绸带最终定理
复习的东西屁用没有捏。
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若交换幺环唯二理想为零和自身，则其为域，反之亦然。
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若普通幺环唯二理想为零和自身，其不一定为除环。
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交换幺环中极大理想的商环为域，而普通幺环中极大理想的商环不一定是除环。
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定义于交换幺环中的素理想是 \(ab\in P\implies a\in P\lor b\in P\)。素理想的商环必是整环。
ED 不是域，因为 $\Z$。
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PID 不是 ED，因为 \(\Z[\dfrac{1+\sqrt{-19}}2]\)。
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UFD 不是 PID，因为 \(\Z[x]\)。
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整环不是 UFD，因为 \(\Z[\sqrt{-5}]\)。
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Bezout 性（\((a,b)=(d)\) 总成立，换言之方程 \(ax+by=d\) 总有解）截止到 PID 均有效；UFD 不是 Bezout Domain，然而 UFD ∩ BD = PID。
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素理想均极大截止到 PID 均有效；UFD 不满足该性质，然而 UFD ∩ [Prime=Maximal] = PID。
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prime 等价于 irreducible 截止到 UFD 均有效；整环不满足该性质，然而整环中 prime 必 irreducible。
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\(\gcd\) 必存在截止到 UFD 均有效；整环中不一定存在 \(\gcd\)。ED 中 \(\gcd\) 可以用 Euclid 算法算，PID 中仅仅模糊地保证了 \(\gcd\) 的存在，UFD 则保证 \(\gcd\) 可以用唯一分解算。
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截止到 PID，若 \(d=\gcd(a,b)\) 则 \((a,b)=(d)\)；UFD 中 \((a,b)\) 不是主理想，有 \((d)\sub(a,b)\)，但是最大的 \((d)\) 还是存在的。
$F$ 是域推出 $F[x]$ 是 ED；反之，$F[x]$ 只需要是 PID 即可反推出 $F$ 是域。
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\(F\) 是 UFD 推出 \(F[x]\) 是 UFD。然而，\(F\) 是性质更好的 ED 不能得到任何更有意义的结果，典型例子例如 \(\Z[x]\) 是 UFD 而不是 PID。回退一步，有 \(F\) 是整环推出 \(F[x]\) 是整环。然而，\(F\) 是 ED 虽然仅能保证 \(F[x]\) 是 UFD，但是在 UFD 上可以以最高次项的范数以及多项式系数定义双范数，利用双范数运行 Euclid 算法计算 \(\gcd\)。
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在 \(F[x]\) 中，令 \(I\) 是 \(F\) 的理想，则 \((I)=I[x]\) 且 \(R[x]/I[x]\cong(R/I)[x]\)。因此 \(I\) 素推出 \(I[x]\) 素，因为整环的多项式环仍是整环；然而，\(I\) 极大无法推出 \(I[x]\) 极大，因为域的多项式环不是域。相反，\(I\) 极大只能推出 \((I,x)\) 极大，后者非常不牛：其是常数项为 \(I\)、更高次项为 \(R\) 的全体多项式。
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Gauss's Lemma 指出，整环的多项式环中不可约的本原（所有系数 \(\gcd\) 为 \(1\)）多项式，可以推出在整环对应分式域上多项式环中亦不可约。本原性的要求是因为 \(\gcd\) 若非 \(1\)（即 unit），则其可以提出 \(\gcd\)，而该 \(\gcd\) 在分式域上会变成 unit 不影响可约性。
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对于真理想 \(I\)，若多项式的 leading coefficient 在 \(R/I\) 中未被映到 \(0\)，则 \((R/I)[x]\) 下的像不可约推出 \(R[x]\) 下不可约；进一步（这步需要手动证明），若 \((R/I)[x]\) 下的像被分解为若干 irreducible，则 \(R[x]\) 下的 factorization 中的每个 factor，都是 \((R/I)[x]\) 中，像的若干 factor 之积的原像。这意味着，例如若四次多项式在某个 \((R/I)[x]\) 下分成不可约三次与一次多项式之积，则其不可能再在 \(R[x]\) 下分成不可约二次与二次多项式之积。
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Eisenstein Criterion 指出，对于素理想 \(P\)，若 monic 多项式满足除首项外所有系数均属于 \(P\) 但常数项系数不属于 \(P^2\)，则多项式不可约。进一步（这步需要手动证明）：在多项式非 monic 的场合，只需保证首项不属于 \(P\) 即可。
$[K:F]=[K:M][M:F]$。
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对于 \(K/M/F\)，若 \(K/M\) 和 \(M/F\) 均代数则 \(K/F\) 亦代数，反之亦然。然而，这个性质把代数扩张换成某些其它东西不一定对。
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代数扩张的交、复合均仍是代数扩张。因此可以定义代数闭包，即极大代数扩张。
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有限扩张必是代数扩张，反之不亦然（\(U_\infty\)）。
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有限正规扩张等价于分裂域。
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对于 \(K/M/F\)，\(K/F\) 正规推出 \(K/M\) 正规，但是无法推出 \(M/F\) 正规。反之亦然，即 \(K/M,M/F\) 正规无法推出 \(K/F\) 正规。【例：\(\Q(\sqrt[4]2)/\Q(\sqrt2)/\Q\)】
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正规扩张的交、复合均仍是正规扩张。因此可以针对一个代数扩张定义其进一步扩张得到的正规闭包，即极小正规扩张。
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完美域上，一切代数扩张都是可分扩张。可分扩张的交仍是可分扩张。通过引入 Galois 理论，可以证明：由有限个可分元生成的扩张是可分扩张，进而有限可分扩张的复合仍是可分扩张。同理可以证明可分扩张的继承性，即 \(K/M,M/F\) 可分可以推出 \(K/F\) 可分（然而正规扩张没有该性质，因此 Galois 扩张也没有）
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Galois 扩张作为正规扩张和可分扩张的共存体，满足所有二者共持有的性质。因此自然有 \(K/M/F\) 中，\(K/F\) Galois 推出 \(K/M\) Galois，以及 Galois 扩张的交和复合仍是 Galois 扩张。特别地，对可分扩张求正规闭包，可以得到该可分扩张的最小 Galois 扩域，即 Galois 闭包。完美域上的有限正规扩张（也即求分裂域），不论求分裂域的对象是否可分或不可约，总是 Galois 扩张。
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对于一切扩张，均有 \(|\Aut(K/F)|\leq[K:F]\)。当且仅当 Galois 扩张的场合，取等。
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对于 \(\Aut(K)\) 的一切子群 \(H\)，总有 \(H\) 固定域再求自同构群回到 \(H\)。反之，当且仅当 Galois 扩张的场合，有 \(\Gal(K/F)\) 求固定域回到 \(F\)。
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\(\Aut(K/F)\) 上的每个自同构必然把 \(F\) 上代数元 \(\alpha\) 映到其极小多项式的另一个根。特别地，当 \(K/F\) Galois 时，\(\alpha\) 被映到的元素称作 \(\alpha\) 的 Galois 共轭，而全体不同的 Galois 共轭即为 \(\alpha\) 极小多项式的全体根。
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Galois 定理补充了 \(K/M/F\) 中，\(K/F\) Galois 推出 \(M/F\) Galois 的条件，即 \(\Gal(K/M)\unlhd\Gal(K/F)\)。
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本原元定理：有限扩域是单扩域当且仅当其有有限个中间域。
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Artin 本原性定理：有限可分扩张是单代数扩张。
