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I.商群与同态与等价类
我们把 \(a^{-1}b\in H\) 的 \(a,b\) 看作属于同一个等价类。每个等价类中元素数目相同，左陪集是一组等价类划分。
左陪集其实对应着左逆元：同一个左陪集中的所有元素，彼此可以互相看作左逆元。同理，同一个右陪集中的元素互为右逆元。只有当左右逆元相等，才是群。
商群揭示了一种等价关系，这种等价关系之间有着额外的像群一样的互动。同理，同态也是一种等价关系：不同的元素映到相同的像，这划分成为众多等价类，同样有似群的互动。第一同态定理揭示了二者的联系，即商群与满同态之间本质的等价性。
子群是“完整”地截去群一部分信息的方法，就像比例尺很高但范围小的地图；商群反之，则是比例尺很小的缩略图。
从商群到其它群的同态。商群中每个元素 \(gN\)，可以由其中所有代表元描述；因此，商群到其它群的同态 \(\varphi\)，其实本质还是母群到其它群的同态 \(\Phi\)，只不过这个同态要满足对于同一个商群的所有代表元，被映到相同的像罢了。事实上也就是 \(N\leq\ker\Phi\)。满足该条件的 \(N,\Phi\) 有专有名词 \(\Phi\) factor through \(N\) 以描述之，本质上是 \(\Phi=\varphi\circ\pi\)。
有 \(G/\ker\Phi\cong\Im\Phi\)，\((G/N)/\ker\varphi\cong\Im\varphi\cong\Im\Phi\)。那么，对于这样的场合，有 \((G/N)/\ker\varphi\cong G/\ker\Phi\)。\(G/N\) 其实是 \(G/\ker\pi\)，其实是因为 \(\Phi=\varphi\circ\pi\)，所以 \((G/\ker\pi)/\ker\varphi\cong G/\ker\Phi\)。
II.子群积
两个或多个结构的积 \(\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n\)，其中每个 \(\alpha_i\) 都可以是元素或子集或子群，被定义为其中每个结构中取出一个元素，然后按顺序相乘，得到的新集合。这种运算被本人称作子群积。
子群积是群中元素乘法的直接扩展。首先我们希望考虑那些二元子群积，双方都是群的场合。
这引发一种思维方式，就是把其中一个群展开，把它看成另一个群的若干陪集的并集。这种思维方式给出的首个推论就是 \(|HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}\)：把 \(HK\) 看成 \(\bigcup hK\)，如果 \(h_1^{-1}h_2\in K\) 则有 \(h_1^{-1}h_2\in H\cap K\)；反之，每个 \(H\cap K\) 的元素都可以和 \(h_1\) 互动出 \(h_2\)，也即这其实有一个 idea 是 \(hK\) 将 \(H\) 按照 \(H\cap K\) 的陪集划分等价类，每个等价类对应 \(HK\) 中一个 \(K\) 的陪集。这实际上是建立了 \(H\cap K\) 在 \(H\) 上的陪集分解，与 \(K\) 在 \(HK\) 上的陪集分解间的一一对应。如果刚好，两个分解都是商群，也即刚好有 \((H\cap K)\unlhd H,K\unlhd HK\)，那么这就是第二同构定理，\(H/(H\cap K)\cong HK/K\)。
所以我们要研究什么情况下有 \(K\unlhd HK\)。按照一个左陪集等于右陪集的朴素思想，我们其实是希望有 \(hK=Kh\)，也即 \(H\leq N_G(K)\) 的。事实上，如果满足该条件，则确实有 \((H\cap K)\unlhd H,K\unlhd HK\)：这就是第二同构定理的标准表述。
第二同构定理一个实用的场合是 \(HK=G,H\cap K=1\)，此时 \(H,K\) 被称作互为 complement。这时上述定理退化成 \(G/K\cong H\)，前提要有一个 \(K\unlhd G\)。这个场合下，成立半直积。这是一种常用的由正规子群 classify 母群的方法，其中正规子群 \(K\) 常常由 Sylow 定理得出。然后，只要存在任何一个阶为 \(\dfrac{|G|}{|K|}\) 的子群 \(H\)，则因为 \(\gcd(|H|,|K|)=1\) 知 \(|H\cap K|=1\)，然后知 \(G=HK\)；这个子群 \(H\) 常常亦由 Sylow 定理得到。
现在我们回过头来研究何时有 \(HK\) 是群。当且仅当 \(HK=KH\)。
