中国北方春夏季田野调查报告

$$\newcommand{ch}{\operatorname{ch}}$$

Chapter 13. Field Theory

13.1.

域的特征 $\ch F$ 要么为质数要么为 $0$。$1$ 张成的子域被称作素子域 prime subfield。但这都不是什么重要的东西。

域扩张 $K/F$ 是指 $K$ 拥有 $F$ 作为子域，$F$ 被称作该扩张的基域 base field，$K$ 则可以直接称作 extension field。

$K/F$ 意味着，通过 $F$ 元素在 $K$ 上点积，定义了一个元素为 $K$ 中元素的线性空间。域扩张的阶数 degree 或者指数 index $[K:F]$ 即为该线性空间的维数。

域同态总是要么平凡 trivial（指所有元素均映到 $0$）要么单射，因此非平凡域同态总是引领了一个域扩张。

对于 $F$ 上不可约多项式 $p(x)$，$F[x]/(p(x))$ 是 $F$ 的一个域扩张，在其中 $p(x)$ 有根 $\theta$ 为 $x$ 在自然同态下的项。该域扩张存在基 $1,\dots,\theta^{n-1}$，$F[x]/(p(x))=\{\sum f_i\theta^i\}$，该扩张的指数为 $n$。

这个定理的核心是，给定不可约的 $p(x)$，证明存在 $F$ 的扩域，其中包含 $p$ 的根。

若 $K/F$，则对于 $K$ 中元素 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$，记 $F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ 为 $F$ 最小的包含 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 的扩张。$F(\alpha)$ 称作单扩张 simple extension，$\alpha$ 称作其本原元 primitive element。

对于在 $F$ 上 irreducible 的 $p(x)$，若有根 $\alpha$（这个根显然不在 $F$ 上而是在 $K$ 中），则 $F(\alpha)\cong F[x]/(p(x))$。

证明比较神奇，通过构建 $F[x]\to F(a)$ 的同态，这个同态有其相应的 induce homomorphism $F[x]/(p(x))\to F(a)$。

什么是 induce homomorphism？如果 $\varphi:R\to R'$ 是一个同态，$S,S'$ 是其各自的理想且满足 $\varphi(S)\sube S'$，则存在同态 $R/S\to R'/S'$。这可以被理解为，如果模 $S$ 同余的东西 collapse 了那么模 $\varphi(S)$ 同余的东西也应该 collapse；现在这里 $(p(x))$ 的像根本就是 $0$ 所以右侧不用 collapse。进一步地，这也可以被理解为 $F[x]/(p(x))\to F[x]/\Im\to F(a)$，其中第一个是进一步 Collapse，第二个其实是因为满射的缘故，间接说明极小性。

这个定理的核心是，给定 $p$ 的根，证明前述定理构造出的扩域恰好是包含该根的最小扩域。

扩域的最小性其实不明显，但是马上其实可以看到，$p$ 其实 associate 一个极小多项式（只要把首项除掉就是极小的），$p$ 的极小性确保扩域的最小性。

上述定理其实保证了根的不可区分性：$p$ 所有根对应的单扩域都同构于 $F[x]/(p(x))$，自然根是不可区分的。区分根的是其连续性性质，也即在 范数空间 中的根是可区分的，然而绸带研究的不是番薯。

进一步地，若 $F\cong F'$，$p(x)\in F[x]$ 被映到 $p'(x)\in F'[x]$，且二者均在其中不可约；令 $\alpha,\beta$ 为二者在某扩张中的根，则 $\sigma:F(\alpha)\to F'(\beta),\alpha\to\beta$ 是同构。虽然其与同一个域里的分析没有本质区别，因为同构的域就是同一个域。

13.2.

