标 $_c$ 表示传统电流相关，于是全电流

$$I=I_c+I_d=\int_C(\b J_c+\b J_d)\cdot\d\b S$$

对于有全电流分布的空间，通过任一封闭曲面的全电流为

$$I=\oint_S\b J_c\cdot\d\b S+\oint_S\b J_d\cdot\d\b S \\=\oint_S\b J_c\cdot\d\b S+\vare_0\dfrac\d{\d t}\oint_S\b E\cdot\d\b S \\=\oint_S\b J_c\cdot\d\b S+\vare_0\dfrac\d{\d t}\dfrac{q_{in}}{\vare_0} \\=\oint_S\b J_c\cdot\d\b S+\dot q_{in}$$

由电荷连续性方程，此式为零，可知通过任一封闭曲面的全电流恒为零，即全电流总是连续的，ex-Ampere 定理选择的曲面可以任选。

XVII.VIII.电场和磁场的相对性和统一性

场源电荷运动时，其周围的试探电荷既会受到与速度无关的力（电力），还会受到与速度有关的力（磁力），因此运动电荷周围同时存在电场和磁场。

但是因为静止和运动是相对的，因此在场源电荷参考系下，只有电场没有磁场。这事实上说明电场和磁场是统一的。

XVIII.磁力

XVIII.I.带电粒子在磁场中的运动

圆周运动的半径

$$R=\dfrac{mv}{qB}=\dfrac p{qB}$$

回旋周期 为

$$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$$

若 $\b v$ 的方向不垂直于磁场，则入射速度可分解为沿磁场方向和平行于磁场方向的两速度，合成结果是一轴线沿磁场方向的螺旋运动。这一运动的 螺距 为

$$h=v_\para T=\dfrac{2\pi m}{qB}v_\para$$

在均匀磁场中某点出引入一发散角不太大的粒子束，且其中粒子速度大致相同，则其沿磁场方向分速度大小几乎一样，则拥有几乎相同螺距，经过一周期后将重新聚穿一点，此现象称作 磁聚焦。

非均匀磁场中的粒子作半径和螺距都不断变化的螺旋运动。若粒子前进过程中磁场强度不断增强，其存在于前进方向相反的分量，最终可能使前进速度减小到零，即使粒子发生“反射”。该现象称作 磁镜。中间弱两头强的磁场能将不太快的带电粒子束缚于两磁镜间往复运动，此等 磁约束 乃是约束核聚变等离子体的常用方法。

XVIII.II.霍尔效应

对宽 $h$、厚 $b$ 的金属窄条通以电流。外加电场 $\b E$ 使得电子向右作漂移速度为 $\b v$ 的定向运动。加以外磁场 $\b B$ 会使得电子因 Lorentz 力向下偏移，但因为表面限制所以只能堆积在窄条底部，进而在底部产生负电荷、顶部产生正电荷。

这些电荷将产生一竖直电场 $\b E_H$，其将迅速增大到其对电子作用力与磁场作用力相平衡，此时电荷不再积聚。

平衡的条件是

$$-e\b E_H+(-e)\b v\times\b B=0$$

然后知竖直电场大小有 $E_H=vB$，产生的电势差 $U_H=E_Hh=vBh$。

已知漂移速度 $v$ 与电流 $I$ 的关系为 $I=nSqv=nbhqv$，代入得

$$U_H=\dfrac{IB}{nqb}$$

出现此种电势差的现象被称作 Hall 效应，该电压即为 Hall 电压。特别地，载流子所携电荷的正负决定了 $U_H$ 的正负，因此测量 Hall 电压的正负可以判断载流子电性的正负，进而在某些半导体中判断载流子种类（电子或空穴）。Hall 电压的测定同样是被用于精确测定磁场强度的方法之一。

金属的场合都是电子导电，因此按照上述理论，总应出现上部电压高于下部的结果；有些金属却给出相反结果，这是因为所谓的 量子 Hall 效应。

---

$$\dfrac{U_H}I=\dfrac B{nqb}$$

该比值和电阻是同量纲的，因此被定义为 Hall 电阻 $R_H$。此式表面 Hall 电阻应正比于磁场，但是事实上这一关系并非严格线性，而是由若干阶梯状攀升组成的。

