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$\newcommand{\Aut}{\text{Aut}} \newcommand{\Inn}{\text{Inn}}$

I.商群与同态与等价类

我们把 $a^{-1}b\in H$ 的 $a,b$ 看作属于同一个等价类。每个等价类中元素数目相同，左陪集是一组等价类划分。

左陪集其实对应着左逆元：同一个左陪集中的所有元素，彼此可以互相看作左逆元。同理，同一个右陪集中的元素互为右逆元。只有当左右逆元相等，才是群。

商群揭示了一种等价关系，这种等价关系之间有着额外的像群一样的互动。同理，同态也是一种等价关系：不同的元素映到相同的像，这划分成为众多等价类，同样有似群的互动。第一同态定理揭示了二者的联系，即商群与满同态之间本质的等价性。

子群是“完整”地截去群一部分信息的方法，就像比例尺很高但范围小的地图；商群反之，则是比例尺很小的缩略图。

从商群到其它群的同态。商群中每个元素 $gN$ ，可以由其中所有代表元描述；因此，商群到其它群的同态 $\varphi$ ，其实本质还是母群到其它群的同态 $\Phi$ ，只不过这个同态要满足对于同一个商群的所有代表元，被映到相同的像罢了。事实上也就是 $N\leq\ker\Phi$ 。满足该条件的 $N,\Phi$ 有专有名词 $\Phi$ factor through $N$ 以描述之，本质上是 $\Phi=\varphi\circ\pi$ 。

有 $G/\ker\Phi\cong\Im\Phi$ ， $(G/N)/\ker\varphi\cong\Im\varphi\cong\Im\Phi$ 。那么，对于这样的场合，有 $(G/N)/\ker\varphi\cong G/\ker\Phi$ 。 $G/N$ 其实是 $G/\ker\pi$ ，其实是因为 $\Phi=\varphi\circ\pi$ ，所以 $(G/\ker\pi)/\ker\varphi\cong G/\ker\Phi$ 。

II.子群积

两个或多个结构的积 $\alpha_1\alpha_2\dots\alpha_n$ ，其中每个 $\alpha_i$ 都可以是元素或子集或子群，被定义为其中每个结构中取出一个元素，然后按顺序相乘，得到的新集合。这种运算被本人称作子群积。

子群积是群中元素乘法的直接扩展。首先我们希望考虑那些二元子群积，双方都是群的场合。

这引发一种思维方式，就是把其中一个群展开，把它看成另一个群的若干陪集的并集。这种思维方式给出的首个推论就是 $|HK|=\dfrac{|H||K|}{|H\cap K|}$ ：把 $HK$ 看成 $\bigcup hK$ ，如果 $h_1^{-1}h_2\in K$ 则有 $h_1^{-1}h_2\in H\cap K$ ；反之，每个 $H\cap K$ 的元素都可以和 $h_1$ 互动出 $h_2$ ，也即这其实有一个 idea 是 $hK$ 将 $H$ 按照 $H\cap K$ 的陪集划分等价类，每个等价类对应 $HK$ 中一个 $K$ 的陪集。这实际上是建立了 $H\cap K$ 在 $H$ 上的陪集分解，与 $K$ 在 $HK$ 上的陪集分解间的一一对应。如果刚好，两个分解都是商群，也即刚好有 $(H\cap K)\unlhd H,K\unlhd HK$ ，那么这就是第二同构定理， $H/(H\cap K)\cong HK/K$ 。

所以我们要研究什么情况下有 $K\unlhd HK$ 。按照一个左陪集等于右陪集的朴素思想，我们其实是希望有 $hK=Kh$ ，也即 $H\leq N_G(K)$ 的。事实上，如果满足该条件，则确实有 $(H\cap K)\unlhd H,K\unlhd HK$ ：这就是第二同构定理的标准表述。

第二同构定理一个实用的场合是 $HK=G,H\cap K=1$ ，此时 $H,K$ 被称作互为 complement。这时上述定理退化成 $G/K\cong H$ ，前提要有一个 $K\unlhd G$ 。这个场合下，成立半直积。这是一种常用的由正规子群 classify 母群的方法，其中正规子群 $K$ 常常由 Sylow 定理得出。然后，只要存在任何一个阶为 $\dfrac{|G|}{|K|}$ 的子群 $H$ ，则因为 $\gcd(|H|,|K|)=1$ 知 $|H\cap K|=1$ ，然后知 $G=HK$ ；这个子群 $H$ 常常亦由 Sylow 定理得到。

