集英社-富硒土壤对茶叶品质影响 调查报告

谨以此文，悼念我炸裂的计应数期中考试。下次不仅要带一个脑子做题，还得带一个脑子盯着它做题，不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何，如果太贵还得卖点东西凑一凑。

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简介：你说的对，但是「集英社」是「茶园」自主研发的一款全新开放问题探究项目。课题发生在一个被称作「六教-A016」的演播教室，在这里，被姚选中的人将被授予「指数级别作业」，导引「复分析」之力。你将扮演一位名为「学生」的神秘角色，在自由的「授课」中邂逅参数各异、能力独特的「公式」们，用它们一起研究开放问题，找回失散的大脑——同时，逐步发掘「挂科」的真相。

Section 1.课堂内容总结

Week 1.

Probability Space \(P=(U,p)\) 是用来描述随机事件的工具，其中 \(U\) 被称作 universe，\(p\) 是 probability function。

event 是 \(U\) 的一个子集。

Union Bound Formula：令事件 \(T,T_1,\dots\)，且 \(T\sube\bigcup T_i\)，则 \(\Pr(T)\leq\sum\Pr(T_i)\)；如果 \(T_i\) 构成 \(T\) 的一组划分，则有 \(\Pr(T)=\sum\Pr(T_i)\)。

Conditional Probability \(\Pr(S|T)=\dfrac{\Pr(S\cap T)}{\Pr(T)}\)。特别地，如果 \(\Pr(T)=0\) 那么条件概率为零。

Chain Law of Conditional Probability \(\Pr(S_1\cap S_2\cap\dots)=\prod\Pr(S_i\mid S_1\cap S_2\cap\dots\cap S_{i-1})\)。

Law of total probability：如果 \(T\sube\bigcup T_i\)，则 \(\Pr(T)\leq\sum\Pr(T_i)\Pr(T|T_i)\)。如果 \(T_i\) 不交则取等号。

常用的处理 \(\prod(1+x)\)，其中 \(x\) 接近 \(0\) 的方法是，放缩为 \(\prod e^x\)。

Week 2.

Random Variable \(X\) 是 \(U\to\R\) 的映射。event 可以被看作是 \(U\to\{0,1\}\) 的一种特殊概率。期望是概率与权值之积的和。

Law of Linear Expectation。概率具有线性性，就算不同事件间彼此并非独立。

Distributive Law for Expectation：若 \(T_i\) 构成 \(U\) 的划分，则 \(E(X)=\sum\Pr(W_i)E(X|W_i)\)。

Markov's Inequality：对于定义在非负集合 \(U\) 上的随机变量 \(X\)，\(\Pr(X>cE(X))<\dfrac1c\)。

Chebyshev's Inequality：\(\Pr(|X-E(X)|>c\sigma(X))<\dfrac1{c^2}\)。或者，\(\Pr(|X-E(X)|>c)<\dfrac{V(X)}{c^2}\)。

Chernoff Bound：对于独立的掷硬币实验 \(X_1,\dots,X_n\)，第 \(i\) 次以 \(b_i\) 的概率取 \(1\)，\(1-b_i\) 取 \(0\)，则 \(\Pr(X\geq(1+\delta)\mu)\leq\left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}}\right)^\mu\)。\(\Pr(X\leq(1-\delta)\mu)\leq\left(\dfrac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{1-\delta}}\right)^\mu\)。同时有推论：\(\Pr(X\geq(1+\delta)\mu)\leq e^{-1/3\delta^2\mu}\)，\(\Pr(X\leq(1-\delta)\mu)\leq e^{-1/2\delta^2\mu}\)。

Chernoff Bound 仅适用于重复抛硬币问题，但并非所有问题都能通过重复抛硬币描述。在更广泛的场合，我们有如下的：

Hoeffding's Inequality：对于 \(X_i\in(a,b)\)，有 \(\Pr(|\sum X_i-E(X_i)|\geq t)\leq2\exp(\dfrac{-2t^2}{n(b-a)^2})\)。在其不同分布时，也有 \(\Pr(|\sum X_i-E(X_i)|\geq t)\leq2\exp(\dfrac{-2t^2}{\sum(b_i-a_i)^2})\)。事实上，如果把内层的绝对值撤掉，那么右侧外部的 \(2\) 亦可撤掉。

Week 3.