量子理论指出，有

$$R_H=\dfrac{U_H}I=\dfrac{R_K}n\quad(n=1,2,3,\dots)$$

其中 $R_K$ 是 Klitzing 常量，满足

$$R_K=\dfrac h{e^2}=25713\Om$$

XVIII.III.载流导线在磁场中受的磁力

单位体积 $n$ 个载流子，电荷为 $q$，速度为漂流速度 $\b v$。则

$$\d\b F=nS\d\ell q\b v\times\b B$$

因为 $\b v$ 和 $\d\b l$ 共线所以有

$$\d\b F=nSvq\d\b l\times\b B=Id\b l\times\b B$$

则

$$\b F=\int I\d\b l\times\d\b B$$

均匀磁场中闭合电路整体不受力。

XVIII.IV.载流线圈在均匀磁场中受的磁力矩

虽然整体不受合力，但是线圈受到的和力矩可能非零。

在磁场中放一个通电线圈，令 $\b e_n$ 为其由右手定则确立的法向单位向量，然后将磁场分解为平行的 $\b B_\para$ 和垂直的 $\b B_\perp$。$\b B_\para$ 提供的力总是径向向外，具有对称性，因此施加的和力矩也为零；对 $\b B_\perp$ 沿圆周积分可得

$$M=\pi IR^2B_\perp$$

建立空间直角坐标系：在 $x$-$z$ 平面上电流逆时针旋转，$\b B_\perp$ 向 $x$ 轴正方向，则力矩会让线圈绕 $z$ 轴俯视逆时针转动，也即 $\b M$ 的方向沿 $z$ 轴正向。

通过将线圈切割成微元，可得均匀磁场对线圈合力为零，力矩为 $SIB\sin\theta$。可以用矢量积表示为

$$\b M=SI\b e_n\times\b B$$

由磁矩的定义可知

$$\b M=\b m\times\b B$$

此力矩的目标是让磁矩方向转向为外加磁场一致：二者共线时线圈即不再受磁场力矩作用。

电子、质子等粒子均有磁矩，其是粒子本身特征之一。其在磁场中受力矩也都由 $\b M=\b m\times\b B$ 统一表示。

因此，可以引入磁矩在均匀磁场中与转动相关的势能的概念。令 $\the$ 表示 $\b m$ 与 $\b B$ 的夹角，则夹角由 $\the_1$ 到 $\the_2$ 的过程中外力克服磁力矩做功为

$$\int_{\the_1}^{\the_2}M\d\the=mB(\cos\the_1-\cos\the_2)$$

因此可知夹角为 $\the$ 时势能为 $W=-mB\cos\the=-\b m\cdot\b B$。

平行时有极小势能 $-mB$，反平行时有极大势能 $mB$。

可以发现线圈磁矩在磁场中计算力矩方式和势能，与电偶极子电矩在电场中计算力矩方式和势能的公式是形式相同的。

XVIII.V.平行载流导线间的相互作用力

平行长直导线，电流为 $I_1,I_2$，距离为 $d$，直径远小于 $d$。

$I_1$ 在 $I_2$ 处产生的磁场为 $\dfrac{\mu_0I_1}{2\pi d}$，$I_2$ 单位导线受其 Ampere 力为 $F_2=\dfrac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}$，$I_1$ 单位导线同理。同向则二者相吸，反向则相斥。

Ampere 单位的定义即依循该式：$1\Am$ 的电流是真空中两根距 $1\Me$ 的导线通以同强度电流后，每 $\Me$ 长度受作用力恰为 $2\times10^{-7}\Ne$ 时的电流。依照此法计算的 $\mu_0$ 结果为 $4\pi\times10^{-7}(\Ne/\Am^2)$，恰为其定义。

XIX.磁场中的磁介质

XIX.I.磁介质对磁场的影响

通过向螺线管内通不同的介质，测磁感应强度的大小，可以得到公式

$$B=\mu_rB_0$$

其中 $B,B_0$ 分别是有介质和无介质时的磁感应强度。$\mu_r$ 是某种介质的 相对磁导率。

• $\mu_r$ 略小于 $1$ 的场合是 抗磁质。
• 略大于 $1$ 的场合是 顺磁质。
• 远大于 $1$，甚至还会随 $B_0$ 变化而变化的场合，是 铁磁质。

顺磁质、抗磁质对磁场影响均很小，常不考虑其影响。铁磁质有特殊的应用。

XIX.II.原子的磁矩

电子、质子等都可以被看作是微小的圆电流，其有其磁矩。

假设电子在 $r$ 圆周上以 $v$ 速率绕原子核运动，周期为 $\dfrac{2\pi r}v$。则在一周期内通过全轨道的电量均为 $e$，因此电流是 $\dfrac{ev}{2\pi r}$。故磁矩为 $IS=\dfrac{evr}2$。

圆周运动的角动量是 $L=mvr$，因此磁矩可表示为 $m=\dfrac e{2m}L$。该式对于原子内部所有电子的总磁矩、总角动量亦成立，而总角动量仅可能为量子化的 $L=m\hbar$，其中 $\hbar$ 是约化 Planck 常数 $1.05\times10^{-34}\Jo\cdot\Se$，相应的轨道总磁矩即可计算。

