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不可名状之混沌邪物

重积分:If(x)dx=limmaxdiam(In)0f(ξi)Ii,其中 Ii 构成 I 的一组定义域划分。

同理可以定义 Darboux 上下和与 Darboux 上下积分。Lebesgue 准则,即以下三条件等价:

  • Riemann 可积。
  • 有界且 Darboux 可积。
  • 有界,且几乎处处连续(间断点体积为零,即可以用趋于零的总体积覆盖)

Ifdxdy

表明是重积分,与累次积分区别。三维有 ,更高维就干脆只写一个,维数看积分空间维数即可。

若被积函数是向量,则积分等于每一维分开积分。

I 是有界闭矩形 [a1,b1]×[a2,b2]××[an,bn],且函数在矩形上连续并有界时,函数在矩形上必 Riemann 可积,且重积分等于累次积分。

其扩展为 Fubini 定理,只要在矩形上 Riemann 可积就可以用累次积分替代重积分。但是,可以替代并不保证累次积分存在,在一些瑕点上可以用 Darboux 积分替代 Riemann 积分,甚至直接忽略所有瑕点(反正瑕点集是零测的)

传统上,累次积分也有 badxβαddy 的,明显区别于重积分的写法。

虽然累次积分总是存在,但并不意味着所有的累次积分都是好算的。应该审慎选择积分顺序,这样才能积得最好。

如果积分区域 I 并非矩形怎么办?

I 扩充为矩形 R,定义 II 为在 I 上为 1,其余位置为 0 的函数,然后积分 Rf(x)IIdx 即可。此时 R 是矩形所以可以累次积分。

但是要求边界是零测的。

  • 一个点是 A 的边界,如果其任意邻域中均同时存在 A 中元素、A 外元素。这个点也可以在边界内或外。

边界点是闭集,因为对于任意收敛于 \bf x^*\bf x_n,存在 A 中元素列 \bf y_nA 外元素列 \bf z_n 满足 \|\bf x_i-\bf y_i\|\leq\dfrac1n,\|\bf x_i-\bf z_i\|\leq\dfrac1n,则 \bf y\bf z 均收敛于 \bf x^*,则 \bf x^* 亦是边界点。

对于边界零测的有界闭集 A,如果 f:AR 有界且间断点零测,则定义 RmfAdx=Afdx。特别地,定义 |A|=A1dx,即高维体积。

Jordan 可测集:

  • 有界。
  • 对于任意 ϵ>0,存在 有限 多矩形覆盖边界集,且其面积和小于 ϵ

有界集合的零测边界集是 Jordan 可测集。

如何判定零测集?

f:AR 连续时,函数图像 \{(\bf x,f(\bf x))\mid x\in A\} 是零测集:对于任意 n 可以将覆盖 A 的矩形在每一维上 n 等分成小矩形,每块小矩形因为一致连续所以可以被覆盖。

推论:对于 Jordan 可测的有界闭集 Af,g:AR 连续且处处满足 fg 时,\{(\bf x,y)\mid f(\bf x)\leq y\leq g(\bf x)\} Jordan 可测。

  • 上下边界由上述结论,可以被有限覆盖;侧面因为 f,g 有界且 A Jordan 可测,所以可以被有限覆盖。

曲边梯形指满足如下条件的区域:

  • a1x1b1
  • a2(x1)x2b2(x1)
  • a3(x1,x2)x3b3(x1,x2)
  • ……
  • am(x1,,xm1)xmbm(x1,,xm1)

其中所有的 ai,bi 均连续。

曲边梯形是“相对”可以在上面积分的区域:

Afdx=a2a1dx1b2(x2)a2(x1)dx2bm(x1,,xm1)am(x1,,xm1)fdxm

曲边梯形有时可以通过坐标系变换变成好算的东西(?)

比如说参数方程化。例如,曲面 0zxy,0yx1,可以令 x=t,y=sx=st,z=st2,其中 t,s[0,1]

一维有向积分的换元:

φ(b)φ(a)f(x)dx=baf(φ(x))dφ(x)=baf(φ(x))φ(x)dx

φ 没有任何要求。

一维无向积分的换元:

φ(I)f(x)dx=If(φ(x))|φ(x)|dx

要求:φ 连续可逆,进而是双射。绝对值处理 φ 增减两种可能。

换元的目的:一元简化运算,多元化简区域。

例:曲边梯形积分。f(x)yg(x),换元为 y=(1t)f(x)+tg(x),其中 t[0,1]

g(x)f(x)p(x,y)dy=10p(x,(1t)f(x)+tg(x))(g(x)f(x))dt

这样搞后,有时就可以换序,因为曲边梯形积分变成了矩形积分。

事实上,令 φ(x,t)=(x,(1t)f(x)+tg(x)),则 g(x)f(x)=detJφ(x,t)

detA 刻画矩形在线性变换后面积比。Riemann 和借助矩形划分定义,经过 A 的变换后每个矩形的面积变成原本的 detA 倍,因此要乘上行列式。

不仅是二维,更高维的曲边梯形也可以通过 t 的变换变成 [0,1]n 的矩形。

而,如果变换并非线性(即 A 并非处处相同),则 Jacobi 对角矩阵对应的变换其实是由矩形变为曲边梯形;Jacobi 任意矩阵对应的变换就是一个朴素的变换。

一般地,对于零测边界有界闭集 U,有 \scr C^1 微分同胚 UΦ(U),则对于任意 f\in\scr R(\Phi(U)),有

\int_{\Phi(U)}f(\bf y)\d\bf y=\int_Uf(\Phi(\bf x))|\det J\Phi(\bf x)|\d\bf x

或者,若 Φ:(x1,,xm)(y1,,ym),则

Φ(U)f(y1,,ym)dy1dym=Df(Φ(x1,,xm))|det(y1,,ym)(x1,,xm)|dx1dxm

……唔,好像这是 Jacobian 的首次披露。微分同胚上的 Jacobian 刻画体积的变化。

正交变换刻画笛卡尔坐标系的变动。正交矩阵的行列式为正负一进而保体积。如果 JΦ 处处正交矩阵,则该变换处处保体积。

微分同胚对应的 Jacobi 矩阵的列向量 1J,,mJ 线性无关,其构成随 \bf x 移动的坐标系。因此

|detJ|=detJdetJT=det(JTJ)=det(iJ,jJ)

其中,G=iJ,jJ 称作曲线坐标系下的度量矩阵,或者 Gram 矩阵,其中元素是 iJ 的逐对内积。于是有

\int_{\Phi(U)}f(\bf y)\d\bf y=\int_Uf(\Phi(\bf x))\sqrt{\det G\Phi(\bf x)}\d\bf x

如果 Φ 保内积,则 \lang\p_iJ,\p_jJ\rang=\lang\D\Phi\bf e_i,\D\Phi \bf e_j\rang=\lang\bf e_i,\bf e_j\rang,则 G 是单位矩阵,则 Φ 保体积。

常见变换:平面极坐标 (r,θ)(rcosθ,rsinθ)。平面椭圆坐标 (t,φ)(atcosφ,btcosφ)。平面双曲坐标(渐近线为坐标轴和象限角平分线的双曲线确定一个点)t=x2y2,s=2xy,其逆映射不好表示,但是其逆映射的 Jacobian 可以用逆映射定理简单求。

多元正态分布依靠均值向量 μ 和正定对称的协方差矩阵 Σ,PDF 为 \dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m\det\Sigma}}\exp\left(-\dfrac12(\bf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\bf x-\mu)\right)。证明该 PDF 的重积分为 1

Σ=AAT。令 \bf y=A^{-1}(\bf x-\mu),则

\det\Sigma=\det A^2\\A^T\Sigma^{-1}A=I\\\bf y^T\bf y=(\bf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\bf x-\mu)

\int_{\R^m}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m\det\Sigma}}\exp\left(-\dfrac12(\bf x-\mu)^T\Sigma^{-1}(\bf x-\mu)\right)\d\bf x
\\=\int_{\R^m}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m\det\Sigma}}\exp\left(-\dfrac12\bf y^T\bf y\right)\det A\d\bf y
\\=\int_{\R^m}\dfrac1{\sqrt{(2\pi)^m}}\exp\left(-\dfrac12\bf y^T\bf y\right)\d\bf y

这样搞,维与维间就独立了。但是一维的,目前好像还算不了?