现在我们回过头来研究何时有 $HK$ 是群。当且仅当 $HK=KH$ 。

我暂时想不到这个定理有什么与上述分析接轨的解释方法。或许是因为，当 $HK=KH$ 时， $H\cap K$ 的左右陪集都是同一组东西的划分（虽然未必是同一组划分）

正规子群与任何子群的子群积均为子群。正规子群与正规子群的子群积为正规子群。

这两个定理的本质是第四同态定理的体现（可能需要第二同态架桥）。第四同态定理说明，包含正规子群的子群与正规子群对应商群的子群间存在对应关系。正规子群与子群的积是一个包含正规子群的子群，其对应着商群的子群；与正规子群的积对应着商群的正规子群。

同时，正规子群与无交子群的子群积其实是一个内半直积，与无交正规子群的子群积是一个内直积。

还剩第三同构。第三同构将商群的商群与母群的商群作了对应。（而第四同构则是将商群的子群与母群的子群作了对应）

III.群作用

群作用与 $G\to S_A$ 的同态（这被称作群作用的 permutation representation）存在双射。

群在集合上的作用有两个重点，是轨道和稳定子。轨道构成 $A$ 的一组划分，稳定子则是对 $A$ 中每个元素 $a$ ，令 $G_a=\{g\mid g\cdot a=a\}$ 。

轨道-稳定子定理说明，对于每个 $a$ ，其所在轨道的大小，乘以其对应稳定子的阶，等于 $G$ 的阶。这其实本质上是，稳定子的每个左陪集对应了映到轨道中每个元素的所有 $g$ 。

Faithful 的群作用的 kernel 只有 $1$ 。Transitive 的群作用 Orbit 唯一。

群在集合上的作用，讲究没那么多，还只要求 $g_1\cdot(g_2\cdot a)=(g_1g_2)\cdot a$ 。群在群上的作用，如果确实要应用到群的相关性质而不是直接把群当集合使，就比较讲究了，还要求 $(g\cdot a_1)(g\cdot a_2)=g\cdot(a_1a_2)$ 。这实际上是表明， $g$ 不能仅仅映到 $S_A$ 里的随便一个什么东西，事实上应该映射到 $\Aut(A)$ 里的东西。一个典型的满足此种条件的，就是群在自身的共轭操作：共轭操作对应于 $\Aut(G)$ 的一个子群，即内自同构群 $\Inn(G)$ 。

所有的 conjugacy 构成自同构群的子群；任何 $g$ 都可以对应正规子群 $H$ 的自同构群，也即存在 $G\to\Aut(H)$ 的单同态，该同态的 $\ker$ 是 $C_G(H)$ ，也即 $G/C_G(H)$ 同构于自同构群的子群。如果 $H$ 任意，有 $N_G(H)/C_G(H)$ 同构于子群；其一个特例就是 $G/Z(G)\cong\Inn(G)$ 。

到自身的群操作仅仅是到任何群的群操作的一个特例。如果 $K\to\Aut(H)$ ，则 $(h_1,k_1)(h_2,k_2)=(h_1(k_1\cdot h_2),k_1k_2)$ 即定义了半直积 $H\rtimes K$ 。

在结合两个群 $G,H$ 中元素时，直接将它们“乘”在一起，并希望得到的新群里老群的性质被保留，那么其中的元素必然是 $g_1h_1g_2h_2\dots$ 或者 $h_1g_1\dots$ ：相邻的同群元素可以合并。

直积认为， $G$ 中元素和 $H$ 中元素总是可以交换，那么上述一大坨可以总而言之被简化成为 $gh$ 。半直积如同 Dihedral 群，虽然不能直接交换 $r,s$ ，但是把 $r$ 从 $s$ 的一边扔到另一边还是可行的。Dihedral 群其实是一个 $Z_n\rtimes Z_2$ 的群。

同理， $(h_1,k_1)$ 也可以尝试把 $h$ “扔过去”，变成 $(h_1,1)(1,k_1)=(1,k_1)(k_1^{-1}\cdot h_1,1)$ 。

如下性质彼此等价：

$H\times K\cong H\rtimes K$ 。
$K\unlhd G$ 。
$K\to\Aut(H)$ 的映射是 trivial homomorphism。