电子同样有自旋，所谓的内禀自旋。内禀自旋磁矩为 $\dfrac e{2m}\hbar=9.27\times10^{-24}\Jo/\Te$，称为 Bohr 磁子。原子核的磁矩则往往小于电子磁矩的千分之一。

分子的磁矩是其中所有电子轨道磁矩、电子自旋磁矩、核自旋磁矩之和；磁矩矢量和为零的分子是抗磁质，非零时为顺磁质，此时其矢量和称作该分子的 固有磁矩。铁磁质是特殊的顺磁质，其电子间存在特殊相互作用使得磁性很强。

磁场中的顺磁质磁矩取向尽量朝向磁场方向，这一取向的过程引发了对原磁场的影响。

抗磁质的分子受磁场影响产生了与外磁场方向相反的 感生磁矩，且感生磁矩相较于固有磁矩可以忽略不计，因此顺磁质分子的场合往往不考虑感生磁矩。

XIX.III.磁介质的磁化

外磁场中的顺磁质的固有磁矩会沿磁场方向取向，而抗磁质会产生反向的感生磁矩。这些磁矩对应着小圆电流，在内部抵消但在外部形成圆柱面的 束缚电流 或 磁化电流。这是由一段段分子电流接合而成的电流，而不同于自由电子定向运动形成的传导电流或称 自由电流。产生束缚电流的现象叫做 磁介质的磁化。顺磁质的磁化满足右手螺旋定则，能加强磁介质中磁场；抗磁质则反之（因为产生的感生磁矩与外磁场逆向）能削弱磁介质中磁场。

磁化强度是单位体积内分子磁矩的矢量和，计算依照

$$\b M=\dfrac{\sum\b m_i}{\Delta V}$$

各向同性的顺磁质、抗磁质及弱磁场下铁磁质的场合，磁化强度与外磁场成正比，满足式子

$$\b M=\dfrac{\mu_r-1}{\mu_0\mu_r}\b B$$

束缚电流与磁化强度存在定量关系。考虑磁介质中长度元 $\d\b r$，其与外磁场 $\b B$ 的夹角为 $\the$。磁矩沿 $\b B$ 排列，则分子电流与 $\b B$ 垂直。令分子电流为 $i$、半径为 $a$，则与 $\d\b r$ 铰链（套住 $\d\b r$）的分子电流的中心位于 $\d\b r$ 为轴线、$a$ 为半径的斜柱体内，该柱体的体积为 $\pi a^2\d r\cos\theta$，与 $\d\b r$ 铰链的总分子电流为 $n\pi a^2\d r\cos\theta i$。

因为 $\pi a^2i=m$，即单一分子的磁矩，因此可知 $\d I=\b M\cdot\d\b r$。若 $\d\b r$ 恰是磁介质表面的长度元 $\d\b l$，则 $\d I$ 即为面束缚电流。$\dfrac{\d I}{\d l}$ 是 面束缚电流密度。令 $j$ 为该密度，则 $j=M\cos\theta=M_l$，即面束缚电流密度等于磁化强度沿表面的分量。当 $\b M$ 与表面平行时，满足 $j'=M$。考虑方向后的结果是 $\b j=\b M\times\b e_n$，其中 $\b e_n$ 是外正法线方向单位矢量。

与磁介质内任何闭合路径 $L$ 铰链的总束缚电流即为

$$I=\oint\d I=\oint\b M\cdot\d\b r$$

即磁化强度沿该路径的环流。

XIX.IV.H 的环路定理

磁介质中磁感应强度 $\b B$ 是自由电流磁场 $\b B_0$ 与束缚电流的磁场 $\b B'$ 的矢量和

由 Ampere 环路定理知

$$\oint\b B\cdot\d\b r=\mu_0(\sum I_{0in}+I'_{in})$$

$I_{in}'$ 可以由前式的束缚电流计算为 $\oint\b M\cdot\d\b r$，然后知

$$\oint\left(\dfrac1{\mu_0}\b B-\b M\right)\cdot\d\b r=\sum I_{0in}$$

引入 磁场强度 $\b H=\dfrac1{\mu_0}\b B-\b M$，有

$$\oint\b H\cdot\d\b r=\sum I_{0in}$$

即 磁场强度环路积分等于包围自由电流的代数和，所谓 $H$ 的环路定理，是电磁学的一条积分定理。无磁介质的场合满足 $\b M=0$，则还原为 Ampere 环路定理。

