深感数学符号体系的精巧
O. 前言
本文仅供参考。不会涉及所有微积分相关内容，也不保证提出内容的正确性，但欢迎大家指正。
作如下的约定：
- 本文中研究的所有函数都是无穷光滑函数，所有映射都是无穷阶微分同胚。诸如不连续等病态情况的讨论不在本文范畴内。
- 本文中不会过多地涉及高阶微积分的场合。
- 定义是存在等价性的。两种等价定义虽然可以互换，但是如果尽量遵循微积分发展的流程，最好还是认为某种定义比其它定义更本质。
I. 一元微分与导数
在 深感文字之乏力与思绪之混乱 一文中，本人曾痛斥过微分、导数等 \(\d\) 符号的模糊性。可以先阅读该文，了解其为什么会有这种现象。
数学家为什么要用 \(\dfrac{\d y}{\d x}\) 表示导数、\(\d f\) 表示微分？这引出本文的永恒主题之一，即：
- 第一法则：数学家尽量使得不同范畴的事物如果具有相同的法则则使用相近的符号，而相近的符号尽量意味着相同的法则。换言之，数学家喜欢类比。
没有理解？举一个例子：
这种“约分”的规则，恰好是数学家希望看到的，因为这可以让数学家不用费力去记忆诸如 \(g(f(x))'=g'(f(x))f'(x)\) 这样的繁琐公式：倘若小学中分数约分的概念可以直接顺滑地应用到微积分中（并且这通过计算保证成立），那么何乐而不为呢？
同样的例子也应用在逆映射定理上，也即如果 \(\dfrac{\d y}{\d x}=a\)，那么 \(\dfrac{\d x}{\d y}=a^{-1}\)。这个性质的成立也是大家喜闻乐见的。
但是，同样的道理 不 适用于高阶导数。例如，
这是因为，\(\dfrac{\d^2z}{\d x^2}\) 展开来其实是 \(\dfrac{\d\dfrac{\d z}{\d x}}{\d x}\)，并不能简单地按照约分处理。这是数学家的毛病之一，即为了记号的简便，数学家常常不惜打破某些共识（例如上方提到的约分共识）。不过，正是因为所谓的“共识”并非是铁板钉钉的法则，所以数学家可以把它随随便便地抛弃。更何况，既然二阶导数没有像一阶导数一样优雅的换元法则，那为什么不选一个优雅而简洁的符号，让自己省点心呢？
于是，有：
- 第二法则：如果一个事物本身没有足以类比的性质，那么数学家总是希望记号尽量简洁。换言之，数学家喜欢简洁。
我们再额外指出一种很常见的现象，即变量代换：比如说，如果我们已知 \(y=f(x)\)，那么我们希望将某个式子里的 \(y\) 全部替换为 \(f(x)\)，那么新式希望与原式相等。这种变量代换与一阶微分的兼容性，是由坚实的证明保证的。
例如，如果已知 \(y=\cos x\)，那么我们希望下式成立：
事实上，这一步总是成立的；而下一步往往是把 \(\d\cos x\) 变成 \(-\sin x\d x\)，这一步的正确性则是由 \(\d y=y'\d x\) 保证的。
我们希望，在一切涉及到 \(\d\) 的式子中，只要 \(x,y\) 的关系足够优秀，那么总是可以有 \(\d y=y'\d x\)，不论这个 \(\d\) 是出现在微分里、导数上、积分中或者是微分形式内。这也是下文讨论的重点之一，即 换元规则在新定义下是否仍然成立。
II. 一元积分与微分方程
一元的积分，我们学过的只有 Riemann 积分。外面的世界很美好，Darboux 积分、Lebesgue 积分惹人爱，但是我们都没见过。因此，一切分析的基础，归根到底还是建在 Riemann 积分上的。
Riemann 积分的定义大家应该都很熟悉。一维的场合，其可以被记作
注意，此处我们没有使用常见的 \(\int_a^b\) 的记号，这是为什么呢？