但是二元是可算的!

R21(2π)2exp(12(y21+y22))dy1dy2=12π2π0dθ+0rexp(12r2)dr=12π2π0dθexp(12r2)|dr=12π2π0dθ=1

第一型曲面积分:标准模型是,已知曲面上每个点的密度,算出总质量。

例:如果是参数化曲线,则只要曲线正则(即 \bf x' 处处非零),弧长(即质量为一)就是 \int_a^b\|\bf x'(t)\|\d t

希望:弧长对于不同的参数方程下守恒。定义

\int_\gamma f(\bf x)\d l=\int_a^bf(\bf x)\|\bf x'(t)\|\d t

考虑正则换元 t=t(s),则

\int_{[a,b]} f(\bf x)\|\bf x'(t)t'(s)\|\d s=\int_{[a,b]} f(\bf x)\|\bf x'(t)\||t'(s)|\d s=\int_{t[a,b]}f(\bf x)\|\bf x'(t)\|\d t

注意此处的换元要求 t(s) 处处非零,则 t(s) 必有单调性,也因此积分须是无向积分。

二维有界开曲面的面积度量。考虑其存在光滑正则参数表示 \bf x(t,s)。在 (t,s) 处度量切向量张成二维平行四边形面积,为

\sqrt{\|\p_t\bf x\Delta t\|^2\|\p_s\bf x\Delta s\|^2-\lang\p_t\bf x\Delta t,\p_s\bf x\Delta s\rang^2}

或者,用行列式表示为

\sqrt{\det\begin{bmatrix}\lang\p_t\bf x,\p_t\bf x\rang&\lang\p_t\bf x,\p_s\bf x\rang\\\lang\p_s\bf x,\p_t\bf x\rang&\lang\p_s\bf x,\p_s\bf x\rang\end{bmatrix}}\Delta t\Delta s

于是可以由此对参数曲面定义面积。这个矩阵其实就是偏导向量的度量矩阵或称 Gram 矩阵。Gram 矩阵总是半正定的,因此其行列式总非负。Gram 矩阵的行列式被称作 Gramian,高维曲面的面积就是 Gramian 开根的积分。

定义为 Gramian 开根的面积适用于一切维度的面积。具体可以关于维数归纳,每次尝试新增一维并把新维度的信息分解为正交向量和相关向量,也即 Gram 矩阵中新的一行一列。

对于从 (t,s) 基到 (u,v) 基的微分同胚,可知 Gu,v=JTt,su,vGt,sJt,su,v。也即,如果有微分同胚 f:UV,则 detGU=detGVdet2Jf。开根之后 |detJf| 刚好可以被用于换系,因此参数曲面的面积在任何微分同胚下都相等。

特别地,如果当曲面维数与空间维数相同,那么开根 Gramian 其实就是 Jacobian。

例:求水平参数方程 y=f(x1,,xm) 的体积:其刻画 m+1 维空间中的 m 维曲面。有偏导向量为 iu=[0,0,,i=1,,0,if]。算 Gram 是

[1+1f21f2f2f1f1+2f2]=I+fTf

对于与 f 正交的 \bf v,有 G\bf v=\bf v,也即这可以确定 m1 特征值;另一个特征向量取 f,对应特征值为 1+f2,于是行列式为 1+f2。也即,有水平方程面积公式 \int\sqrt{1+\|\nabla f\|^2}\d\bf x

曲线弧长有两种定义方式:速度时间法,与以直代曲法;后者在每一段里使用中值定理可以转为前者。那么,高维曲面面积似乎也必然有两种方法,即拆成若干小块然后算面积微元,或者曲面撒点然后三角剖分近似。

然而,后者被 Schwarz 灯笼构造了反例:对一个圆柱应用撒点的结果,最劣时三角剖分的面积和可以趋向无穷!因此,就只有微元法一种可行的定义高维面积和体积的方法了。

有没有纯粹拓扑的定义体积方法呢?对一个集合定义 Hausdorff 测度,使用 k 维的球可重叠地覆盖整个集合,当最大球半径趋于零时定义球 k 维体积求和的下界为其 Hausdorff k-测度。k 值存在临界点,大于临界点均为零,小于均为无穷,临界点称为集合的维数,维数处 Hausdorff 测度被称为体积。

第二型曲线积分:

要素包括向量场与有向曲线。

例:

力的做功:\int_a^b\bf F(\bf x(t))\cdot\bf x'(t)\d t

流速场环量:\int_\gamma\bf v(\bf x)\cdot\bf T(\bf x)\d\ell,其中 \bf T(\bf x) 为单位切向量。有

\int_\gamma\bf v(\bf x)\cdot\bf T(\bf x)\d\ell=\pm\int_a^b\bf v(\bf x)\cdot\bf x'(t)\d t

其中 \bf x(t)γ 的任何正则参数表示;有 \bf T(\bf x(t))=\pm\dfrac{\bf x'(t)}{\|\bf x'(t)\|},且 \d\ell=\|\bf x'(t)\|\d t。注意此处的 ± 由曲线定向确定。

对于平面简单封闭曲线,定义如下量:

  • \bf n(\bf x) 为单位外法向量。
  • \bf T(\bf x) 为单位切向量,由外法向量逆时针旋转 90 得到。
  • \bf k(\bf x) 为平面单位法向量,满足 \bf n,\bf T,\bf k 成右手系。

同理有流速场通量

\int_\gamma\bf v(\bf x)\cdot\bf n(\bf x)\d\ell

\bf v 旋转后得到 \bf u,则 \bf v 沿 γ 通量等于 \bf u 沿 γ 环量。

综上,不论是功、环量还是通量,都可以被归结为向量场与有向曲线速度点积的积分,称作第二型曲线积分,标准式即为

\int_a^b\bf F(\bf x(t))\cdot\bf x'(t)\d t

如果有笛卡尔坐标系,则点积可以被拆成每一维分开处理。

\int_a^b\bf F(\bf x(t))\cdot\bf x'(t)\d t=\int_a^b\sum\limits_{i=1}^nf_i(\bf x(t))x_i'(t)\d t=\int_a^b\sum f_i\d x_i

其中最后一坨类似全微分,被称作微分形式。

需要注意的是,一元时,任何 f(x)dx 都是微分,可以被表示为某种 dF(x),只要 f(x) 连续;但是多元时,类似 ydxxdy 之类的东西,虽然长得像全微分但是不是任何 g(x,y) 的微分,因为 xygyxg。因此只能被称作微分形式。

具体而言,一阶微分形式是

ni=1fi(x1,,xn)dxi

的线性函数场,其在每个点 \bf x 处均是线性函数,将 \bf v 映到实数。

向量与线性函数是对偶,它们存在一一映射;于是,向量场就与线性函数场也即一阶微分形式是对偶。物理向量总是列向量,线性函数可以被认为是行向量,不需要将其看成列向量再用内积定义,于是换元时就不需要计较保内积等问题。

令一阶微分形式 ω=fidxi 作用于有向曲线 γ 的正向切向量场,这个东西被记作 γω,得到

γfidxi

沿有向曲线的一阶微分形式的积分,积分结果对于保正向的正则参数表示无关。也即,对于 t(s)>0 的换元至 s,一阶微分形式的积分不变。

微分形式的积分满足线性性和关于路径的可加性。

如果一个向量场可以表示为某个函数的梯度场,则该函数被称作梯度向量场的(数学)势函数。此时,

\int_\gamma\bf F(\bf x)\cdot\d\ell=\int_a^b\nabla g(\bf x)\cdot\bf x'(t)\d t
\\=\int_a^b\dfrac\d{\d t}g(\bf x(t))\d t=g(\bf x(b))-g(\bf x(a))