代入 $\b M$ 与 $\b B$ 的关系可知

$$\b H=\dfrac{\b B}{\mu_0\mu_r}$$

常用介质的 磁导率 $\mu=\mu_0\mu_r$ 置入上式，则有

$$\b H=\dfrac{\b B}\mu$$

仅在各向同性的磁介质中，磁场强度等于磁感应强度除以磁导率。磁介质存在时，往往先利用 Ampere 回路求出 $\b H$ 的分布，然后再知 $\b B$ 的分布。

XIX.V.铁磁质

将铁磁质做成环状，周围绕上线圈，则通入电流后铁磁质即被磁化。通入的电流被称作 励磁电流。励磁电流与磁场强度的关系满足

$$H=\dfrac{NI}{2\pi r}$$

其中 $N$ 为线圈总匝数，$r$ 为环的平均半径。另求得 $B$ 值后，改变 $I$ 求得多组 $H$-$B$ 关系并绘出曲线，此乃 磁化曲线。

从完全无磁化开始逐渐增加电流得到曲线称为 起始磁化曲线，一般模式为：

• $H$ 较小时，$B$ 随 $H$ 正比增大；
• $H$ 稍大时，$B$ 随 $H$ 急剧但仍约是一次函数关系地增大；
• $H$ 更大时，增大变慢，直至最后几乎不再随之增大，此乃 磁饱和状态，此时磁化强度 $M$ 已至最大值。
• 推论：$\mu_r$ 先增后减。

起始磁化曲线是不可逆的：到达磁饱和后，减小磁化电流至 $I=0$ 时仍有 $B$ 存在，此乃 磁滞效应；$H=0$ 时保有的磁化状态即为 剩磁，相应的磁感应强度常称作 $\b B_r$。

消除剩磁要改变电流方向并增大反向电流。增大到 $H_c$ 时 $B=0$，此时 $H_c$ 值被称作铁磁质的 矫顽力。继续增大反向电流很快到达反向剩磁阶段，重新改为正向电流又接上一段曲线，最终得到的中心对称图样称为 磁滞回线。可以发现，铁磁质的磁化状态不由励磁电流或 $H$ 值单值确定，更取决于此前的磁化历史。

磁滞回线“瘦”的材料被称作 软磁材料，因为易于重新覆写磁场所以被用作电磁铁铁芯等经常开关的结构；“胖”的材料即 硬磁材料，对磁化状态有着记忆能力，常被用于制成永磁体，记录磁带或记忆元件等。

过高温度下的铁磁材料将失去铁磁性变为顺磁质，这种温度被称作 Curie 点。

铁磁性的磁质效应的来源可以被 磁畴 理论解释：其认为铁磁体中存在众多磁矩排列整齐的小区域即磁畴，未磁化的铁磁质中各个磁畴的取向无规则因而不展磁性，外加磁场会扩大同向磁畴、缩小异向磁畴；磁饱和状态下即所有的磁畴融为一体，磁矩均指向同一方向。磁滞现象即来源于磁畴的畴壁难以复原可解释。

反复被磁化的铁磁质会变热，损耗的能量被称作 磁滞损耗。磁滞损耗的量与磁滞回线面积成正比，因此软磁材料更宜作铁芯。

存在与铁磁性类似的铁电体，同样可用电畴存在解释。

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两磁介质的交界面两侧存在不同的磁场，二者关系可以分析。

取界面两侧环形回路用 Ampere 回路定理可知磁场强度的切向分量相等；取扁筒面并用磁通连续定理知两侧磁感应强度法向分量相等。然后知满足

$$\dfrac{\tan\theta_1}{\tan\theta_2}=\dfrac{\mu_{r1}}{\mu_{r2}}$$

即磁感线穿过分界面时会产生“折射”的情况。顺磁质和抗磁质的 $\mu_r$ 均接近 $1$，因此 $B$ 线会几乎不变；铁磁质在 $B$ 线哪怕入射时稍微偏移法线的场合都会使得 $B$ 线变得与界面平行，因此铁筒中的磁场会非常弱。此乃为何铁盒具有 磁屏蔽 效果之缘由。

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永磁体是保有一定磁化状态的铁磁体。其表面则有束缚电流流通，如同通电螺线管一般。磁棒外部的 $\b H,\b B$ 处处共线，而在磁棒内部则不同程度地反向，从外部看起来就像是永磁体的两端分别是 $\b H$ 线的“源”一样，因此早年建立了一套基于“磁荷”的磁场理论，至今仍存于某些资料中。

XIX.VI.简单磁路

铁芯依靠大磁导率倾向让磁场平行地集中于其内部的作用。套以线圈并施以少量励磁电流将其磁化后，产生的束缚电流会远大于励磁电流，整个铁芯像一个束缚电流组成的螺绕环。铁芯外部有少量弱磁场，被称作 漏磁通。通过铁芯或一定间隙构成的磁感线束缚装置即为 磁路。