因为 \(\int_a^b\) 本质上还是物理里的思维，即 物体从 \(a\) 移动到 \(b\)，一个有方向的过程。这个过程 无法靠 \(x\) 自身来描述，必须依靠外在的参数 \(t\) 才能描述；或者说，\(\int_a^b\) 的本质其实还是 \(\int_{[a,b]}\d t\)，只不过 \(t\) 是恒同映射罢了。这件事在 \(\int_b^a\) 的场合更加明显：我们并不能理解“分割”之类用于定义 Riemann 积分的操作是如何对一个“负长度”的线段或区间进行的。我们只能理解 \(\int_{[a,b]}\d t\)，其中 \(t:x\mapsto a+b-x\)。
现在大家都在使用 \(\int_a^b\) 的记号，是因为其与 \(\int_{[a,b]}\) 的记号能够很轻松的兼容和互换，二者是等价的，而前者稍微简便一点、优雅一点，所以前者成为了主流。
再回到记号本身。\(\int_{[a,b]}f(x)\d x\)，如果要表达这个东西其实本质上还是一个三元组 \((\Sigma,f(x),x)\)，\(\Sigma\) 表示积分集合，\(f(x)\) 表示被积函数，\(x\) 表示积分变量。写成带 \(\d x\) 的形式，不过是因为积分换元时，“恰好”满足了 \(\d y=y'\d x\) 的换元式子，所以里面带一个 \(\d x\) 以示尊敬罢了。
你也可以说，这里的 \(\d x\) 其实是表示 \(\Delta x\to0\)，正如 \(\dfrac{\d y}{\d x}\) 其实也是表示 \(\Delta y,\Delta x\to0\) 一样；不过这有什么意义呢？符号系统和常规的映射没有任何区别，把它解释成各种意思也只不过是各种牵强附会罢了。单独的一个符号没有任何意义，符号的意义在互动之中体现；\(\int\d x\) 的符号在换元的互动中表现地格外优秀，胜过了 \(\text{禾彳天}\) 之类的神秘记号，因此它胜出了。
现在我们回过头来考察换元。数学计算会表明，如果 \(f:\Sigma\mapsto\Sigma',y\mapsto f(y)=x\) 的映射确实是正向微分同胚，那么就有
也可以选择保留中间步骤，得到
的代换中间式。尽管这个式子可能有例如不知道积分变量到底是 \(y\) 还是 \(f(y)\) 之虞（真的吗？），但是因为写数学式子和读数学式子的都是人，而不是你把 int 和 double 搞混就有可能报错的机器，所以这样的记号尽管不严谨（真的吗？可以通过扩展定义解决这一点。不过专门强调“我们把定义扩展到这里了，所以这样写是合法的”就有点斤斤计较了。事实上，在符号内带上 \(\d\) 本身就意味着接纳了 \(\d\) 所蕴含的诸如 \(\d f(x)\)、\(\d(x+y)\) 等用法，因此确实没必要专门强调这一点罢了），但是是可以被接受的。
到这一步，我们的换元还只能针对于正向微分同胚；但是通过扩展定义，例如承认如下记号的合法性
就可以让换元对一切仅需保证可微性（当然，至少分段光滑性等也是必要的；不过此处仅强调可微是为了表明微分不再需要是保持恒大于零的正向微分同胚，也可以为负甚至为零）的 \(\varphi\) 成立。虽然有向积分是依托无向积分定义的（不，其实二者本质上是等价的，只不过无向积分在这里被选中作了本源定义罢了），但是因为前者的运算法则更加优秀，所以无向积分倒成为了那个常常需要被转化为有向积分以进行换元或计算的对象了。
同样的道理也适用于求原函数的不定积分 \(\int f(x)\d x\)。其在换元的场合的优秀表现，即总是可以先把 \(x\) 换成 \(y\)，\(y\) 换成 \(z\)……最终得到某个式子然后再把变量依次回代，是其也被囊括入 \(\d\) 家族的原因。