- 我暂时想不到这个定理有什么与上述分析接轨的解释方法。或许是因为，当 \(HK=KH\) 时，\(H\cap K\) 的左右陪集都是同一组东西的划分（虽然未必是同一组划分）
正规子群与任何子群的子群积均为子群。正规子群与正规子群的子群积为正规子群。
这两个定理的本质是第四同态定理的体现（可能需要第二同态架桥）。第四同态定理说明，包含正规子群的子群与正规子群对应商群的子群间存在对应关系。正规子群与子群的积是一个包含正规子群的子群，其对应着商群的子群；与正规子群的积对应着商群的正规子群。
同时，正规子群与无交子群的子群积其实是一个内半直积，与无交正规子群的子群积是一个内直积。
还剩第三同构。第三同构将商群的商群与母群的商群作了对应。（而第四同构则是将商群的子群与母群的子群作了对应）
III.群作用
群作用与 \(G\to S_A\) 的同态（这被称作群作用的 permutation representation）存在双射。
群在集合上的作用有两个重点，是轨道和稳定子。轨道构成 \(A\) 的一组划分，稳定子则是对 \(A\) 中每个元素 \(a\)，令 \(G_a=\{g\mid g\cdot a=a\}\)。
轨道-稳定子定理说明，对于每个 \(a\)，其所在轨道的大小，乘以其对应稳定子的阶，等于 \(G\) 的阶。这其实本质上是，稳定子的每个左陪集对应了映到轨道中每个元素的所有 \(g\)。
Faithful 的群作用的 kernel 只有 \(1\)。Transitive 的群作用 Orbit 唯一。
群在集合上的作用，讲究没那么多，还只要求 \(g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1g_2)\cdot a\)。群在群上的作用，如果确实要应用到群的相关性质而不是直接把群当集合使，就比较讲究了，还要求 \((g\cdot a_1)(g\cdot a_2)=g\cdot(a_1a_2)\)。这实际上是表明，\(g\) 不能仅仅映到 \(S_A\) 里的随便一个什么东西，事实上应该映射到 \(\Aut(A)\) 里的东西。一个典型的满足此种条件的，就是群在自身的共轭操作：共轭操作对应于 \(\Aut(G)\) 的一个子群，即内自同构群 \(\Inn(G)\)。
所有的 conjugacy 构成自同构群的子群；任何 \(g\) 都可以对应正规子群 \(H\) 的自同构群，也即存在 \(G\to\Aut(H)\) 的单同态，该同态的 \(\ker\) 是 \(C_G(H)\)，也即 \(G/C_G(H)\) 同构于自同构群的子群。如果 \(H\) 任意，有 \(N_G(H)/C_G(H)\) 同构于子群；其一个特例就是 \(G/Z(G)\cong\Inn(G)\)。
到自身的群操作仅仅是到任何群的群操作的一个特例。如果 \(K\to\Aut(H)\)，则 \((h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1\cdot h_2),k_1k_2)\) 即定义了半直积 \(H\rtimes K\)。
在结合两个群 \(G,H\) 中元素时，直接将它们“乘”在一起，并希望得到的新群里老群的性质被保留，那么其中的元素必然是 \(g_1h_1g_2h_2\dots\) 或者 \(h_1g_1\dots\)：相邻的同群元素可以合并。
直积认为，\(G\) 中元素和 \(H\) 中元素总是可以交换，那么上述一大坨可以总而言之被简化成为 \(gh\)。半直积如同 Dihedral 群，虽然不能直接交换 \(r,s\)，但是把 \(r\) 从 \(s\) 的一边扔到另一边还是可行的。Dihedral 群其实是一个 \(Z_n\rtimes Z_2\) 的群。
同理，\((h_1,k_1)\) 也可以尝试把 \(h\)“扔过去”，变成 \((h_1,1)(1,k_1)=(1,k_1)(k_1^{-1}\cdot h_1,1)\)。
如下性质彼此等价：
- \(H\times K\cong H\rtimes K\)。
- \(K\unlhd G\)。
- \(K\to\Aut(H)\) 的映射是 trivial homomorphism。
IV. Cayley 定理
left regular representation：\(g\cdot h=gh\) 是一个群所对应的最本质的群作用：其同时是 transitive 和 faithful 的，也揭示了 Cayley 定理。同理也有 \(g\cdot aH=gaH\) 的扩展，其 kernel 是全体 \(H\) conjugate 的交集：\(aH\) 的 stabilizer 是 \(H\) 的 \(a\)-conjugate。这个全体 \(H\) conjucate 的交集，正是 \(H\) 包含的最大正规子群。