对于 $F$ 的扩域 $K$ 中的元，称其在 $F$ 上是代数 algebraic 的 如果其是某个多项式的根，否则称其是超越 transcendental 的。代数扩域是所有元素都是代数元的扩域。

对于每个代数元，存在唯一的首一不可约多项式拥有其为根，记作 $m_{\alpha,F}(x)$。

从所有的不可约且有其为根的多项式（因为是代数元必然存在）中选择阶最小的任一个。用其作 Euc.Alg. 可以干掉所有阶比它大的，同时让阶和它一样的全部与它 associate，那么 monic 的就只有一个。

这个多项式被称作 $\alpha$ 在 $F$ 上的 minimal polynomial 极小多项式，其阶数也被视作该代数元的阶数 degree。大扩域中的极小多项式必是小扩域中极小多项式的因式。

极小多项式即为恰好满足有 $F[x]/(p(x))\cong F(\alpha)$ 之多项式。也即，$[F(\alpha):F]=\deg m_\alpha(x)=\deg\alpha$。

代数元当且仅当其对应的单扩张是有限的。事实上，阶数为 $n$ 的有限扩张中所有元素都是不超过 $n$ 阶元，是 $n$ 阶多项式根的元素是不超过 $n$ 阶元。

这是因为，$n$ 阶有限扩张中任意 $n+1$ 个元素都可以以基域值为系数线性组合出零，因此 $n$ 阶有限扩张中所有元素都可以是某个不超过 $n$ 阶多项式的根。

推论：有限扩张都是代数扩张。

一些琐碎的关于扩张阶数的推论：

• $[L:F]=[L:K][K:F]$。（$L$ 中所有元都可以由 $n$ 个 $L$ 中的元以 $K$ 中参数组出，$K$ 中元可以由 $m$ 个 $K$ 元以 $F$ 参数组出，于是这 $n$ 个 $L$ 元带上 $m$ 个 $K$ 元的系数共 $nm$ 个元，带上 $F$ 中系数可以组成一切）
• 推论：$[K:F]\mid[L:F]$。

$F(\alpha,\beta)=F(\alpha)(\beta)$。因此令 $F_0=F$，$F_i=F_{i-1}(\alpha_i)$，$F_n=K$，则 $[K:F]=[F_1:F_0]\dots[F_n:F_{n-1}]\leq d_1\dots d_n$，其中 $d_i$ 为 $\alpha_i$ 单独在 $F$ 中的阶数。

有限扩域当且仅当其被有限个代数元生成。

有限个代数元生成的必是有限扩域。

反之，有限扩域可以找到有限个基底，依次扩入这些基底构成的扩域即为该有限扩域。

因此，代数元的加减乘除都是代数元（考虑仅包含牵扯到此二代数元的扩域，该扩域是有限扩域，其中包含加减乘除），进而代数元全体构成有限扩域。

代数扩域的代数扩域还是代数扩域。

总结：

不可约多项式扩域，扩出来含该多项式某个根的单代数扩域；至于含哪个根，因为不可约多项式的根之间没有代数区别，所以不在意。

代数元存在零化多项式和唯一的极小多项式，代数元引导的单代数扩域等效于该极小多项式引导的扩域。

有限扩张是存在有限基的扩张。代数扩张是所有元素的有限次幂中会出现线性相关的扩张；有限幂的初次线性相关对应了一个零化多项式，同时也是极小多项式，而更高阶线性相关对应着随意的一个零化多项式

有限基意味着超过基大小的元素集合必然存在线性相关，因此有限扩张中所有元素的阶均不超过扩张的阶，有限扩张必是代数扩张。

有限扩张可以被基描述，所以有限扩张可以被有限次针对基的单代数扩张描述，反之有限次单代数扩张必然得到有限扩张。

有限扩张重复还是有限扩张，代数重复还是代数。

两个域的结合域 composite field $K_1K_2$ 是同时包含二者的最小域，且必有 $[K_1K_2:F]\leq[K_1:F][K_2:F]$。因为大扩域的指数必然是小扩域指数的倍数，所以当两个小扩域的指数互质时，大扩域的指数必然是二者积。