还有一个比较有趣的例子是微分方程。例如分离变量的微分方程：已知
是怎么能够推出
的？
看起来只是两侧同时加上了积分符号，事实上这也是有坚实的数学推导埋在底下的。具体推导不谈，这里指出一点：
- 很多觉得“普通”和“理所当然”的下意识运用，其实都是前辈们煞费苦心才让这种想当然成立的。剥开这层外衣，我们得以窥见某些这样的理想情况所适用的具体条件（例如前述的微分同胚的正向性需求），增加自身知识体系的严谨性。
最后，我们回到换元公式
这个式子其实很本质地指出了一点，即 假如把有向积分看成从 \(a\) 移动到 \(b\) 的过程，那么有向积分的结果中，移动的快慢是不重要的，我们只在意运动的起讫点。这种思路让一个“运动”即曲线本身可以被内蕴地定义积分，而不需要依托于参数表示。其实有：
- 第三法则：某种变换下的等价，意味着脱开此种变换可以内蕴地定义某种值、某种运算。
曲线的长度在坐标变换下有定义。因此弧长就是一个曲线内蕴的性质。假如一个事物没有任何内蕴的性质，则依据奥卡姆剃刀原理，我们根本不会有去认识这个事物的意图；正是因为曲线内蕴着弧长、曲率等性质，我们才可以通过这些性质来认识这个曲面。尽管，内蕴的性质在具体求值时，往往需要借助外在坐标系才能进行罢了。
- 第三法则（等价表述）：对某事物的定义，往往是先依托脚手架而进行，待到脚手架上方建起足够大的平台后，就一把把脚手架撤去，宣称这个平台已经可以独立存在了。
- 某一种类型的数学发展就是不断拆脚手架的过程。曲面，一开始说必须依托参数化才能分析，后来发现不同参数下彼此等价于是把参数化撤掉，后来发现连其存在的外在空间也可以忽略。同时，不仅要拆脚手架，还要尝试把脚手架换成电梯、人间大炮或者传送法阵，例如把单位正交的笛卡尔坐标系换成任意一组基，甚至把基换成每个位置上分开定义的基向量场。
- 但是，当我们真的想要上下平台的时候，还是需要脚手架的；只不过此时我们可以自由地选择使用哪一个脚手架，甚至随着研究的深入解锁电梯等更精巧的工具。
III. 多元微分
多元微分要满足一种扩展定义，即只要 \(x_1,\dots,x_n\) 是函数定义域的一组正则参数化，那么就必有
这个性质与一元时是兼容的，且我们希望此性质在一切 \(\d\) 出现的地方均成立，不论这个 \(\d\) 是单独出现、出现在积分中还是出现在外微分里。
放到偏导数的场合，就是例如 \(f(x,y)\)，则有
注意这里本人使用了 \(\p_if(x_1,\dots,x_n)\) 表示 \(f\) 对第 \(i\) 个变量求偏导的值，为了避免出现诸如 \(\p_xf(x,x+y)\) 之类的歧义。
当然也有
的记法，但是这个记法并不像 \(\dfrac{\d y}{\d x}\) 的一元微积分场合一样，“比值”的性质很明显，“约分”的操作易于记忆，所以其实仅仅是对一元微积分优美记号的拙劣模仿罢了。
同时，对微分展开的例如
的分析，虽然简洁（并且更本质，毕竟偏导数展开是需要依托坐标系进行的，但是上述微分复合是超脱坐标系存在的）但是在实际运算方面并不优秀，毕竟实际运算也好答案也好全都是在坐标系下执行的。
更加臭名昭著的还有沿向量导数 \(\dfrac{\p f}{\p\b v}\) 的记号，其中 \(\b v\) 可以不一定是单位向量。这个记号的实质是 \(\lim\limits_{t\to0^+}\dfrac{f(\b x+t\b v)-f(\b x)}t\)，可以发现因为 \(\b v\) 的位置在“分子”上，所以分析起来反倒是有 \(\dfrac{\p f}{\p(k\b v)}=k\dfrac{\p f}{\p\b v}\) 之类的破坏“比值”感的结果。因此，\(\dfrac{\p f}{\p\b v}\) 就是对一元微积分的生搬硬套，远不如直接记成 \(\p_\b vf\) 来的没有歧义。当然，事实上 \(\dfrac{\p f}{\p\b v}\) 的记号还是在 \(\b v\) 是单位向量的场合应用的比较多，但是此时仍然完全不满足“比值”自身拥有的性质，因此还是不如 \(\p_\b vf\)。