考虑铁环：令环长为 $l$、截面积 $S$，环上有气隙，宽度 $\delta\ll l$；环上一部分绕有线圈 $N$ 匝，并通以电流 $I$；铁环的相对磁导率为 $\mu_r$。

由磁通连续定理可知各个截面的磁通量 $\Phi$ 相等，则磁感应强度 $B=\Phi/S$ 亦相等。气隙会致使磁通量轻度散开但影响不大，因此气隙中的磁感应强度亦为 $B$。

使用 $H$-环路定理，作沿铁芯轴线穿过气隙的闭曲线，可知

$$\oint\b H\cdot\d\b r=\int_lH\d r+\int_\delta H_0\d r=NI$$

其中 $H=\dfrac B{\mu_0\mu_r},H_0=\dfrac B{\mu_0}$，解得

$$B=\dfrac{\mu_0 NI}{\dfrac l{\mu_r}+\delta}$$

因为铁磁质的 $\mu_r$ 非常大，所以 $\delta$ 对 $B$ 的影响非常显著。

因为 $B=\dfrac\Phi S$，所以亦有

$$\Phi(\dfrac l{\mu_0\mu_rS}+\dfrac\delta{\mu_0 S})=NI$$

括号内两项具有电阻公式 $R=\dfrac{\rho l}S$ 的形式，因此被称作 磁阻；前后分别是铁环和气隙的磁阻；$\Phi$ 具有电流的地位，而 $NI$ 具有电动势的地位，因此 $NI$ 被称作 磁动势，进而磁路即可类比电路，满足相应串并联规律。

XX.电磁感应

XX.I.法拉第电磁感应定律

当通过某个回路（不一定是导体回路）的磁通量发生变化时，回路中会产生电动势，这种电动势被称作 感应电动势；倘若是导体回路，那就会有电流，即 感应电流。

Faraday 电磁感应定律：

$$\Emo=-\dfrac{\d\Phi}{\d t}=-\dot\Phi$$

感应电流对应的磁场会阻碍磁通量的变化，即 Lenz 定律，是判定感应电流（电动势）方向的好方法。

在多匝线圈的场合，有

$$\Emo=-\sum\dfrac{\d\Phi_i}{\d t}$$

令 全磁通 $\Psi=\sum\Phi_i$，则上式可写成

$$\Emo=\dot\Psi$$

若各匝线圈的磁通量大致相等，则 $\Psi=N\Phi$，此时

$$\Emo=\dot\Psi=N\dot\Phi$$

XX.II.动生电动势

导体在恒定磁场中运动时，在导体两端会产生一个电动势，被称作 动生电动势。

考虑矩形导体回路，其位于垂直磁场平面内；则 $\Phi=BS=Blx$。于是

$$|\Emo|=\dot\Phi=\dfrac\d{\d t}(Blx)=Blv$$

而其方向可以用右手定则判别：磁感线穿入掌心，拇指指向运动方向，则四指指向动生电动势方向。

电动势是非静电力做功的表现；而引起动生电动势的非静电力是 Lorentz 力：考虑每个电子受到的 Lorentz 力是

$$\b f=e\b v\times\b B$$

则非静电场的强度即为

$$\b E_{ne}=\dfrac{\b f}e=\b v\times\b B$$

则电动势为

$$\int_a^b\b E_{ne}\cdot \d\b l=\int_a^b(\b v\times\b B)\cdot\d\b l$$

因为 $\b v$，$\b B$ 和 $\d\b l$ 彼此垂直所以上式即等于 $Bvl$。

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电流流动时，感应电动势要做功；功率为

$$P=I\Emo=IBlv$$

这个功率的能量来源是使导体棒匀速移动的外力，其功率等于 $BIl\cdot v=BIlv$，恰与上式相同。

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Lorentz 力理应不做功，为何其还能提供功率？答曰：未考虑电子沿导线方向的运动（此运动的 Lorentz 力方向与导体壁垂直），考虑后即得 Lorentz 力整体不做功。

XX.III.感生电动势和感生电场

变磁场中的静止导体回路会有 感生电动势。导体回路未动，则其中电荷均为静止电荷，仅可能受电场力。因此这意味着回路中存在一 感生电场。

在空间中任意回路中均存在感生电场，且电场式均满足

$$\oint\b E\cdot\d\b l=-\dot\Phi=-\dfrac\d{\d t}\int\b B\cdot\d\b S=-\int\dot{\b B}\cdot\d\b S$$

