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I. 论理想

理想是关于一切乘法封闭之子环。本质是将 $0$ 关于一切乘法之封闭性放大到了子环里。

商环等价于关于理想构建等价类，所有差一个理想元素的对都会 collapse 到同一个陪集中。当然，也可以替换为【按照某种法则将东西 collapse】，不依托理想本身来描述 collapse 的过程。

因为环中没有 normalize 的概念，所以第二同构就弱化为要求一个是子环，一个是理想。

理想的和等价于求包含二者并的最小理想，积等价于求二者交包含的某个理想（注意不一定是最大，例如一个理想的平方不一定等于自身）。

在幺环中，集合生成的左、右、双边理想有简单的形式 $RA,AR,RAR$ ；在交换幺环中，可以直接用 $RA$ 描述 $A$ 张成的双边理想。后者尤其在多项式环或者整环的分析中有用。

包含 unit 的理想亦包含 $1$ 进而必为整个环。唯二理想为零和自身的交换环是域，因为所有元素生成的理想均含 $1$ 。

唯二左右理想为零和自身的环是除环，但是唯二理想为零和自身的环（这样的环被称作单环）不一定是除环，因为 $1$ 可以是被 $ras$ 表出，不意味着 $a$ 可逆。反之，除环的唯二左、右、双边理想为零和自身。

事实上，在分析理想中某些涉及乘法的性质时，关于 unit 分析是一个较牛的选择。之后会看到。

对于 任意环 都可以定义极大理想。由第四同构定理，理想的包含关系与商环中的理想对应，因此交换环中的极大理想当且仅当商环是域；非交换环中，商环是除环推出极大，但是极大推不出商环除环。

幺环中，由 Zorn 引理，所有的真理想都包含于某一极大理想。

对于 交换环 可以定义素理想。素理想的 $ab\in P\implies a\in P\lor b\in P$ 的性质与无零因子的 $ab=0\implies a=0\lor b=0$ 有异曲同工之妙，因此事实上素理想的商环是整环，反之亦然。

在交换幺群中，有 CRT。

有 $(A)(B)=(AB)$ 。特别地，comaximal 时，有 $AB=A\cap B$ ；两两 comaximal 时，有 $\prod=\bigcap$ 。

CRT 说明， $R/\bigcap A_i=\prod R/A_i$ 。comaximal 时是特例，此时左侧可以用 $\prod A_i$ 来替。

II. 论特殊环

ED、PID、UFD 都是可以定义 $\gcd$ 的环。

两个（或更多）元素的 $\gcd$ 是满足，这些元素张成的理想被 $(d)$ 包含，且任一包含这些元素理想的 $(d')$ 都包含 $(d)$ 的这样的 $d$ 。 $\gcd$ 不唯一，所有的 $\gcd$ 都 associate，也即通过一个 unit 互相可达。 $\gcd$ 不一定存在。

Bezout Domain 是满足 $(a,b)=(d)$ 对于一切 $(a,b)$ 均成立的环。PID 必是 Bezout Domain。

Bezout Domain 中 Bezout Theorem 成立，也即存在 $x,y$ 满足 $ax+by=d$ 。这是证明某些特别定理需要的，例如 $\gcd(a,b)=1,a\mid bc\implies a\mid c$ 等。

ED 是存在 Euc.Alg. 的环。

Euc.Alg. 的意义完全不在于求出 $\gcd$ ，而在于 Euc.norm 提供了一种关于 norm 分析的方法。可知：一个 ideal 中 norm 最小的非零元生成了这个 ideal，因此 ED 是 PID。ED 本身更多的性质估计还是要在多项式环里才有意义。

PID 其实也没啥特别的，更多的时候 PID 也就是用 principle 分析分析就完了。

UFD 才是重量级。首先先介绍对于一切整环都有定义的 irreducible——可以拆成两个非 unit 的积；prime——张成素理想；associate——可以乘以 unit 以互相转换三个概念。prime 可以推出 irreducible；PID 和 UFD 中，irreducible 也可以推出 prime。

总览：在 ED、PID 中，prime、maximal、irreducible 三者是等价的；在 UFD 中，prime 和 irreducible 等价。

事实上，所有的非零元可以关于 associativity 分类，每类中元素数目都与 unit 数目相等。其中一些类是 irreducible 的。对每个 irreducible 类选取代表元，则所有 UFD 中元素都可以被唯一表示为 unit 乘以代表元幂次。UFD 中， $\gcd$ 是所有代表元在二者中幂次较小者的积所在的 association。

补充如 maximal 和 prime 等价、Bezout-city 等，可以由 UFD 反推 PID。

III. 论多项式环

多项式环可以定义于一切交换幺环。

整环上多项式环满足多项式的基本性质，如 $\deg pq=\deg p+\deg q$ 等。

对于 $R$ 的 ideal $I$ ，有 $(I)=I[x]$ 和 $R[x]/I[x]\cong (R/I)[x]$ 。这使得于模某个理想的剩余系下进行分析的模式变得合法。同时， $I$ 是素理想可以推出 $I[x]$ 是素理想，因为整环的多项式环是整环；然而， $I$ 极大无法推出 $I[x]$ 极大，而是有 $(I,x)$ 极大，因为 $R[x]/(I,x)\cong R/I$ 。

域上的多项式环是 ED，且其运行 Euc.Alg 的每一步是唯一的，这是常规 ED 没有的性质。

Gauss Lemma：在 UFD 的场合，分式域多项式环中 reducible 也是原环多项式环中 reducible。反之，对于系数 $\gcd$ 为一的多项式，其在原多项式环中 irreducible 可以推出其在分式多项式环中 irreducible。然后可以推得 UFD 的多项式环是 UFD。

在域的多项式环上，根与存在一次因子等价；因此二次或三次多项式的可约性与根的存在性等价。

对于任意整环， $(R/I)[x]$ 中不可约可以推出 $R[x]$ 中不可约（前提是 non-constant monic）。