Cayley 定理是一种证明某些与 \(2\) 有关的问题的方法，比如说证明 \(2n\)（\(n\) 是奇数）阶群的 \(n\) 阶子群的存在性，可以用 \(2\) 阶元在 Cayley 定理的像里是奇排列，知全体偶排列的原像是 \(n\) 阶子群。【这是因为，任意 permutation group 总是可以通过取出其中所有 even permutation 的子群，来让大小减半。】
left-reg-rep over \(H\) 是一种判定正规性的方法，因为其对应的 perm-rep \(\pi_H\) 的 \(\ker\) 是其包含的最大正规子群。
注意，这里的 \(\pi_H\)，就算 \(H\) 是正规子群，也与 natural homomorphism \(\pi:G\to G/H\) 不同。
lrr 是群的另一种描述，而 lrr over cosets 是陪集的另一种描述；正规子群的场合，其也是商群的另一种描述。lrr 本身提供了另一种思路看群的方法。如果涉及的元素与阶、指数等相关，且涉及的结构很少，那么从群作用的角度分析问题也不失为一种佳策。
共轭类和对应的群方程。群方程其实是 \(|S|=|\text{Fix}|+\sum|\text{non-trivial orbits}|\) 的特例，其中 \(\text{Fix}\) 是在一切 \(g\) 下不变的不动点。但是这个定理其实并不是很有用（倒是可以拿来推 Burnside）。
不过，群方程定理最有用的一点，还是在处理某些模意义之类的问题。诸如广义 Cauchy 定理就可以用群方程证。
\(S_n\) 的共轭类是全体同环长划分集合；但是其子群（例如 \(A_n\)）不是，因为两个等环排列可能需要子群外元素才能互相达到。
\(A_5\) 的单性证明：运用正规子群是若干共轭类拼接的定理。
V. Sylow
第一定理：存在 Sylow \(p\)-子群。
第二定理：所有的 Sylow \(p\)-子群彼此共轭；小 \(p\)-子群嵌在大 \(p\)-子群内部。
第三定理：\(n_p\equiv1\pmod p\)，且 \(n_p=|G:N_G(P)|\)。
Sylow \(p\)-子群，唯一、正规、characteristic、仅由 \(p\) 幂次阶元生成的群都是 \(p\)-群，这四件事等价。
VI.各种列
“某某 series”，是一种较为本质的描述某个群性质的东西。
composition series 对于每个群都唯一存在，其中每一项的商群（唤作 composition factor）都是单群。每个群的不同 series 间，存在 rearrange 后商群 factor 同态的方案（Jordan-Holder）
Solvable group 也有对应的群列，每一项商群都是 Abelian。有 Phillip-Hall 定理，可解群当且仅当满足 Sylow 定理的扩展，对于每个 \(n=pq,\gcd(p,q)=1\)，都存在阶为 \(p\) 的子群。
有限生成 Abelian 群可以写成 \(\Z^r\times\prod\limits_{i=1}^sZ_{n_i}\)，其中 \(r\) 被称作 free rank 或 Betti number，\(n_i\) 被称作 invariant factor，这种表达方式被称作 invariant factor decomposition，是唯一的。
\(Z_{n_i}\) 可以被进一步按照不同质数的幂次拆开来，每一项 \(p^{\beta_i}\) 被称作 elementary divisor，此种方式被称作 elementary divisor decomposition。
VII.换位子
\([x,y]=x^{-1}y^{-1}xy\)，满足 \(xy=yx[x,y]\)。
换位子群是一切满足 \(G/N\) 是 Abelian 群的 \(N\) 的子群。也即，任何 \(G\to A\)，其中 \(A\) 是 Abelian 群，都 factor throughs \([G,G]\)。
换位子群必是特征子群。
INF.杂项
正规性证明：
- 正规子群须有 \(\ker\pi_H=H\)，其中 \(\pi_H\) 是 left regular representation of cosets of \(H\)。
- 正规子群是共轭类的拼接。
- unique subgroup of some order 必是正规子群。
- 正规子群当且仅当 \([H,G]\leq H\)。
同态证明：
- 最泛用：第一同态。
- 与子群积相关：第二同态。
- 与商群的商群有关：第三同态。
- ？：第四同态。
