绸带最终定理

复习的东西屁用没有捏。

$\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}$

若交换幺环唯二理想为零和自身，则其为域，反之亦然。
若普通幺环唯二理想为零和自身，其不一定为除环。
交换幺环中极大理想的商环为域，而普通幺环中极大理想的商环不一定是除环。
定义于交换幺环中的素理想是 $ab\in P\implies a\in P\lor b\in P$ 。素理想的商环必是整环。

ED 不是域，因为 $\Z$。

PID 不是 ED，因为 $\Z[\dfrac{1+\sqrt{-19}}2]$ 。
UFD 不是 PID，因为 $\Z[x]$ 。
整环不是 UFD，因为 $\Z[\sqrt{-5}]$ 。
Bezout 性（ $(a,b)=(d)$ 总成立，换言之方程 $ax+by=d$ 总有解）截止到 PID 均有效；UFD 不是 Bezout Domain，然而 UFD ∩ BD = PID。
素理想均极大截止到 PID 均有效；UFD 不满足该性质，然而 UFD ∩ [Prime=Maximal] = PID。
prime 等价于 irreducible 截止到 UFD 均有效；整环不满足该性质，然而整环中 prime 必 irreducible。
$\gcd$ 必存在截止到 UFD 均有效；整环中不一定存在 $\gcd$ 。ED 中 $\gcd$ 可以用 Euclid 算法算，PID 中仅仅模糊地保证了 $\gcd$ 的存在，UFD 则保证 $\gcd$ 可以用唯一分解算。
截止到 PID，若 $d=\gcd(a,b)$ 则 $(a,b)=(d)$ ；UFD 中 $(a,b)$ 不是主理想，有 $(d)\sub(a,b)$ ，但是最大的 $(d)$ 还是存在的。

$F$ 是域推出 $F[x]$ 是 ED；反之，$F[x]$ 只需要是 PID 即可反推出 $F$ 是域。

$F$ 是 UFD 推出 $F[x]$ 是 UFD。然而， $F$ 是性质更好的 ED 不能得到任何更有意义的结果，典型例子例如 $\Z[x]$ 是 UFD 而不是 PID。回退一步，有 $F$ 是整环推出 $F[x]$ 是整环。然而， $F$ 是 ED 虽然仅能保证 $F[x]$ 是 UFD，但是在 UFD 上可以以最高次项的范数以及多项式系数定义双范数，利用双范数运行 Euclid 算法计算 $\gcd$ 。
在 $F[x]$ 中，令 $I$ 是 $F$ 的理想，则 $(I)=I[x]$ 且 $R[x]/I[x]\cong(R/I)[x]$ 。因此 $I$ 素推出 $I[x]$ 素，因为整环的多项式环仍是整环；然而， $I$ 极大无法推出 $I[x]$ 极大，因为域的多项式环不是域。相反， $I$ 极大只能推出 $(I,x)$ 极大，后者非常不牛：其是常数项为 $I$ 、更高次项为 $R$ 的全体多项式。
Gauss's Lemma 指出，整环的多项式环中不可约的本原（所有系数 $\gcd$ 为 $1$ ）多项式，可以推出在整环对应分式域上多项式环中亦不可约。本原性的要求是因为 $\gcd$ 若非 $1$ （即 unit），则其可以提出 $\gcd$ ，而该 $\gcd$ 在分式域上会变成 unit 不影响可约性。
对于真理想 $I$ ，若多项式的 leading coefficient 在 $R/I$ 中未被映到 $0$ ，则 $(R/I)[x]$ 下的像不可约推出 $R[x]$ 下不可约；进一步（这步需要手动证明），若 $(R/I)[x]$ 下的像被分解为若干 irreducible，则 $R[x]$ 下的 factorization 中的每个 factor，都是 $(R/I)[x]$ 中，像的若干 factor 之积的原像。这意味着，例如若四次多项式在某个 $(R/I)[x]$ 下分成不可约三次与一次多项式之积，则其不可能再在 $R[x]$ 下分成不可约二次与二次多项式之积。
Eisenstein Criterion 指出，对于素理想 $P$ ，若 monic 多项式满足除首项外所有系数均属于 $P$ 但常数项系数不属于 $P^2$ ，则多项式不可约。进一步（这步需要手动证明）：在多项式非 monic 的场合，只需保证首项不属于 $P$ 即可。

$[K:F]=[K:M][M:F]$。

对于 $K/M/F$ ，若 $K/M$ 和 $M/F$ 均代数则 $K/F$ 亦代数，反之亦然。然而，这个性质把代数扩张换成某些其它东西不一定对。
代数扩张的交、复合均仍是代数扩张。因此可以定义代数闭包，即极大代数扩张。
有限扩张必是代数扩张，反之不亦然（ $U_\infty$ ）。
有限正规扩张等价于分裂域。
对于 $K/M/F$ ， $K/F$ 正规推出 $K/M$ 正规，但是无法推出 $M/F$ 正规。反之亦然，即 $K/M,M/F$ 正规无法推出 $K/F$ 正规。【例： $\Q(\sqrt[4]2)/\Q(\sqrt2)/\Q$ 】
正规扩张的交、复合均仍是正规扩张。因此可以针对一个代数扩张定义其进一步扩张得到的正规闭包，即极小正规扩张。
完美域上，一切代数扩张都是可分扩张。可分扩张的交仍是可分扩张。通过引入 Galois 理论，可以证明：由有限个可分元生成的扩张是可分扩张，进而有限可分扩张的复合仍是可分扩张。同理可以证明可分扩张的继承性，即 $K/M,M/F$ 可分可以推出 $K/F$ 可分（然而正规扩张没有该性质，因此 Galois 扩张也没有）
Galois 扩张作为正规扩张和可分扩张的共存体，满足所有二者共持有的性质。因此自然有 $K/M/F$ 中， $K/F$ Galois 推出 $K/M$ Galois，以及 Galois 扩张的交和复合仍是 Galois 扩张。特别地，对可分扩张求正规闭包，可以得到该可分扩张的最小 Galois 扩域，即 Galois 闭包。完美域上的有限正规扩张（也即求分裂域），不论求分裂域的对象是否可分或不可约，总是 Galois 扩张。
对于一切扩张，均有 $|\Aut(K/F)|\leq[K:F]$ 。当且仅当 Galois 扩张的场合，取等。
对于 $\Aut(K)$ 的一切子群 $H$ ，总有 $H$ 固定域再求自同构群回到 $H$ 。反之，当且仅当 Galois 扩张的场合，有 $\Gal(K/F)$ 求固定域回到 $F$ 。
$\Aut(K/F)$ 上的每个自同构必然把 $F$ 上代数元 $\alpha$ 映到其极小多项式的另一个根。特别地，当 $K/F$ Galois 时， $\alpha$ 被映到的元素称作 $\alpha$ 的 Galois 共轭，而全体不同的 Galois 共轭即为 $\alpha$ 极小多项式的全体根。
Galois 定理补充了 $K/M/F$ 中， $K/F$ Galois 推出 $M/F$ Galois 的条件，即 $\Gal(K/M)\unlhd\Gal(K/F)$ 。
本原元定理：有限扩域是单扩域当且仅当其有有限个中间域。
Artin 本原性定理：有限可分扩张是单代数扩张。