- 总结：采取例如分式的记号，是希冀于其能继承一部分分式的性质；倘若继承了一个记号却没有继承其任何性质，那还不如干脆换一种有区别的记号，至少其不会产生歧义。
IV. 重积分
重积分是依托笛卡尔坐标系来完成基础定义的：因为在非笛卡尔坐标系下，高维体积并不好定义。同时，重积分的积分区域维数需要与外在空间维数相同否则积分必然为零，那么基础版本的重积分就完全不是一个内蕴的定义。
重积分可以列出
之类的基础定义。
其可以被写成累次积分的
形式。注意，我们尚未明确这个记号中的 \(\d x_i\) 之间是以什么样的形式“乘”在一起的，毕竟在一元微积分里，一个乘积式内永远都只有至多一项的 \(\d x\) 是真正的“微分”，其它的 \(\d x\) 都只不过是恰好和微分满足一样运算法则的导数罢了。上述记号只需要一组按照顺序标好号的笛卡尔坐标基底 \(x_1,\dots,x_n\) 即可成立；但是我们目前并不知道假如出现了例如 \(\d x_3\d x_3\) 这样的重复式，或者 \(\d x_2\d x_1\) 这样的反转式，结果是什么样的。
重积分的计算依托于切片。朴素地想，只要 \(f\) 是光滑的，那么首先沿着哪个 \(x_i\) 切片应该并没有本质不同。切片可以一次切一维，此时将问题转为一个 \(n-1\) 维重积分和一个 \(1\) 维重积分，后者本质上其实就是一维 Riemann 无向积分。因此，对于光滑的 \(f\)，将重积分按照何种顺序切成 Riemann 积分的复合其实并无影响；当然也可以将重积分切成两组重积分，例如如下的等式
总是成立的。
按照这样的切片计算，我们似乎可以认为，\(\d x\d x\) 这样的重复式是不可能出现的（因为每一步切片是将原本的坐标系拆为不交的两部分），而 \(\d x_2\d x_1\) 这样的反转式应该和 \(\d x_1\d x_2\) 没有本质区别。
到目前为止一切安好；但是当我们考虑换元时，我们会希望，只要 \(\b y\to\b x\) 的微分同胚足够优秀，就有
而当括号被拆开来时，我们会发现，此时不仅出现了 \(\d y_3\d y_3\) 这样的重复式，并且假如认为 \(\d y_1\d y_2=\d y_2\d y_1\) 也会得到错误的结果。
于是，我们不得不重新定义一套系统以使得换元性质被良好地保留。
首先，对于任何微分同胚 \(\b y\to\b x\)，一个总是成立的式子是
在此式的前提下，我们作如下的约定：
对两个定义域相同且均为某线性空间 \(F\) 的线性函数 \(f,g\)，其楔积 \(f\w g\) 被定义为线性空间 \(F^2\) 上的线性函数
这个线性函数满足诸如关于 \(f,g\)、\(\b x,\b y\) 分别的双线性和反对称性等。
线性函数场间也可以定义楔积，即在场内处处分别定义楔积。
楔积同样可以不仅定义于两个一重线性函数间，也可以定义于多个一重线性函数或者多重线性函数之间，方法是类似的。
诸如 \(\d x,\d y\) 等微分其实本质上就是一个线性函数场，于是有
- \(\d x\w\d y=-\d y\w\d x\) 的反对称性。
- \(\d x\w\d x=0\) 的自消性。