IV. Cayley 定理

left regular representation： $g\cdot h=gh$ 是一个群所对应的最本质的群作用：其同时是 transitive 和 faithful 的，也揭示了 Cayley 定理。同理也有 $g\cdot aH=gaH$ 的扩展，其 kernel 是全体 $H$ conjugate 的交集： $aH$ 的 stabilizer 是 $H$ 的 $a$ -conjugate。这个全体 $H$ conjucate 的交集，正是 $H$ 包含的最大正规子群。

Cayley 定理是一种证明某些与 $2$ 有关的问题的方法，比如说证明 $2n$ （ $n$ 是奇数）阶群的 $n$ 阶子群的存在性，可以用 $2$ 阶元在 Cayley 定理的像里是奇排列，知全体偶排列的原像是 $n$ 阶子群。【这是因为，任意 permutation group 总是可以通过取出其中所有 even permutation 的子群，来让大小减半。】

left-reg-rep over $H$ 是一种判定正规性的方法，因为其对应的 perm-rep $\pi_H$ 的 $\ker$ 是其包含的最大正规子群。

注意，这里的 $\pi_H$ ，就算 $H$ 是正规子群，也与 natural homomorphism $\pi:G\to G/H$ 不同。

lrr 是群的另一种描述，而 lrr over cosets 是陪集的另一种描述；正规子群的场合，其也是商群的另一种描述。lrr 本身提供了另一种思路看群的方法。如果涉及的元素与阶、指数等相关，且涉及的结构很少，那么从群作用的角度分析问题也不失为一种佳策。

共轭类和对应的群方程。群方程其实是 $|S|=|\text{Fix}|+\sum|\text{non-trivial orbits}|$ 的特例，其中 $\text{Fix}$ 是在一切 $g$ 下不变的不动点。但是这个定理其实并不是很有用（倒是可以拿来推 Burnside）。

不过，群方程定理最有用的一点，还是在处理某些模意义之类的问题。诸如广义 Cauchy 定理就可以用群方程证。

$S_n$ 的共轭类是全体同环长划分集合；但是其子群（例如 $A_n$ ）不是，因为两个等环排列可能需要子群外元素才能互相达到。

$A_5$ 的单性证明：运用正规子群是若干共轭类拼接的定理。

V. Sylow

第一定理：存在 Sylow $p$ -子群。

第二定理：所有的 Sylow $p$ -子群彼此共轭；小 $p$ -子群嵌在大 $p$ -子群内部。

第三定理： $n_p\equiv1\pmod p$ ，且 $n_p=|G:N_G(P)|$ 。

Sylow $p$ -子群，唯一、正规、characteristic、仅由 $p$ 幂次阶元生成的群都是 $p$ -群，这四件事等价。

VI.各种列

“某某 series”，是一种较为本质的描述某个群性质的东西。

composition series 对于每个群都唯一存在，其中每一项的商群（唤作 composition factor）都是单群。每个群的不同 series 间，存在 rearrange 后商群 factor 同态的方案（Jordan-Holder）

Solvable group 也有对应的群列，每一项商群都是 Abelian。有 Phillip-Hall 定理，可解群当且仅当满足 Sylow 定理的扩展，对于每个 $n=pq,\gcd(p,q)=1$ ，都存在阶为 $p$ 的子群。

有限生成 Abelian 群可以写成 $\Z^r\times\prod\limits_{i=1}^sZ_{n_i}$ ，其中 $r$ 被称作 free rank 或 Betti number， $n_i$ 被称作 invariant factor，这种表达方式被称作 invariant factor decomposition，是唯一的。

$Z_{n_i}$ 可以被进一步按照不同质数的幂次拆开来，每一项 $p^{\beta_i}$ 被称作 elementary divisor，此种方式被称作 elementary divisor decomposition。

VII.换位子

$[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ ，满足 $xy=yx[x,y]$ 。

换位子群是一切满足 $G/N$ 是 Abelian 群的 $N$ 的子群。也即，任何 $G\to A$ ，其中 $A$ 是 Abelian 群，都 factor throughs $[G,G]$ 。

换位子群必是特征子群。

INF.杂项

正规性证明：

正规子群须有 $\ker\pi_H=H$ ，其中 $\pi_H$ 是 left regular representation of cosets of $H$ 。
正规子群是共轭类的拼接。
unique subgroup of some order 必是正规子群。
正规子群当且仅当 $[H,G]\leq H$ 。