感生电场的旋度非零，因此又称作 涡旋电场。

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空间中既存在静电场，亦存在感生电场；二者的总电场的环路积分等于静电场环路积分加感生电场环路积分，由电场保守性知总电场环路积分为零，则静电场和感生电场的环路积分应互为相反数。

XX.IV.互感

闭合导体回路中变化电流会产生变化磁场，进而在附近的导体回路中产生感生电动势，即为 互感电动势。

考虑两临近回路 $L_1,L_2$。由 B-S 定律，$i_1$ 产生的磁场正比于 $i_1$，因此通过 $L_2$ 围成曲面的由 $L_1$ 产生的全磁通应满足

$$\Psi_{21}=M_{21}i_1$$

其中 $M_{21}$ 被称作 $L_1$ 对 $L_2$ 的 互感系数，其取决于几何形状、相对位置、匝数与周遭磁介质分布。对固定回路而言，互感系数是常数，因此

$$\Emo_{21}=-M_{21}\dfrac{\d i_1}{\d t}$$

同理可知

$$\Emo_{12}=-M_{12}\dfrac{\d i_2}{\d t}$$

可以证明 $M_{12}=M_{21}=M$，后者称为两回路的互感系数，简成 互感。

互感系数的单位是 Henry $\He$。

XX.V.自感

电流变化时，通过回路自身的全磁通也会有变化，则回路自身亦会有感生电动势，即 自感现象，产生的感生电动势即为 自感电动势。

有 $\Psi=Li$，其中比例系数 $L$ 称作回路的 自感系数，简称 自感，其单位也是 Henry。则自感电动势

$$\Emo=-L\dfrac{\d i}{\d t}$$

由 Lenz 定律可知自感电动势的方向亦会阻碍电流的变化。

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考虑自感线圈 $L$、电阻 $R$ 和电源 $\Emo$ 组成的电路。

充电时与电容类似，因为电流变化缓慢所以适用 Kirchhoff 第二定律，则

$$-\Emo-\Emo_L+iR=0$$

其中 $\Emo_L$ 是自感电动势。

则

$$\Emo=L\dfrac{\d i}{\d t}+iR$$

解之得

$$i=\dfrac\Emo R(1-\e^{-\tfrac RL t})$$

电流随时间增大，极大电流即为 $\dfrac\Emo R$，指数 $\dfrac RL$ 的量纲是 $\Se^{-1}$，被称作电路的 时间常数，以 $\tau$ 表示之。经过时间 $\tau$ 后电流与最大电流的差值会缩小为 $1/\e$。

同理可得去除电源后，满足公式

$$i=\dfrac\Emo R\e^{-\tfrac RLi}$$

令 $I=\dfrac\Emo R$ 为极大电流，则公式分别可写成

$$i=I(1-\e^{-\tau t}) \\i=I\e^{-\tau t}$$

XX.VI.磁场的能量

自感为 $L$、电流为 $I$ 的线圈中存储了一部分能量，其在缓慢消失的过程中能做功。有

$$\d W=\Emo_Li\d t=-Li\d i$$

积分可知总功

$$W=\dfrac12LI^2$$

此即为线圈中存储的 磁能。

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考虑一螺绕环，截面积 $S$、轴线半径 $R$、单位长度匝数 $n$、环中充满磁导率为 $\mu_r$ 的磁介质，则其内磁场为 $\mu_0\mu_rni$，全磁通为 $2\pi Rn\cdot BS=2\pi\mu_0\mu_rRn^2Si$，其自感即为

$$L=2\pi\mu_0\mu_rRn^2S=\mu n^2V$$

其具有之磁能即为

$$W=\dfrac12LI^2=\dfrac12\mu n^2VI^2$$

因为磁场等于 $\mu nI$ 所以有

$$W=\dfrac{B^2}{2\mu}V$$

于是可以定义磁场能量密度

$$\ome_m=\dfrac{B^2}{2\mu}=\dfrac12 BH$$

可以证明其普遍适用于一切磁场，则某磁场中具有之总能量即为

$$W_m=\int\ome_m\d V=\int\dfrac{BH}2\d V$$

此式遍及存在磁场的全空间。

但是因为铁磁质的磁滞现象，届时其将不适用。

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使用磁场能的概念，可以推导互感系数为何满足 $M_{12}=M_{21}$。