要证明一个东西的级别，一个通用的想法是，用 Union Bound 证下界，用 Chebyshev's Inequality 证上界。但是 Chebyshev 需要算方差。

例如，Ramsay Number 枚举所有的 \(K\)-子集并计算其成团/独立集概率并求和，当 \(n\) 充分小时求和得到的值小于 \(1\)，因此必然存在所有子集均不合法的概率。同理，随机图最大团的下界也是用 Union Bound 证。随机图最大团贪心算法的下界同理。

上界的话，Ramsay Number 是证了递推关系 \(R(s,t)\leq R(s-1,t)+R(s,t-1)\)，而随机图最大团则是 Chebyshev's Inequality，但是 Variance 很难证（也没办法）。随机图最大团贪心算法也是。

Randomized BSA：\(i\) 要送到 \(v_i\)。算法是随机一组 \(\sigma(i)\)，先送到 \(\sigma\) 再送到 \(v\)。每步以 \(1-o(1)\) 的概率在 \(6n\) 内达成。

Week 4.

• Cauchy-Goursat 基本定理：若 \(f(z)\) 在简单闭曲线 \(C\) 及其围成区域内处处解析，那么 \(f(z)\) 沿 \(C\) 积分为零，也即 \(\oint_Cf(z)\d z=0\)。【注意：要求是简单、且自身及围成的区域处处解析）

• 直接推论：单连通域内处处解析函数沿任意简单闭曲线积分为零。

• 进一步推广至多连通域，得到 复合闭路定理：令 \(C\) 是多联通域 \(D\) 中简单闭曲线，\(C_1,\dots,C_k\) 是 \(C\) 内部两两不交、不互相包含的曲线集合，且有 \(C,C_1,\dots,C_k\) 所夹区域被完全包含于多连通域内（也即，\(C_1,\dots,C_k\) 从多连通域内“挖掉”了若干不属于多连通域的部分），则对于在 \(D\) 中解析的 \(f\)，那么：

  • \(\oint_Cf(z)\d z=\sum\oint_{C_i}f(z)\d z\)，其中所有曲线均取（自然）正向。
  • \(\oint_\Gamma f(z)\d z=0\)，其中 \(\Gamma\) 指取正向的 \(C\) 和取负向的 \(C_1,\dots,C_k\)。

• 同时又有推论 闭路变形原理：解析函数沿闭曲线积分不因闭曲线的连续变形而改变值，只要闭曲线的变形不经过奇点。

• \(\dfrac{f(z)}{z-z_0}\) 在 \(z_0\) 可能不解析；但是可以通过不断向 \(z_0\) 缩小，让 \(f(z)\) 的值逐渐接近 \(f(z_0)\)，\(\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z\) 接近 \(\oint_C\dfrac{f(z_0)}{z-z_0}\d z\)；后者因为 \(\oint_C\dfrac1{z-z_0}\d z\) 可以连续变形为套着 \(z_0\) 的圆，而这个圆上 \(\dfrac1{z-z_0}\) 的积分前面提到过是 \(2\pi\i\)，因此这个值有接近 \(f(z_0)2\pi\i\) 的期望。

• 事实上，有 Cauchy 积分公式：在区域 \(D\) 内处处解析的 \(f\)，内部完全含于 \(D\) 的 \(C\)，\(C\) 内部任一点 \(z_0\)，有 \(f(z_0)=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z\)。通过 \(\epsilon-\delta\) 语言可证得。

• 取 \(C\) 为套着 \(z_0\) 的圆周，得到 \(f(z_0)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\pi})\d\theta\)，也即，解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均。