即,有势力场做功与运动无关。

保守向量场是沿曲线积分都只与起讫点有关的向量场。保守向量场与梯度向量场等价。

定义满足 fixj=fjxi 的向量场是无旋场。保守 有势 无旋场。满足无旋式的一阶微分形式被称作恰当微分形式。

矩阵 A 可以刻画线性变换,这个过程被称作 push forward;向量可以刻画线性函数。有一个流程是向量通过矩阵变成新向量,新向量再刻画线性函数;那么存在与 A 相关的 A,把新线性函数 pull back 为旧线性函数。

微积分的本质是局部线性代数。对于映射 \Phi:\bf x\mapsto\bf yDΦ 是把 \bf x 处切向量映到 \bf y 处切向量的线性变换,因此存在对应的 pull back Φ 满足 \Phi^*(\omega)(\bf v)=\omega(\D\Phi(\bf x)\bf v)

几何上,约定 Φ 表示 push forward,也即 \D\Phi(\bf x),其把定义点处切向量映到值域点处切向量;约定 Φ 表示 pull back,其把 \bf y 处的线性变换(也即一阶微分形式 ω)映回 \bf x 处的线性变换 Φ(ω)

  • 给定 \bf x\bf x 处切向量 \bf v,push forward 将其对应到 \bf y 处切向量 \bf u
  • 给定 \bf y\bf y 处线性函数 ω,pull back 将其对应到 \bf x 处线性函数 ˜ω

Φ(γ)ω=γΦ(ω)

证明如下:

\int_{\Phi(\gamma)}\omega=\int_a^b\sum_i\omega_i(\bf y)\d\bf y_i
\\=\int_a^b\sum_i\omega_i(\Phi(\bf x))\sum_j\p_j\Phi(\bf x)\d\bf x_j
\\=\int_\gamma\left(\sum_i\omega_i(\Phi(\bf x))\right)\sum_j\p_j\Phi(\bf x)\d\bf x_j

考察 push forward 与 pull back,

(\Phi_*(\bf x)\bf v)_i=(\D\Phi(\bf x)\bf v)_i=\sum_j\p_j(\Phi(\bf x))_i\times\bf v_j
\\\tilde\omega\bf v=\Phi^*(\bf x)(\omega)\bf v=\omega(\D\Phi(\bf x)\bf v)
\\(\Phi^*(\bf x)\omega)_j=\sum_i\p_j(\Phi(\bf x))_i\times\omega_i
\\\Phi^*(\bf x)(\omega)(\bf v)=\omega(\Phi_*(\bf x)(\bf v))

具体应用而言,对于某个线性映射 \Phi:\bf x\mapsto\bf y,有

\bf y=(\D\Phi)\bf x
\\ [\d\bf y_1\dots\d\bf y_n]=[\d\bf x_1\dots\d\bf x_n](\D\Phi)^T

对于平面向量场 \bf V=(X,Y)^T,平面向量场的旋度 \Curl\bf V 或者 \rot\bf V 被定义为 xYyX。无旋向量场是旋度处处为零的场。保守(有势)的向量场必然无旋,反之不亦然。

可以发现,假如把 curl 均当成算子的话,则 curl 算子其实是 × 算子。

一个矩阵必然可以拆成对称矩阵和反对称矩阵的和(12(A+AT)12(AAT));对称矩阵有着正交的特征向量们,特征向量产生不了旋转,因此假如向量场可以写成 [X,Y]T=A[x,y]T 的形式且 A 为对称矩阵,则其必是无旋的。因此,矩阵的旋度仅受其反对称分量的旋度描述。AAT 提供纯粹旋转。

因此,线性向量场 \bf V=\begin{bmatrix}ax+by\\\alpha x+\beta y\end{bmatrix} 可以分解为纯粹旋转 \bf W 和纯粹不旋转 \bf U 两个场。

沿着环线的积分 \int_\gamma\bf V\cdot\d\bf l 被拆成有原函数的不旋转 \bf U 和另一部分 \bf W 的积分,前者为零。于是可以得到在 \bf V 中的环路积分其实是 (\alpha-b)S=\Curl\bf V\times S

一般地,对于线性向量场 \bf V,有 \Curl V=\dfrac1{\text{Area}(\Omega)}\int_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf l,其中 Ω 是任何包含某点的连通集合。对于非线性向量场,其在每点附近可以尝试使用线性近似,因此让 Ω 的面积趋于零即可同样得到旋度。

对于非线性向量场 \bf V=(X,Y)^T 和任意矩形 R=[a,b]×[c,d],有

\int_{\p R}\bf V\cdot\d\bf l=\iint_R\Curl\bf V\d x\d y

其中证明来自于沿矩形的四边分别积分。

对于任何区域 Ω,将其细细剁作矩形,可得上式对于一切 Ω 均成立。于是就有 Green 公式:对于一切向量场 \bf V 和一切区域 Ω,有

\oint_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf l=\iint_\Omega\Curl\bf V\d x\d y

也即,环量等于内部旋度积分。此乃环量-旋度形式的 Green 公式。

同理,一个向量场的散度 \Div\bf V=\p_xX+\p_y Y=\nabla\cdot\bf V。然后得到通量-散度形式 Green 公式

\oint_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf n=\iint_\Omega\Div\bf V\d x\d y

其中 \bf n 是单位外法向量。因为单位外法向量和单位切向量的旋转关系,所以对 \bf V 旋转后即可把原向量场上通量变成新向量场上环量;新向量场旋度等于原向量场散度。

散度处处为零的向量场称为无源的。

回到之前的 \bf W=\bf U+\bf W 的分解。可得,\bf U 是有源的,\bf W 是无源的。因此,每个线性向量场都可以被分解为一个无旋场 \bf U 和一个无源场 \bf W 的和,这种分解被称作 Helmholtz 分解。事实上,只要向量场足够优秀,则任意向量场都可以被分解为无旋场和无源场之和。

对于两个一阶微分形式 ω,η 和向量场 \bf V,\bf W,定义它们的楔积或者外积或者斜积。

(\omega\land\eta)(\bf V,\bf W)=\det\begin{bmatrix}\omega(\bf V)&\omega(\bf W)\\\eta(\bf V)&\eta(\bf W)\end{bmatrix}

斜积关于 \bf V,\bf W 是双线性、反对称(交换二者位置会导致结果取反)的,关于 ω,η 亦然。

dxdyR2 上的二阶微分形式,其接受两个向量,给出这两个向量张成平行四边形的有向面积。

普通的函数是 零阶微分形式。其取 外微分 得到的 df一阶微分形式

对于一阶微分形式 ω=Fidxi,定义 ω 的外微分

dω=dFidxi

是二阶微分形式。

假如 ω=df,则 ω 的外微分

dω=idifdxi=ijjifdxjdxi

因为反对称性,可以得到上式为零(dxidxj=dxjdxi

事实上,对于任何微分形式,连续求两次外微分都会得到零。这是由偏导的换序性决定的。

现在考察任意二阶微分形式 ω=X(x,y)dx+Y(x,y)dy,则可得 dω=(xYyX)dxdy。于是有统一的 Green 公式

Ωω=Ωdω

前提是 Ω 取自然正向,此时有 dxdy=dxdy

Green 公式其实是一个对于任意维数微分形式均适用的公式:其零维-一维的特例就是 Newton-Leibniz 公式,因为一段区间的边界就是其左右端点。

回顾:向量场 \bf V 的旋度被定义为某点附近单位面积上的环量,也即 \lim\limits_{\text{diam}(S)\to0}\dfrac1{\text{area}(S)}\oint_{\p S}\bf V\cdot\d\bf l;散度被定义为单位面积上的通量,即 \lim\limits_{\text{diam}(S)\to0}\dfrac1{\text{area}(S)}\oint_{\p S}\bf V\cdot\bf n\d\bf x