考虑两邻近电流回路，电流分别为 $I_1,I_2$。对第一个回路充电，向磁场中储存 $\dfrac12L_1I_1^2$ 的能量；对第二个回路充电，向磁场中储存 $\dfrac12L_2I_2^2$ 的能量，但是注意到这一充能的过程会影响周遭的第一个回路，产生互感电动势 $\Emo_{12}=-M_{12}\dfrac{\d i_2}{\d t}$，因此需要动态调整第一个回路中的电阻使得 $I_1$ 不变（这个调整的操作可能非常复杂，但是调整电阻的过程不需要电源额外向磁场中供能）。反抗互感电动势须作的额外功即为

$$W_{12}=-\int\Emo_{12}I_1\d t=\int M_{12}I_1\dfrac{\d i_2}\d t=M_{12}I_1I_2$$

因此，要达到电流分别是 $I_1,I_2$ 的状态，向磁场中存储的总能量为

$$W=W_1+W_2+W_{12}=\dfrac12L_1I_1^2+\dfrac12L_2I_2^2+M_{12}I_1I_2$$

同理可知，先合上 $I_2$ 再合上 $I_1$，存储总能量为

$$W=\dfrac12L_1I_1^2+\dfrac12L_2I_2^2+M_{21}I_1I_2$$

由此可知须有 $M_{12}=M_{21}=M$，则邻近线圈共同存于磁场中总能量即为

$$W=\dfrac12L_1I_1^2+\dfrac12L_2I_2^2+MI_1I_2$$

XXI.麦克斯韦方程组和电磁辐射

XXI.I.麦克斯韦方程组

电磁学的基本规律是真空中的电磁场规律，它们分别是

$$\boxed{ \begin{aligned} &\oint\b E\cdot\d\b S=\dfrac q{\vare_0}&(\text{Gauss 定律}) \\&\oint\b B\cdot\d\b S=0&(\text{磁通连续定理}) \\&\oint\b E\cdot\d\b r=-\dot\Phi=-\int\dot{\b B}\cdot\d\b S&(\text{Faraday 电磁感应定律}) \\&\oint\b B\cdot\d\b r=\mu_0I+\dfrac1{c^2}\dot\Phi=\mu_0\int_S(\b J+\vare_0\dot{\b E})\cdot\d\b S&(\text{ex-Ampere 环路定律}) \end{aligned} }$$

此乃真空 Maxwell 方程组的积分形式，使用之，在知晓电荷和电流分布的情况下，可给出电磁场的唯一分布。特别地，其需要补充 Lorentz 力公式

$$\b F=q\b E+q\b v\times\b B$$

以知晓粒子运动。

XXI.II.加速电荷的电场

静止电荷的电场显然无法以电磁波形式传播；匀速运动电荷除了电场还有磁场，但它们都仅随着电荷平移。这说明电磁波的产生必然伴随着电荷的加速运动。

考虑点电荷初始静止于原点，从 $t=0$ 开始以 $a$ 匀加速向 $x$ 轴正方向，于 $\tau$ 时刻以 $v=a\tau$ 速度不再加速，此刻电荷位于点 $P$。

加速运动会使得电场出现扰动，这一扰动以光速向外传播。在 $t$ 时刻，扰动的前沿到达 $O$ 为心、$r=ct$ 为半径的球面上：没有任何信息可以传递至该球面之外，则球面外电场仍是静止电荷的静电场，其电场线是 $O$ 出发的放射线。

$\tau$ 时刻停止加速之后，“停止加速”的信息将会在 $P$ 为球心、$c(t-\tau)$ 为半径的球面内传播开来，当 $v\ll c$ 时其内电场可近似视作匀速直线运动电荷的电场，即处处是静电场。

在 $O$-$ct$ 电场和 $P$-$c(t-\tau)$ 电场之间，显然存在一电场扰动的过渡区。当 $t\gg\tau$ 时，有 $ct\gg\dfrac12v\tau$，即过渡区的两球面几乎是同心圆，厚度为 $c\tau$。过渡区内电场扰动即会由近及远地传播开来。过渡区内的电场线会出现扭折，而当 $v\ll c$ 时，扭折段可以被当作直线段。

作图可知，过渡区中相当于存在一横向电场

$$E_\theta=\dfrac{qa\sin\theta}{4\pi\vare_0c^2r}$$

注意到 Coulomb 给出的径向电场是以平方反比衰减的，而该横向电场是以线性反比衰减的，因此很远处的静电场的强度会远小于横向电场强度，此时该横向电场即可看作是能传向远处的电磁波。

XXI.III.加速电荷的磁场

磁感线是在垂直于电荷运动方向、圆心位于电荷运动直线上的一个个同心圆。

取垂直于 $x$ 轴的圆与过渡区前沿球面的交线，规定其绕行方向与 $x$ 轴正方向满足右手螺旋定则，围成与 $x$ 轴曲面垂直的曲面。应用 ex-Ampere 环路定理可知因没有通过电流，

$$\oint\b B\cdot\d\b r=\dfrac1{c^2}\dot\Phi=\dfrac1{c^2}\dfrac\d{\d t}\int\b E\cdot\d\b S$$