- \((\d x\w\d y)\w\d z=\d x\w(\d y\w\d z)\) 的结合律。
到这里我们就看出一些端倪了：我们引入楔积只不过是表明，存在一种满足上述三种性质的用于结合微分的运算；因而楔积的具体运算法则其实不重要，我们的关键是定义 楔积引导下的高维积分。
首先，确定初始基底 \(x_1,\dots,x_n\) 的某种顺序为正向，比如说就以 \(x_1,\dots,x_n\) 为正向序。那么，我们定义，有 \(\d x_1\w\d x_2\w\dots\w\d x_n\) 可以与 \(\d x_1\dots\d x_n\) 无损转换。也即，有
使用楔积记号的话，换元即可无伤进行。即，对于一切微分同胚，都可以在换元时把 \(\d x_i\) 变成 \(\sum\dfrac{\p x_i}{\p y_j}\d y_j\)，进而展开为
但是需要考察 \(\d y_1\w\dots\w\d y_n\) 何时可以被还原为 \(\d y_1\dots\d y_n\)。事实上，这需要要求 \(\b y\to\b x\) 是正向微分同胚，即 \(\det J\dfrac{\b x}{\b y}\) 处处为正，此时就可以被还原。可以通过重排 \(\d y_1\w\dots\w\d y_n\) 的顺序来使得微分同胚是正向，也可以换一种说法：同胚是正向则可以无损还原，否则要取反再还原。
楔积的语言本质上是为了更优雅地描述换元的过程，使其与其它场景的换元方法能够兼容；换元本身的正确性不依赖于楔积（而是依赖于重积分的公式 \(\int_\Omega f\d\b x=\int_{\Omega'}f|\det J\dfrac{\b x}{\b y}|\d\b y\)），楔积是人工构造使得换元成立的语言。
V. 曲面积分
第一型曲面积分和重积分没有本质不同：其旨在回答一类问题，即如果重积分定义的空间是曲面又应该如何计算。为了符合直觉等，最终我们以如下方式定义第一型曲面积分：
- 对于曲面 \(\Sigma\) 的任意正则参数化 \(\Sigma(\bf u)\)，有其上的第一型曲面积分为
其中 \(G\) 是 Gram 矩阵，即 \(\lang\dfrac{\p\Sigma}{\p u_i},\dfrac{\p\Sigma}{\p u_j}\rang\)。
当 \(\b u\) 的维数与 \(\Sigma\) 的维数相同时，Gramian 开根就是 Jacobian 的绝对值。同理可知，在关于 \(\b u\) 任意不要求必须正向的微分同胚换元时，上式守恒。
按照我们之前的说法，其在微分同胚换元下守恒意味着不需要依托参数化 \(\b u\) 即可定义上式。于是有如下的记法
这种记法最重要的目的就是强调计算时可以自由选择标架。
这个东西的定义甚至是完全内蕴的，不依赖于 \(\Sigma\) 的外在空间。这就扩展了我们朴素重积分的概念进入微分几何。
但需要注意的是，第一型曲面积分的换元必须依托参数化展开：例如用第一型曲线积分算椭圆 \(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\) 的周长，不能不参数化、直接换元 \(u=ax,v=by\) 转到 \(u,v\) 坐标系下的圆：否则这就会得到椭圆周长很容易计算的错觉，而事实上椭圆周长是经典的非初等函数。
特别地，如果坐标系变换 \(\Phi:\R^n\to\R^n\) 满足处处都有 \(J\Phi\) 正交归一（orthonormal），则确实可以进行换元。这是因为面积微元关于正交变换不变。剖开来讲，设原系中的参数化 \(\Xi\)，则新系中的参数化 \(\Phi(\Xi)\)。Gram 矩阵