单连通区域上的无旋场是保守场,其积分与路径无关。多联通区域,只要包含每个瑕区域的环路积分全为零,则其积分即与路径无关。例如,(y,x)x2+y2 是无旋场,但是因为环原点积分非零所以其不保守。

考虑解一阶微分形式方程 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0(x(t),y(t)) 是上述方程解,如果 (x(t),y(t))(P,Q) 处处正交。满足上述方程解的曲线被称作 积分曲线,积分曲线是解函数的等势线。

若满足恰当条件 Py=Qx 且区域单连通,则存在原函数。原函数可以由路径积分得到。

非恰当方程可以通过积分因子 μ(x,y)[P(x,y)dx+Q(x,y)dy]=0 改造变为恰当方程。

事实上,齐次微分方程存在极坐标下 μ(r) 的积分因子。

Rnn1 维曲面被称作超曲面。超曲面是可定向的,如果其存在连续的单位法向量场 \bf n:\Sigma\to\R^n(\Sigma,\bf n) 二元组共同构成有向曲面。

平面、球面均是可定向曲面。

正则水平集 F(\bf x)=0 是可定向集。\dfrac{\nabla F(\bf x)}{\|\nabla F(\bf x)\|} 是连续单位法向量场。

可微函数的图像是可定向曲面。

参数方程的切空间可以用等于零的行列式描述,行列式的梯度为法向量,且该梯度处处非零,因此其存在连续法向量场。

Mobius 带为经典的不可定向曲面。

有没有内蕴地(不借助外在空间地)对曲面定向的方式?等转系到数学系再说吧。

向量场在有向曲面的通量为

\iint_\Sigma\bf V(\bf x)\cdot\d\bf S=\iint_\Sigma\bf V(\bf x)\cdot\bf n\d S

例:水通量、电通量、磁通量。

一般来说,令参数方程删去第 i 行并重新 permutate 的 Jacobian 是 Ji,则 \bf n=(J_1,\dots J_m)(但是还要标准化)(但是标准化的过程其实与 dS 抵消了)。\bf V(\bf x)\cdot\bf n 代入余子式的计算式,最终会发现其实就要算

\int_\Sigma\det[\bf V(\bf x)\quad J\bf F]\d t_1\dots\d t_{n-1}

Vi×Ji 项其实就是 n1 阶微分形式。具体而言,以 3 维空间中 2 阶微分为例:

(X(y,z)(u,v)+Y(z,x)(u,v)+Z(x,y)(u,v))dudv=X(dydz)+Y(dzdx)+Z(dxdy)

二阶微分形式是双线性、反对称函数场。

微分的楔积其实是在算投影的平行四边形的有向面积。

使用微分形式语言,有

\int_\Sigma\bf V\cdot\bf n\d S=\int_\Sigma\omega

对于保向微分同胚,第二型曲面积分的结果不变。即,若从 (u,v) 换到 (t,s),则 (\p_t\bf x,\p_s\bf x)=(\p_u\bf x,\p_v\bf x)\dfrac{\p(u,v)}{\p(t,s)},于是

\int_\Sigma\omega(\p_t\bf x,\p_s\bf x)\d t\d s
\\=\int_\Sigma\omega(\p_u\bf x,\p_v\bf x)\det\dfrac{\p(u,v)}{\p(t,s)}\d t\d s&(\omega的双线性性)
\\=\int_\Sigma\omega(\p_u\bf x,\p_v\bf x)\d u\d v&(重积分换元;前提是行列式保向)

其本质的分析例如,dydz:若 y=y(u,v),z=z(u,v),则

dydz=(uydu+vydv)(uzdu+vydv)=(y,z)(u,v)dudv

二维曲面的参数方程如何定向?假设参数化为 u,v,取一点并沿 u,v 方向取切向量,则 \p_u\times\p_v=\bf n,也即要保证切向量始终是 u,v 的叉积。如果发现方向不对要交换 u,v 顺序。也即,如果顺序是 u,v,那么 dudv 可以直接去掉楔积符号;反之如果顺序是 v,u,那么 dudv 要先反对称成 dvdu 再去号。

具体流程:

  1. 参数化。保证参数顺序 u,v 满足 \p_u\times\p_v=\bf n
  2. 把要求的式子中的变量全部代入 u,v 表示。楔积用线性性展开。
  3. 调整顺序至 dudv
  4. 去掉楔积符号。

除此之外,还可以把 (x,y,z) 先换元为 (x,y,z) 之类的使得曲面易于描述,之后再用参数方程描述曲面。

定义高维楔积

(\omega_1\wedge\dots\wedge\omega_n)(\bf V_1,\dots,\bf V_n)=\det\begin{bmatrix}\omega_1(\bf V_1)&\omega_1(\bf V_2)&\dots\\\omega_2(\bf V_1)&\omega_2(\bf V_2)&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\\\end{bmatrix}

其是多线性、反对称的,不论是关于 ω 还是关于 \bf V

k 阶微分形式

ω=i1,,ikFi1,,ik(x1,,xn)dxi1dxik

于是对于向量场 \bf V_1,\dots,\bf V_k

\omega(\bf V_1,\dots,\bf V_k)=\sum F\det\begin{bmatrix}\bf V_1[i]&\bf V_2[i]&\dots\end{bmatrix}

外微分

dω=dFdxi1dxik

易验证

d2ω=0

对于 Rmm1 阶微分形式

\omega=\sum\limits_{i=1}^m(-1)^{i-1}F_i(\bf x)\d x_1\wedge\dots\wedge\widehat{\d x_i}\wedge\dots\wedge\d x_m

其中 ^dxi 意为仅有 dxi 一项未出现。(1)i1 其实是为了让楔积的顺序以 dxi+1dxndx1dxi1 的轮换式为正宗。

\d\omega=\left(\sum\limits_{i=1}^m\p_iF_i(\bf x)\right)\d x_1\wedge\dots\wedge\d x_m

此时,外微分的系数好似算散度。

Gauss 公式(散度定理):对于 Rm 中有界闭区域 Ω,若其边界 Ωm1 维分块光滑超曲面,则满足

\int_{\p\Omega}\bf V\cdot\d\bf S=\int_\Omega\Div\bf V\d x_1\dots\d x_m

其中 \Div\bf V=\tr J\bf V

或者,另一种描述方法是

Ωω=Ωdω

其二维特例是 Green 公式,一维特例是 Newton-Leibniz 公式。

特别地,通过在很小区域上用中值定理,散度亦可被描述为,包含某点的区域在直径趋于 0 时,第二类曲面积分与区域体积的比值极限。

由 Gauss Theorem 推出 Buoyancy Law:

\bf F=\iint_{\p\Omega}\rho gz\bf n\d S=\iint_D\rho gz\det\begin{bmatrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\p_ux&\p_uy&\p_uz\\\p_v x&\p_vy&\p_vz\end{bmatrix}\d u\d v

其中,第一个等式是因为,单位面积的压强是 \rho gz\bf n,把面积微元的面积与压强求积然后积分即为总浮力。\bf n 可以被写成上述行列式除以余子式行列式,余子式行列式刚好把 dS 变成 dudv

\\=\bf i\iint_D\rho gz\d y\wedge\d z+\bf j\iint_D\rho gz\d z\wedge\d x+\bf k\iint_D\rho gz\d x\wedge\d y
\\=\bf k\iiint_\Omega\rho g\d x\wedge\d y\wedge\d z
\\=Mg\bf k

就算 ρ 变成与 z 有关的 ρ(z),也不过是把 ρz 一项换成 z0ρ(t)dt 的积分式罢了,因此上式在变密度时亦成立。

Stokes 公式:对于高维空间中的 二维 曲面 Σ

\int_{\p\Sigma}\bf V\cdot\d\bf l=\iint_\Sigma\Curl\bf V\cdot\d\bf S

……虽然感觉不如万能的

Ωω=Ωdω

但是上式并非一无是处。

  • Gauss 公式证明,上式适用于 Ω 是与维数相同阶子空间的场合。
  • Stokes 公式证明,上式适用于 Ω 是二阶曲面的场合。
  • 一般地,上式被称为广义 Stokes 公式。唯一的问题是,如何内蕴地定义一个集合的边界?答曰,边界必然比原集合降一维

例如,从 (a,0,0)(0,a,0)(0,0,a) 再返回的曲线,将其看成四棱锥的三侧面的边界,则

γydx+zdy+xdz=Σdydx+dzdy+dxdz

……所以,旋度到底是什么?