此处的 $\b E$ 等于径向电场 $\b E_r$ 加横向电场 $\b E_\the$。$\b E_r$ 产生的磁场即为匀速运动电荷的电场 $\b B_r=\dfrac1{c^2}\b v\times\b E$，其取决于电荷的速度；考虑 $\b E_\the$ 产生的磁场 $\b B_\varp$。因其轴对称性，有

$$\oint\b B_\varp\cdot\d\b r=B_\varp2\pi r\sin\theta$$

其中 $2\pi r\sin\theta$ 即为 Ampere 环路的周长。而 $\b E_\the$ 仅存于过渡区内，计算可得

$$\Phi=-E_\the\sin\theta\cdot2\pi rc\tau$$

这批电通量将在 $\tau$ 内完全移出，因此有 $\dot\Phi=2\pi rcE_\theta\sin\the$。则满足

$$B_\varp=\dfrac{E_\the}c$$

即

$$E_\theta=\dfrac{qa\sin\theta}{4\pi\vare_0c^3r}$$

则磁感线绕向与圆形 Ampere 回路的定向相同。则 $\b B_\varp$ 的方向垂直于 $\b E_\the$，且垂直于电场传播方向，因此 电磁波是横波，合并可知横向电场与横向磁场的关系（去掉下标）为

$$\b B=\dfrac{\b c\times\b E}{c^2}$$

其中适用矢量 $\b c$ 意指电磁波的速度是光速。该式对于真空中一切电磁波的电磁场均成立。

加速电荷的电场和磁场强度均与运动电荷的加速度成正比；倘若电荷作简谐振动，其加速度与时间即存在正弦关系，此时远处的电磁场强度即依照正弦变化，不断向外传播即得最简单电磁波：简谐电磁波。由前式易知，间歇电磁波的电磁场变化是同向的：它们同时达到正极大值、零值和负极大值。

XXI.IV.电磁波的能量

真空中电磁波单位体积内能量为

$$\ome=\ome_e+\ome_m=\dfrac{\vare_0}2E^2+\dfrac{B^2}{2\mu_0}=\vare_0E^2$$

单位时间 $\d t$ 内通过与传播方向垂直的单位面积 $\d A$ 的能量称作电磁波的 能流密度，其时间平均值即为电磁波的 强度，其大小符号为 $S$，则满足

$$S=\dfrac{\omega\d Ac\d t}{\d A\d t}=c\omega=c\vare_0E^2=\dfrac{EB}{\mu_0}$$

能流密度是与电磁波同向的矢量，因此有

$$\b S=\dfrac1{\mu_0}\b E\times\b B$$

能流密度矢量亦称作 Poynting 矢量。

简谐电磁波的强度 $I$ 可以使用电场和磁场的最大值 $E_m,B_m$（振幅）描述：

$$I=\bar S=c\vare_0\ovl{E^2}=\dfrac12c\vare_0E_m^2$$

加速电荷的场合，代入 $E_m$ 的值可以计算 $\b S$ 值，同样还可求出其输出的电磁波总功率。

XXI.V.同步辐射

加速器中的电子作高速圆周运动，向心加速度会使得其向外发散电磁波，此乃 同步辐射 或 同步光。其有功率大、高准直、频谱宽、高偏振等良好性质。

XXI.VI.电磁波的动量

光速传播的电磁波不可能有静质量，其动量密度（单位体积电磁波具有的动量）为

$$p=\dfrac\ome c$$

因为动量即为运动方向，也有

$$\b p=\dfrac\ome{c^2}\b c$$

或者

$$p=\dfrac{\vare_0E^2}c$$

有动量即可对被照射的表面产生压力，即 辐射压力 或 光压。

吸收一切电磁波的绝对黑题表面 $\Delta S$ 在 $\Delta t$ 时间内接受的电磁动量为

$$\Delta p=p\Delta Ac\Delta t$$

代入压强式可知辐射压强即为 $\omega$。完全反射的表面，因为所有电磁波原样返回，所以辐射压强翻倍。

XXI.VII.A-B 效应

在经典理论中，$\b E,\b B$ 即为描述电磁场的基本物理量；但是也可以用另一组量，即电势 $\varp$ 和磁矢势 $\b A$ 描述，即

$$\b E=-\nabla\varp-\dot{\b A} \\\b B=\nabla\times\b A$$

在经典电磁学中，$\varp,\b A$ 被看作是 $\b E,\b B$ 的辅助量。但在量子理论中，似乎这二者才是更基本的量。

INF.后记

感觉大学物理比普通物理简单 $1064$ 倍。还是看看远处的赵-陈电磁学吧。