虞伦尧伊

标题释义：虞（舜）的功绩，可以与尧和伊尹并列。

$\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}$

域扩张的阶数，为以域扩张基域中元素为线性组合系数时，基底大小。

对于不可约多项式 $p(x)$ ， $F[x]/(p(x))$ 是 $F$ 的域扩张。令 $\alpha$ 为 $p(x)$ 的任一根，则该扩张即为单代数扩张 $F(\alpha)$ 。同时， $p(x)$ 为 $\alpha$ 的极小多项式。

假如 $F\cong F'$ ， $p(x)\in F[x]$ 在该同构下的像为 $p'(x)$ 。考虑 $E/F$ 与 $E'/F'$ ，该同构被扩充至 $E\cong E'$ 上，且 $E$ 上包含 $\alpha$ ， $E'$ 上包含 $\alpha'$ ，则 $F(\alpha)\cong F'(\alpha')$ ，均同构于 $F[x]/(p(x))$ 或 $F'[x]/(p'(x))$ 。也即，所有根在代数意义下不可区分。

有 $F[x]/(p(x))\cong F'[x]/(p'(x))$ 。

$F[x]/(p(x))$ 的阶数与多项式的阶数相同，且令 $x$ 在自然同态下的像为 $\theta$ ，则 $1,\theta,\dots,\theta^{n-1}$ 构成 $F[x]/(p(x))$ 的基。

代数元是那些可以被写成多项式的根的元。我们事实上绝大多数时候都仅考虑代数元不考虑超越元。

代数元的加减乘除均是代数元：因为 $F(\alpha,\beta)$ 是域。因此所有代数元成域。

代数元当且仅当单代数扩张是有限扩张，此时 $1,\alpha,\dots,\alpha^n$ 初次线性相关的 $n$ 即同为 $\alpha$ 和扩张的阶数。

由此得到推论，有限扩张必是代数扩张；但是存在无限代数扩张。【取 $U_n$ 为全体不高于 $n$ 次单位根张成的域，然后令 $n\to\infty$ ，即得无限代数扩张】

$[E:F]=[E:K][K:F]$ ，把基展开两次即证。

复合域 $K_1K_2$ 为包含 $K_1K_2$ 的最小扩域。易知 $[K_1K_2:F]\leq[K_1:F][K_2:F]$ ，其中当且仅当一个域的基底在另一个域上线性无关。

特别地，假如 $K_1/F$ 或 $K_2/F$ 二者之一是 Galois 的，可知 $[K_1K_2:F]=\dfrac{[K_1:F][K_2:F]}{[K_1\cap K_2:F]}$ 。此时，只要 $K_1,K_2$ 无交，则取得等号。

特别地，如果两扩张的阶数互质，则必取等。

分裂域是 $f(x)$ 完全分解但是在任何子域中均不完全分解的域。

每次剥一个项下来，可知同构域上相对应多项式的分裂域同构。推论为分裂域唯一。

正规扩张是所有不可约多项式要么完全分解，要么仍不可约的扩张。

有限正规扩张等价于某个多项式的分裂域。

分裂域 $E/F$ 是正规扩张：若 $\alpha\in E$ 是根，则 $F(\alpha)(f)=E(\alpha)\cong E$ 。不可约 $g$ 除 $\alpha$ 外的另一个根是 $\beta$ ，则 $F(\beta)\cong F(\alpha)$ ，且 $F(\beta)(f)\cong E$ ，于是 $\beta\in E$ 。

反之，有限正规扩域可以被解释为所有生成元的极小多项式之积，其分裂域。

正规扩张的等价定义： $E/F$ 是正规扩张，当且仅当 $\Aut(\bar F/F)$ 固定 $E$ ，其中 $\bar F$ 是代数闭包。

正规扩张的交仍是正规扩张。因此可以定义正规闭包，即极小正规扩张。

正规扩张有继承性，即若 $K/M/F$ 中有 $K/F$ 正规则 $K/M$ 正规。证明靠把 $K/F$ 写成分裂域证。

代数闭包是所有多项式均完全展开的闭包。可知：所有正规扩张均包含正规闭包，且所有正规扩张均包含于代数闭包。

可分多项式无重根。可分多项式可以经由定义导数，然后求 $\gcd(f(x),f'(x))$ 计算：若 $\gcd$ 为 $1$ 则可分，否则不可分。

完美域是不可约多项式等价于可分多项式的域。首先，不可约多项式不可分，若其导数为零；有且仅有 $x^{kp}$ 其中 $p$ 是特征这些项导数为零，因此可分不可约的多项式必然可以写成 $f(x^p)$ 的形式。若域中所有元素都可以开 $p$ 次根则其可以写成 $g(x)^p$ 进而可约。于是，满足所有元素可以开 $p$ 次根的域是完美域。有限域的场合由 Frobenius 自同构可知能开根。于是有结论：

所有有限域和零特征域都是完美域。

可分扩张是所有元素均为可分多项式根的扩张。换言之，所有极小多项式都可分。进而，完美域上所有代数扩张均为可分扩张。

对于代数元 $\alpha$ ，所有在 $F$ 任一含 $\alpha$ 的 Galois 扩张中，保 $F$ 自同构 $\sigma$ 下的 $\sigma\alpha$ ，构成 $\alpha$ 极小多项式的全体根（但不一定仅出现一次）。

例如，已知 $K_1/F$ 和 $K_2/F$ Gal 群的结构，则可以用它们的直积得到 $K_1K_2/F$ Gal 群的结构。比如说计算 $\sqrt 2+\sqrt[3]3$ 的极小多项式时，注意 $\sqrt2$ 在 Galois 扩张 $\Q(\sqrt2)/\Q$ 中， $\sqrt[3]3$ 在 Galois 扩张 $\Q(\omega_3,\sqrt[3]3)/\Q$ 中，因此 $\sqrt2$ 仅能被映到 $\pm\sqrt2$ ， $\sqrt[3]{3}$ 仅能被映到 $\rho^k\sqrt[3]3$ ，可知该六根即为极小多项式全体根。

在任一扩张中，中间域总是与自同构群的子群存在对应关系，但是仅在 Galois 扩域中该对应是一一对应。同时，小群固定大域，因此其满足反包含关系。

通过一坨 character 的分析可知，对于 $\Aut(K)$ 子群 $G$ ，令其固定域为 $F$ ，则 $[K:F]=|G|$ 。因此，对于任一扩张 $K/F$ ，均有 $|\Aut(K/F)|\leq[K:F]$ 。

进一步分析最终可得有限 Galois 扩张的等价条件：

有限正规可分扩张。
$F$ 恰为 $\Aut(K/F)$ 的固定域。
$[K:F]=|\Aut(K/F)|$ 。

Galois 基本定理指出：

对应反包含关系。
$[K:E]=|H|$ 且 $[E:F]=|G:H|$ ，其中 $E$ 是 $K/F$ 中间域， $H$ 是其双射的 $\Gal$ 群。
$K/E$ 总是 Galois 的，而 $E/F$ 是 Galois 的当且仅当 $H\unlhd G$ ，此时 $\Gal(E/F)\cong G/H$ 。一般地，就算 $H\not\unlhd G$ 也有 $E/F$ 的自同构与陪集 $\sigma H$ 一一对应。
$E_1\cap E_2$ 一一对应 $\lang H_1,H_2\rang$ ， $E_1E_2$ 一一对应 $H_1\cap H_2$ 。