R3 的笛卡尔坐标系下,若 \bf V=(X,Y,Z)^T,则

\Curl\bf V=\det\begin{bmatrix}\bf i&\bf j&\bf k\\\dfrac{\p}{\p x}&\dfrac\p{\p y}&\dfrac\p{\p z}\\X&Y&Z\end{bmatrix}

前提是必须要有空间是笛卡尔坐标系

同时也有,旋度算子 \Curl 等价于算子 \nabla\times;散度算子 \Div 等价于算子 \nabla\cdot

万能分析法:对于 \R^m 上的 k 维曲面 \Omega,其边界上 k-1 维内微分与内部的 k 维内微分依照如下法则可以互化:

  • 将边界 k-1 维内微分转成 k-1 维外微分。
  • 由一般的 Stokes 公式将边界 k-1 维外微分转成内部 k 维外微分。
  • 将内部 k 维外微分转回 k 维内微分。

\nabla\times\nabla=0,梯度场是无旋场。本质是因为梯度是一阶外微分,再求外微分就是零。

\nabla\cdot(\nabla\times)=0,旋度场是无源场。

Laplace 算子 \Updelta=\nabla^2

有心场 \bf F(\bf x)=f(\|\bf x\|)\bf x 均是无旋场。

一般坐标系下的微积分。

设一组基底 \bf e_1,\dots,\bf e_m 是基底,不一定是正交单位基。

\d x_1,\dots,\d x_m 是相应的对偶基,即

\d x_i(\bf e_j)=\begin{cases}1&(i=j)\\0&(\text{otherwise})\end{cases}

坐标系的基底不一定是定基底:其可以是活动标架。

向量场 \bf X=\sum\limits_{i=1}^mX_i\bf e_i 对偶于一阶微分形式 \omega_\bf X=\sum\limits_{i=1}^mA_j\d x_j,满足 \omega_\bf X(\bf v)=\bf X\cdot\bf v

\bf v=\bf e_i,得到 A_i=\bf X\cdot\bf e_i=\sum\limits_{j=1}^nX_j\bf e_i\cdot\bf e_j=\sum\limits_{j=1}^nX_jG_{i,j},其中 G 是 Gram 矩阵 \lang\bf e_i,\bf e_j\rang。反之,X_i=\sum\limits_{j=1}^nA_jG^{i,j},其中 (G^{i,j})(G_{i,j}) 的逆矩阵。

\bf X_\omega=\sum\limits_{i,j}A_jG^{i,j}\bf e_i \\\d f=\sum_j\dfrac{\p f}{\p x_j}\d x_j \\\nabla f=\sum_{i,j}\dfrac{\p f}{\p x_i}G^{i,j}\bf e_j

微分与坐标和度量均无关;梯度与度量有关。

正交坐标系下,

\nabla f=\sum_i\dfrac{\p f}{\p x_i}\dfrac1{\sqrt{G_{i,i}}}\hat{\bf e}_i

如何算旋度?答曰:把向量场翻译为一阶微分形式;求外微分变成二阶微分形式;把二阶微分形式翻译为旋度。

首先思考二阶微分形式应该如何与旋度互化。

向量场 \bf X 对应于二阶微分形式 \omega(\bf u,\bf v)=\bf X\cdot(\bf u\times\bf v)。于是 A_1=X_1\bf e_1\cdot(\bf e_2\times\bf e_3);同理,A_2=X_2\bf e_2\cdot(\bf e_3\times\bf e_1)A_3 同理。反翻译也是可行的。

还是看看远处的级数吧!!!

数列无穷求和称为级数。数列中的元素不止可以来自常规的 \R,\C 之类,也可以来自一切赋范线性空间。

N 项和被称作部分和。收敛级数是部分和收敛的级数,称部分和的极限为级数的和。不收敛的级数是发散级数,其没有级数和。

数项级数是每一项均来自 \R\C 的级数。

u_1,\dots 均是 I 上函数时,称其为函数项级数。函数项级数可以在 I 上逐点收敛,也可以关于函数线性空间上范数收敛。针对不同的范数,有一致收敛、平均收敛等定义。

函数项级数可以类比广义含参积分。

例如,S_n(x)=x^nx\in(-1,1] 上逐点收敛,在任意 [-a,a] 其中 a<1 上一致收敛,在 (-1,1) 上并非一致收敛。

函数项级数逐点收敛,其极限函数也不一定连续,例如上述 S_n(x) 的极限 S(x) 就不连续。

例如,I 上函数的范数,有:

  • I 上最值。(或者说,上确界)这对应着一致收敛。
  • I 上积分值。这对应着平均收敛。

收敛级数的和满足线性、保序性(即若 u_n\leq v_n\sum u_n\leq\sum v_n

如何求级数?例如,几何级数(等比数列)\sum\limits_{n=0}^{\infty} x^n,可以用乘 x 法处理,但是 前提是已知该数列收敛。使用等比数列求和公式拟合级数,可以证明只有在单位圆盘内部的几何级数收敛。也可以用裂项法之类处理类似于 \sum\dfrac1{n(n+1)} 之类的求和。

级数收敛等价于 Cauchy 条件,即对于任意 \epsilon>0,存在 N_\epsilon 使得对于一切 N>N_\epsilonp>0,有 \|S_{N+p}-S_N\|<\epsilon

正项级数收敛当且仅当部分和数列有界。

Cauchy 条件推出收敛和 \|u_n\|\to0;反之,\|u_n\|\not\to0 推出不收敛;然而,\to0 不能推出收敛,典型如 u_n=\dfrac1n。注意,Cauchy 条件对于一切赋范线性空间均成立。

积分判别法:对于非负单调不增的 f\sum f(n) 收敛当且仅当 \int f(x)\d x 收敛。

  • 但是,\int f(x)\d x 收敛推不出 f(n)\to0(因为其可以在 f(n) 处搭帐篷),\sum f(x) 收敛却可以由 Cauchy 定理推出 f(n)\to0

绝对收敛也即 \|u_n\| 收敛。例如,若 A 满足 Frobenius 范数 \|A\|_F<1,则 \sum A^n 收敛,可以通过绝对收敛证得。

比较法:若存在 M>0N>1 使得对于一切 n\geq N 都有 \|u_n\|<Mv_n,则 \sum v_n 收敛推出 \sum u_n 收敛。

D'Alembert 比值判别法:若 \lim_{n\to+\infty}\dfrac{\|a_{n+1}\|}{\|a_n\|}<1 则级数绝对收敛,大于 1 则发散。证明考虑若极限是 p 则用 \|a_n\|q^m 描述 \|a_{n+m}\|

Cauchy 根式判别法:\sqrt[n]{\|a_n\|}<1 则绝对收敛,>1 则发散。

进一步,引入上下极限的概念。上下极限 \overline\lim,\underline\lim 不是某个特定的值,其价值在比较过程中体现:

  • \overline\lim\limits_{n\to+\infty}a_n<A 意味着存在 N 使得 \forall n>N 都有 a_n<A-\epsilon
  • \overline\lim\limits_{n\to+\infty}a_n>A 意味着存在无穷多个 a_n>A+\epsilon
  • 下极限同理。

扩展的 Cauchy 根式:\overline\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{\|a_n\|}<1 则绝对收敛。

\underline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{{a_n}}<\underline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<\overline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<\overline{\lim}\limits_{n\to+\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{{a_n}}