如果 \(J\Phi\) orthonormal 则中间的 \(J\Phi^TJ\Phi^T=I\)，可以扔掉；否则，就算 \(\Phi\) 是 \(x\to2x,y\to3y\) 这样单纯的变换，都会让中间的部分不是单位矩阵无法扔掉。这就是为什么第一型曲面积分只有在 orthonormal 换元下才能进行坐标系变动。【而，orthonormal 换元其实仅仅由平移、旋转、翻转等操作构成，不涉及任何拉伸】
第二型曲面积分的本质是第一型曲面积分，即对于向量场 \(\b F\) 和超曲面（\(n-1\) 维曲面）的单位法向量标架 \(\b n\)，第二型曲面积分是
为了不出现 \(\b n\) 这种不优雅的东西，也可以将其记作
法向量标架是一个相对内蕴的性质，事实上非内蕴的只有法向量的正负。因此可以尝试对曲面定向，可定向曲面存在连续的单位法向量。于是，对于定向确定的曲面，第二型曲面积分就是一个内蕴定义：其仅依托有向曲面和向量场存在，不需要标架，不论这个标架是为曲面设立的参数方程还是对外在空间的坐标系标架。
永远可以尝试把第二型曲面积分转成第一型。但是这个大概率会很麻烦。
事实上，存在一种泛用的方法是，若外在空间存在笛卡尔坐标系，也即 \(\b F(\b x)\) 可以被 \(\b F(\b x)=\begin{bmatrix}F_1(\b x)\\F_2(\b x)\\\vdots\\F_n(\b x)\end{bmatrix}\) 所刻画，那么就有
也即一个轮换缺一的外微分式。
对于 \(\Sigma\) 的参数化，在上述外微分式中应用换元即可。
外微分式可以再度求外微分。有
外微分式存在统一的、内蕴的一般 Stokes 定理，即对于任意区域 \(\Omega\)，都有
其实质是统一了一维的 Newton-Leibniz 式（令 \(\Omega\) 为一维区间）、二维平面的 Green 式（令 \(\Omega\) 为二维区域）、三维区域的 Gauss 式（令 \(\Omega\) 为三维区域）、二维曲面的 Stokes 式（令 \(\Omega\) 为二维曲面）。
任意微分形式的二阶外微分 \(\d\d\omega=0\)，这本质是因为无穷光滑函数偏导交换性。同时有逆定理 Poincare Lemma，即一个微分形式存在原外微分当且仅当其外微分为零。
这其实也是由一个拓扑的性质来对偶保证的，即 \(\p\p\Omega=\varnothing\)。
一般 Stokes 式往往只有正用没有逆用，这是因为正着求外微分是容易的，但逆着求反外微分需要验证 Poincare 引理，是一个求微分方程的过程，可能不太友好。有可能通过某种等比放大切片，将 \(m\) 维区域上积分切成 \(m-1\) 维壳层积分，然后对每个壳层分别正用 Stokes 式，但是这终归不是逆用 Stokes 式。
外微分形式的分析虽然看上去比较奇怪，但是只要把它当成一种语言来描述，就会很朴素。具体而言：
第二类曲面积分的基础定义是
这个定义依托曲面定向而有效。
或者，也可以置曲面定向而不顾，不论曲面定向如何，总是可以先把它写成轮换缺一外微分形式
其中，初始时要求 \(x_1,\dots,x_n\) 是 Cartasian 坐标系。但是，可以通过直接代入法进行换元而让坐标摆脱坐标系的桎梏。
当经过合适的换元使得外微分被定义在合适的参数方程 \(\d u_1\w\d u_2\w\dots\w \d u_{n-1}\) 下后，此时再来考虑曲面定向。曲面定向是在曲面上每个点孤立地定义一个方向（可以用一组参数描述），从这组参数到 \(u_1,\dots,u_{n-1}\) 的换元若是正向则 \(\d u_1\w\d u_2\w\dots\w \d u_{n-1}=\d u_1\d u_2\dots\d u_{n-1}\)，否则需要取反。