因此 Cauchy 的效果总是优于 D'Alembert,但是开 n 次根很丑。

幂级数 \sum a_nz^n 存在收敛半径

R=\dfrac1{\overline\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}

对于 |z|<R 其绝对收敛,|z|>R 其发散。

比值、根式判别法仅适用于判别敛散速度与等比数列相当的级数的收敛性。例如 n^{-x} 之类的则无法判定。

Raabe 判别法:如果 \underline\lim\limits_{n\to+\infty}n(\dfrac{a_n}{a_{n+1}}-1)>1 则其收敛;如果上极限小于 1 则其发散。用于判别收敛速度慢于几何级数的级数敛散性。事实上,往往是用于 \dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1+\dfrac xn+o(n^{-2}) 的场合的判定。

对于交错级数,可以相邻打包,打包和收敛不一定原级数收敛,需要额外补充项趋于 0 的充要条件。

Leibniz 判别法:对于非负单调不增的数列,其对应的交错级数收敛当且仅当通项趋于零。

Dirichlet 判别法:u 的部分和有界,v 单调趋于零,则二者积收敛。【Leibniz 是 Dirichlet 的特例】

Abel:u 收敛,v 单调有界,二者积收敛。

令条件收敛的实级数 a,则对于一切 A\in\R\cup\pm\infty,均可以重排 a 的项使其级数为 A

a 拆成非负单降趋于零的 b 和非正单增趋于零的 c,则 b 发散向正无穷,c 发散向负无穷,然后类似归并地组合 b,c 即可使 \sum a 趋于你想要的值。

这表明,条件收敛的级数,交换律失效。然而,对绝对收敛的级数,交换律、结合律均有效。

对于重排 \sigma,左侧的部分和 S_n,映过去得到右侧部分和 T_m,再映回去得到左侧部分和 S_r,则有 S_n\leq T_m\leq S_r。收敛数列的子列与母列收敛至同值。

事实上,对于绝对收敛的 \sum u,\sum v,对于任意双射 \sigma:\N\to\N\times\N,有

\sum u_{\sigma_1(i)}v_{\sigma_2(i)}=\sum u\sum v

这是因为,\sigma 本质上是对 \sum u\sum v 展开的矩阵的重排。

类似卷积地,有 Cauchy 积

\sum_n\sum_{i+j=n}u_iv_j

Mertens 定理:若两函数均收敛且至少有一绝对收敛,则其 Cauchy 积收敛。

令矩阵 A,B 满足交换律,则有 \exp(A+B)=\exp A\exp B.

函数项级数 \sum u_n(x)\rras I S(x) 意为其在定义域 I 上一致收敛,即任给一个 \epsilon,存在一个 N_\epsilon,使得 I 中的一切 x 都有当 n\geq N_\epsilon 时,\|\sum_{i=1}^nu_i(x)-S(x)\|<\epsilon

一致收敛推出牛的性质:

  • 若每个 u_n 均有界则 S 有界,且 u_n 一致有界。
  • 每个 u_n 均在 x_0 连续则 S 亦在 x_0 连续。
  • 进一步,极限可以和求和换序,即 \lim_{x\to a}\sum u_n(x)=\sum\lim_{x\to a}u_n(x)
  • 求和可以与 Riemann 积分换序:因为 Riemann 积分要求每一项 u_n(x) 有界,全体有界则 S 有界,S 的间断点集合又是 u_n(x) 间断点集合并集的子集,可数个零测集的并集仍是可数集,因此 S Riemann 可积,剩下的使用 S_N(x) 一致靠近 S 即可。

若每一个函数项均连续可导,且导函数一致收敛,且原函数在 I 中某处收敛。则原级数在 I 上任意有界闭集一致收敛,且导数可与级数换序。

一致收敛判定:满足一致 Cauchy 条件即可。

Wei 判别法:被一致绝对收敛函数控制。

所有有界函数 \scr B(I) 全体构成线性空间。

其上存在无穷范数 \|S(x)\|_\infty=\sup S

S_n(x)\rras I S_n(x),如果在无穷范数意义下趋于零。

\scr B(I) 关于无穷范数是完备的,即满足 Cauchy 条件。

\scr C(I)\sub\scr R(I)\sub\scr B(I)。完备空间的闭子集是完备空间,所以 \scr C(I),\scr R(I) 均是完备空间,自然可得连续函数一致极限仍连续,Riemann 可积函数一致极限仍 Riemann 可积。

对于有界闭的 I\scr C^1(I) 按照范数 \|u\|_\infty+\|u'\|_\infty 完备。

对幂级数应用 Wei 判别法,可得其在收敛域内部一致收敛,且级数的导数和积分可以对于每一项分开求导数或积分得到。例如,\ln(1+x) 便可通过 \dfrac1{1+x} 逐项求导再作一些代换得到;\arctan x 可以通过 1-x^2+x^4\dots=\dfrac1{1+x^2} 逐项积分再作一些代换得到。e^x 的展开式 \sum\dfrac{x^n}{n!} 满足 S'=S,且易知 S(1)=1 所以由微分方程相关可知其唯一解即为 e^x\sin x,\cos x 可以一起定义,满足二元微分方程组,其唯一解即为二者。

广义 Newton 二项式,定义 S_\mu(x)=\sum\dfrac{\mu^{\underline n}x^n}{n!},则可解微分方程知 S_\mu(x)=(1+x)^\mu。反正弦的导数是广义 Newton 二项式。

D: u 求和一致有界,v 单调一致趋于 0;A: u 求和一致收敛,v 单调一致有界。

运用 Abel 判别法可以分析幂级数边界处的性质:若幂级数在 x_0 处收敛,则把幂级数化为 \sum a_nx_0^n\left(\dfrac x{x_0}\right)^n,前一半一致收敛,后一半单调一致有界,因此幂级数在 [0,x_0] 上连续,因此如 \ln(1+x) 之类的式子,因为在 x=1 时亦收敛所以 \ln(1+x) 的式子可以被扩充至 x=1

对于有正收敛半径 R 的幂级数 \sum a_nx^n,令 S(x) 为其和函数,则 a_n=\dfrac{S^{(n)}(0)}{n!},也即该级数是和函数的 Taylor 级数。

注意,是先有级数,后有和函数。例如,e^{-1/x^2} 的 Taylor 级数恒为零,故并非每个函数的 Taylor 级数都在收敛半径内收敛至其自身。

  • 从级数构建和函数,和函数的 Taylor 级数必然是原级数。
  • 从函数构建 Taylor 级数,Taylor 级数的和函数不一定是原函数。
  • 这是因为,Taylor 级数只是多项式逼近,如果以慢于一切多项式的速率逼近则无法由 Taylor 级数刻画。

解析函数:在定义域中每个点 x_0 附近都可以展成收敛的幂级数 \sum a_n(x-x_0)^n。解析函数都是 \scr C^\infty 函数。并非所有 \scr C^\infty 函数都是解析函数。复可微函数都是解析函数。

幂级数可以用于求一些微分方程幂级数形式的解。具体即设存在幂级数形式的解并比较系数即可。注意幂级数解并非通解。注意求得的解是建立在幂级数形式解存在的前提下的,因此必须回代验证其确实是解。注意求得的解必须验证其收敛半径,若收敛半径为零则亦非解。

虽然幂级数解并非通解,但是求得任一特解即可使用常数变易法降阶,故幂级数法是一种可行的求通解的思路。

幂级数应用:求 \sum\dfrac{\sin nx}{n}

引理:\sum\dfrac{z^n}n,由 D'Alembert 其收敛半径为 1,由 Abel 其在 1-圆上刨除 1 附近的 \delta-距离点以外一致收敛。

于是把 \sum\dfrac{\sin nx}n 变成 \dfrac1{2i}(\sum\dfrac{e^{inx}}n-\sum\dfrac{e^{-inx}}{n}),则其在 (0,2\pi) 上闭一致收敛。

于是 \sum\dfrac{\sin nx}n=\sum\int_\pi^x\cos nt\d t,然后把积分移出去即可。\sum\cos nx 可以乘以半角正弦然后积化和差并消掉,即 \sin\dfrac x2\cos nx=-\dfrac12(\sin(n-\tfrac12)x-\sin(n+\tfrac12)x)

【另一种做法是,e^{inx} 的级数和可以用等比数列法简单得到,其实部和虚部分别为 \cos nx\sin nx 的级数和 】

【为什么选择的积分界是 \int_\pi^x?为了让其始终保持在收敛域中。】

\sum\dfrac{\cos nx}{n^2}?首先由 Wei 其一致绝对收敛。有 \sum\dfrac{\cos nx}{n^2}=F(0)-\int_0^x\dfrac{\sin nt}n\d t=F(0)+\dfrac{x^2-2\pi x}4

但是 F(0) 是什么?

两边在 [0,2\pi] 上积分。左侧为零,右侧是 2\pi F(0)-\dfrac{\pi^2}{3}。然后知 F(0)=\dfrac{\pi^2}6。也即,\sum\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6

存在处处连续处处不可导函数。

构造方法:

全体 [0,1]\to[0,1] 且满足 f(0)=0,f(1)=1 的连续函数构成一个集合 \scr S,且其是闭集。

构造 \scr S 到自身的一个映射:对于 f,将 [0,1]\times[0,1] 拆成 [0,\dfrac13]\times[0,\dfrac34],[\dfrac13,\dfrac23]\times[\dfrac14,\dfrac34],[\dfrac23,1]\times[\dfrac34,1] 三瓣,依次置入拉长的 f、翻转并拉长的 f、拉长的 f。显然其得到的新函数仍然属于 \scr S

该映射关于无穷范数是压缩映射,其上存在不动点,而不动点是处处连续处处不可导函数,因为其上每个位置的竖直方向拉伸比率均超过水平方向比率。

将其拼接可得全局处处连续处处不可导函数。

e^z=\sum\dfrac{z^n}{n!} 可以被变换至任意 w 处的 Taylor 级数:e^{z-a}=\sum\dfrac{(z-a)^n}{n!},于是 e^z=e^a\sum\dfrac{(z-a)^n}{n!}。然而这个推理是依靠 \exp 的特殊性质,并非对于所有函数均适用。

\dfrac1{1+x^2}=\sum(-1)^kx^{2k};但是该 Taylor 级数展开仅在 (-1,1) 上生效。这是为何?因为 \dfrac1{1+x^2} 虽然在实轴上处处有定义,但是在复平面上其并非全纯函数,进而其收敛半径被限制在奇点 \pm i 以内。

定理:令 D\R^m 中开集,f:(a,b)\times D\to\R^m 连续,且存在 \lambda>0 使得 \|f(t,\bf x)-f(t,\bf y)\|\leq\lambda\|\bf x-\bf y\|(即对于每个 t 分别 Lipschitz 连续),则 \forall t_0\in(a,b),\bf x_0\in D,均存在 \delta>0 和唯一连续映射 \bf x:(t_0-\delta,t_0+\delta)\to\R^m 使得 \bf x(t)=\bf x_0+\int_{t_0}^tf(s,\bf x(s))\d s

易验证该 \bf x(t)'=f(t,\bf x(t))。这表明,若有一元微分方程组 \bf x'=f(t,\bf x),且其对于每个 t 满足 Lipschitz 连续,则其存在唯一解。

证明:考虑算子 \scr D,满足 \scr D\bf x(t)=\bf x_0+\int_{t_0}^tf(s,\bf x(s))\d s。易验证 \scr D 算子在 \delta 足够小时是函数空间上的压缩映射,因此在 t 的小邻域中其存在唯一不动点。

\scr D 虽然是压缩映射,但是由 \bf x_n 迭代出的 \bf x_{n+1}=\scr D\bf x_n 是否仍然落于函数空间内?也即,是否有 \bf x_{n+1}(t)\in D

选取 t_0,\bf x_0 的充分小邻域:t_0 附近的 \delta-闭区间,\bf x_0 周围的 \beta-闭球。则 \|\scr D\bf x(t)-\bf x_0\|\leq M|t-t_0|,其中 M 是邻域最大范数。此式 \leq M\delta,因此可以先取一组 \delta,\beta 并求出 M,然后调小 \delta,调小 \deltaM 不增,因此必然可以寻到充分小的 \delta,使得存在 \beta 满足 \scr D-迭代后仍落在该邻域中。

有限维线性空间上范数彼此等价。

函数空间上范数彼此不等价。

常见范数有,\|f\|_\infty=\sup f\|f\|_p=(\int f(x)^p\d x)^{1/p},平均收敛 \|f\|_2,内积 \lang f,g\rang=\int f(x)\overline{g(x)}\d x(上面加线意味着取共轭,适用于复数值函数)及其引导范数之类,它们彼此不等价。

事实上,\lang\cdot,\cdot\rang 是平方可积函数 \|\cdot\|_2<+\infty 线性空间上的一组内积。

\int_{-\pi}^{\pi}e^{imx}\overline{e^{inx}}\d x=\begin{cases}2\pi&(m=n)\\0&(m\neq n)\end{cases},因此所有的 e^{inx} 彼此正交。

进一步,\int_{-\pi}^\pi\cos mx\sin nx=0(一偶一奇),对于 m\neq n\int_{-\pi}^\pi\cos mx\cos nx\d x=0,通过积化和差处理;\sin 同理。既然它们彼此正交,是否可以作为基底呢?

弹簧振子满足胡克定律 my''=-ky,其通解为 y(x)=A\cos\sqrt{k/m}x+B\sin\sqrt{k/m}x,可以看作匀速圆周运动在一维直线上投影。

求弦振动方程的解,已知存在一类 \sin\cos 引导的驻波解,则其线性组合都是解;因为三角函数的正交性,可以由它们的 \sin\cos 乘以系数得到全体解(的级数形式)

f(x)=\dfrac{a_0}2+\sum(a_n\cos nx+b_n\sin nx)

2\pi 周期可积函数

\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\d x=\pi a_n \\\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\d x=\pi b_n

因此给定展开,可以由与 \cos nx,\sin nx 点积求出系数。对于任意 2\pi 周期函数,令 a_n(f)=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\d xb_n(f)=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\d x,二者称为 Euler-Fourier 级数;f(x) 可以展成级数,但是级数会收敛到 f(x) 吗?

f(x) 是偶函数,那么 b_n=0,称为余弦级数;奇函数则 a_n=0,称为正弦级数。

例如,在 [-\pi,\pi] 上为 x^22\pi-周期函数,通过 a_n=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi x^2\cos nx\d x 得到 a_n=\dfrac{4(-1)^n}{n^2},而 a0=\dfrac{2\pi^2}3。于是有余弦级数展开 f\sim\dfrac{\pi^2}3+\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{4(-1)^n}{n^2}\cos nx。【注意,如果想用 \dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx\d x 的标准展开,那么 a_0 需要被除以 2 才适用】

事实上,对于 [0,\pi] 上的好函数,可以将其延拓至 [-\pi,\pi] 上的偶/奇函数,进而有其对应之余弦/正弦级数展开。

对于一般的 T 周期函数 f(x),可以使用 f(\dfrac{Tx}{2\pi}) 处理为 2\pi 周期函数,其中 a_n=\dfrac2T\int_0^Tf(t)\cos\dfrac{2\pi nt}T\d t,b_n=\dfrac2T\int_0^Tf(t)\sin\dfrac{2\pi nt}T\d t

例如在 [0,L] 上为 0[L,\pi] 上为 1 的“方波”函数也可以被 \sum\dfrac{\sin nx}n 这样趋于 \pi-x 的东西拟合。事实上,该函数满足 Fourier 级数与原函数相等。

但是展开是否必然相等?