例如，三维空间中的二维曲面的定向可以用一个法向量描述：参数是二元 \(u,v\)，则如果 \(u\) 向切向量与 \(v\) 向切向量的叉积与法向量同向则认为 \(u,v\) 正向，否则认为 \(u,v\) 负向。
一个曲面上的定向可以时常改变。例如，用 \((x,y)\) 参数描述一个球面，法向量为向外，则上半球上 \((x,y)\) 是正向，下半球上则流势逆转，\((x,y)\) 变成负向。因此，楔积的描述方式如果要被用来计算答案，则需要将曲面分割成若干正则曲面片（正则曲面片上参数定向不变），在每个曲面片上分开取下楔积符号。
注意，到目前为止，曲面的定向都是自由的：就算你神志不清地将 \(x-y\) 平面黑白染色后，令其在黑格向上定向，白格向下定向，上述分析仍可以针对所有黑白格分开积分处理。同时，在例如球面等闭曲面上求曲面积分的场合，如果想直接使用 \((x,y)\) 等定坐标系外微分，则必有半个球上正向、半个球上负向，需要拆开来处理。
然而，仅在曲面存在连续定向的场合，可以应用一般 Stokes 公式，将表面的低阶微分形式转成内部的高阶微分形式。存在一种法则，可以由表面的低阶微分形式的正向顺序推理出内部的正向顺序，该法则在三维空间二维闭曲面的场合表现为 Gauss 公式，即：
- 若曲面定向是外向，则内部的 \(\d x\d y\d z\) 是正向。
如果说 \(\b F\cdot\d\b S\) 的语言是把定向放到了第一步，那么楔积语言就是把定向放到最后一步，这就是二者换元的根本区别了。
VI. 换元理论总结
换元理论的核心，是找到一种运算法则，使得换元等效于直接把所有原变量用新变量的式子替换。
- 无向积分（一元，或者是多元重积分，或者是一型曲面积分）换元，总是可以用 Gramian 开根 来刻画。这是 无向积分换元体系。本质是因为，Gramian 刻画面积微元在变换下的伸缩。重积分的场合，换元是在同维度下进行，因此 Gramian 开根就是 Jacobian 绝对值；一维的场合，Gramian 就是导数绝对值；一元的场合，Gramian 就是切向量的模长。先决条件是，换元是正则的，至于换元的方向其实被并不在意。
- 有向积分的换元，总是可以直接代入换元。但是有向积分的前提，是对积分区域的定向；使用楔积语言，就是只有按照某种顺序（以及它们的偶置换）才对应着正积分，否则就是负的。
- 积分的本质，就是从无向里来，到无向里去：本质的定义是无向的，最终算答案时也只有无向才有答案。但是有向作为工具，有向间的转化相比无向是较容易的，因此再补充一些从问题转化或者从无向转化的法则，以及一些转化到答案或者转化到无向的法则，就可以完美实现计算。
- 有向积分，就是人造的使换元法则成立的工具。
VII. 未解之问题
上述理论仍忽略了一些问题。例如：
- \(P(x,y)\d x+Q(x,y)\d y=\d R(x,y)\) 的微分方程等式；当我们写下左侧的式子时，我们会期望这里的微分是几元函数的微分呢？当我们写下 \(\d x\) 时，我们又是在把 \(x\) 当成几元函数在看呢？微分需要一种内蕴的定义，其不仅不依赖于 \(x\) 的坐标系，甚至不依赖于被微分函数存在于多少维的线性空间内。
- 依托非单位正交基乃至非单位正交基向量场展开的分析。这方面应用其实在物理上比较多，例如朴素的极坐标就是一个单位正交基向量场，基底虽然处处均是单位正交基但是并非定基。更一般地，如果外在空间并非欧氏空间，微分几何上又如何呢？
期待进一步的探索。