对于无限维线性空间,其中有一组个数无限正交向量 \bf e_1,\bf e_2,\dots;考虑其张成空间内的 \bf v=a_1\bf e_1+a_2\bf e_2+\dots,则两边与 \bf e_n 内积得到 a_n=\dfrac{\bf v\cdot\bf e_n}{\bf e_n\cdot\bf e_n},称为 \bf v 关于 \bf e_1,\bf e_2,\dots 的 Euler-Fourier 系数。

考虑前 n\bf e_i 张成有限维线性空间 W_n 内投影 \bf v_n,则 \|\bf v-\bf v_n\|=\min\limits_{\bf w\in W_n}\|\bf v-\bf w\|(换言之 \bf v_n 是后者的 \arg\min),那么 \|\bf v\|^2\geq\|\bf v_n\|^2。【Bessel 不等式】

因此级数 \sum\dfrac{(\bf v\cdot\bf e_n)^2}{\bf e_n\cdot\bf e_n} 收敛至不超过 \|\bf v\|^2 的某处。【Bessel 不等式的另一种形态】

\lim\limits_{n\to+\infty}\|\bf v_n\|^2=\|\bf v\|^2,则 Bessel 不等式取等号,得到 Parseval 等式。

\scr L^2[0,2\pi] 上有相应的 Bessel 不等式和 Parseval 等式依次为

\dfrac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty a_n^2+b_n^2\leq\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2\d x \\\dfrac{a_0^2}2+\sum_{n=1}^\infty a_n^2+b_n^2=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)^2\d x

前者恒成立,后者成立否?

f+g,f-g 应用 Parseval 等式【\lang f\pm g,f\pm g\rang=\|f\|^2+\|g\|^2\pm2\lang f,g\rang】,可知 Parseval 等式 (P) 恒成立,等价于下式恒成立,其中 f 展成 a,bg 展成 c,d

\dfrac{a_0c_0}2+\sum_{n=1}^\infty a_nc_n+b_nd_n=\dfrac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)\d x\quad(Q)

f,g 都满足 (P),且二者满足 \int_{-\pi}^\pi f(x)g(x)=0,则 f+g 满足 (P)。由 Fourier 展开的线性性,易知。

另一方面,对 f\pm g 应用 (B),可知 \pm\left(\dfrac{a_0(f)a_0(g)}2+\sum(a_n(f)a_n(g)+b_n(f)b_n(g)\right)\leq0,因此其等于 0

进而 Parseval 等式成立。

对于 Riemann 可积函数,其因有界必然平方可积,然后其上 Riemann 积分可以由阶梯逼近。阶梯函数是在某一段上为一其余均为零的函数,由前述证明其可以由 Fourier 级数收敛得到,因此 Riemann 可积函数均可以展成 Fourier 级数。【上述证明表明,两个满足 P 等式的函数求和也满足 P 等式】

方波满足 P 等式,方波线性组合满足 P 等式,方波线性组合分别用 Darboux 上和和 Darboux 下和逼近 Riemann 函数亦满足 P 等式。

P 等式不仅保证 Riemann 函数的 Fourier 级数收敛至自身,更可以用于求一些级数的和。例如,在 [0,\pi] 上为 1 的奇函数,其正弦级数为 \dfrac4\pi\sum\dfrac{\sin nx}{2n-1},其相关的 P 等式可以用于求 \sum\dfrac1{(2n-1)^2}。【当然,也可以由 \sum\dfrac1{n^2}=\dfrac{\pi^2}6 求】

数列 (a_0,a_1,b_1,\dots) 的内积可以被定义为 \pi(\dfrac{a_0a_0'}{2}+\sum(a_na_n'+b_nb_n')),则该内积定义了数列到 \scr L^2[-\pi,\pi] 上的等距同构,其保内积进而保模长。这表明,对于平方可积函数,其信息虽然是与实数同阶的 \aleph_1 的,但是可以被压缩为数列的 \aleph_0 的,进一步可以取其一段前缀得到良好的逼近。

若某 f 的 Fourier 级数满足数项级数 \sum a_n,\sum b_n 绝对收敛,则 Fourier 级数一致收敛,且和函数连续。但是它收敛到的 gf 有何关系?

  • f 连续时,f=g。【仅要求 Fourier 级数一致收敛即可】

\|S_n(f)-g\|_\infty\to0

\|S_n(f)-g\|_2\leq\sqrt{2\pi\|S_n(f)-g\|_\infty^2}\to0

因此,f,g 在二范数下相等,则 \int(f-g)^2\d x=0。因为 f,g 均连续所以差相等,连续函数积分为零则必须处处为零。

进一步,分段连续可微的 Fourier 级数一致收敛至自身。

连续分段光滑->Fourier 系数绝对收敛->Fourier 级数一致收敛->Fourier 级数收敛至连续函数,即为自身。

f(x)\sim\dfrac{a_0}2+\sum\limits_{n=1}^\infty(a_n\cos nx+b_n\sin nx),对其形式求导得到 \sum\limits_{n=1}^\infty(-na_n\sin nx+nb_n\cos nx),因此希望有 nb_n=A_n,-na_n=B_n

A_n=\dfrac1\pi\int_0^{2\pi}f'(x)\cos nx\d x,分部积分得到 A_n=\dfrac n\pi\int_0^{2\pi}f(x)\sin nx\d x=nb_nB_n 同理。

因此形式求导就是真正求导。

故,\sum|a_n|+|b_n|\leq\sum\dfrac{|A_n|}n+\dfrac{|B_n|}n

事实上,分段 \scr C^12\pi 周期函数,其 Fourier 级数逐点收敛,且:

  • S(x) 在连续处收敛至自身,在间段处收敛至左右极限的均值。
  • 事实上,等价于于处处收敛于左右极限均值。【原因:平移使得跳跃间断点变成连续,然后再平移回去即可】

Dirichlet 定理:有界、分段连续、分段单调的函数,满足上述条件。

Dini 定理:令绝对可积 f 满足 \int_{0^+}\left|\dfrac{f(x-t)-f(x^-)+f(x+t)-f(x^+)}t\right|\d t 可积,

存在连续函数,Fourier 级数至少在一点发散。

存在可积函数,Fourier 级数处处发散。

对于每个 \scr L^p(p>1) 函数,其 Fourier 级数几乎处处收敛于 f

因此,要想得知 Fourier 级数收敛,需要补充额外的条件;补充分段光滑可行;由 Dirichlet 定理,补充分段连续、分段单调可行。

\sum n^p(|a_n|+|b_n|) 收敛,则 Fourier 级数的和函数在 [0,2\pi] 上是 \scr C^p 的,且可以逐项求导。

f 分段连续,则 f 的积分可以由 Fourier 级数逐项积分得到,且结论无需 f 的 Fourier 级数收敛。

总结:所有 Riemann 可积的函数的 Fourier 级数均均方收敛(但是均方收敛弱于逐点收敛),且满足 Parseval 等式;并非所有 Fourier 级数均逐点收敛。补充条件可以得到其逐点收敛。

等周不等式:4\pi A\leq L^2

对简单封闭 \scr C^2 曲线 (x(t),y(t)),可以描述其面积与长度。

不妨令 L=2\pi,并且弧长参数化曲线,则此时 x,y 均为 2\pi 周期函数。

x(t),y(t)x'(t),y'(t) 均可 Fourier 展开,且均收敛至自身。面积可以用 Fourier 极限描述,即可得到其展开。

其最终得到结果仅能处理 \scr C^2 曲线的场合,单纯的 \scr C^1 曲线需要其它分析。

二阶导是 2\pi 周期函数空间上的一个对称线性变换。若其拥有特征值 -y''=\lambda y,易验证:

  • \lambda<0 时解非 2\pi 周期。
  • \lambda\geq0 时当且仅当 \lambda=n^2 时解是有界 2\pi 周期解,此时解为 \cos(n\pi)\sin(n\pi),二者即为其特征函数。

事实上,对于线性映射 A,若其存在特征函数 \bf e_1,\dots,\bf e_n,\dots 与特征值 \lambda_1,\dots,\lambda_n,\dots,在求解 (A-\lambda)\bf y=\bf b 的场合时,可以对 \bf y,\bf b 特征分解并处理即可。

\lambda 是某个特征值,则其有无穷多解,否则只有唯一解。

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