• 解析函数的导数仍为解析函数，事实上解析函数 \(\in\scr C^\infty\)，且 \(f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\d\xi\)（高阶导数公式），其中 \(C\) 是任一环绕 \(z\) 的正向简单闭曲线，其内部全含于 \(D\)。证明就靠嗯归纳。Cauchy 积分公式是高阶导数公式 \(n=0\) 时的特例。

• 虽然其是通过积分来表示导数，不过最常见的应用还是通过高阶导数来算环路积分。

• Cauchy 不等式：\(|f^{(n)}(z_0)|\leq\dfrac{n!M(R)}{R^n}\)，其中 \(M(R)\) 是以 \(z_0\) 为圆心的 \(R\)-圆周上 \(|f(z)|\) 的 \(\max\)。

• 解析函数的 Laurent 展开定理：设 \(f(z)\) 在圆环域 \(R_1<|z-z_0|<R_1\) 内解析，则在圆环域内 \(f\) 必可以唯一展成双边幂级数 \(f(z)=\sum c_n(z-z_0)^n\)，其中 \(c_n=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\d\xi\)，其中 \(C\) 是环绕 \(z_0\) 的任一正向简单闭曲线。这个双边幂级数被称作 Laurent 级数，正幂项部分被称作 解析部分，负幂项部分被称作 主要部分。

• 称 \(z_0\) 是一个 极点 pole，如果其主要部分有有限项；其主要部分的最高（？）项次数如果是 \(-n\)，则称其是一个 \(n\) 阶奇点，或者是 a pole of order n。其主要部分中负一次项系数被称作 留数 residue。

• \(n\) 阶零点，如果其解析，并且可以写成 \((z-z_0)^m\varphi(z)\)，且 \(\varphi(z_0)\neq0\)。

• \(f\) 有 \(n\) 阶极点是 \(\dfrac1f\) 有 \(n\) 阶零点的充要条件。

• 留数定理：对于 \(m\) 阶极点 \(z_0\)，\(\text{Res}(f,z_0)=\dfrac1{(m-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{\d^{m-1}}{\d z^{m-1}}((z-z_0)^mf(z))\)。

• 无穷远处留数的定义是 \(\dfrac1{2\pi i}\int_{C^-}f(z)\d z\)，其中 \(C^-\) 是绕原点负向，即为绕无穷远正向。此时，得到结论：如果包含无穷远极点在内仅有有限个极点，且极点都是孤立极点，那么所有留数和为零。

• \(\text{Res}(f,\infty)=-\text{Res}(f(z^{-1})z^{-2},0)\)。算内极点的留数可以转为算外极点的留数。

矩阵树定理。证明可以使用 Cauchy-Binet，也可以容斥，即钦定根后随机选邻边为父亲然后容斥环。

另有 \(\#SP=\dfrac1n\lambda_2\dots\lambda_n\)，其中 \(\lambda_1=0\)。这是因为，\(\prod(\lambda-\lambda_i)=\det(\lambda I-L_G)'=(-1)^{n-1}\sum\det\left(L_G^{(i)}(\lambda)\right)\)。代入 \(\lambda=0\)，得到 \((-1)^{n-1}\prod\lambda_i=(-1)^{n-1}n\#SP\).

Week 5.

FKT 算法。

对于反对称矩阵，定义 \(\text{Pf}=\sum\limits_\sigma\text{sgn}(\sigma)\prod A_{\sigma_{2i-1},\sigma_{2i}}\)。

考虑任两个 Pfaffian 中元素 \(M_1,M_2\)，其中的边拼起来拼成一组排列的 cycle 形式。因此 \(\det=\text{Pf}^2\)。

Pfaffian 中元素如果被恰当定向，使得所有的完美匹配的 \(\text{sgn}\) 都同号，则直接对行列式开根即得 Pfaffian 的绝对值，也即完美匹配数目。使得每个面上顺时针边数目都是偶数即可。

算法是随机生成树并定向，然后定向其它东西。

Pfaffian 除了被用于平面图完美匹配计数，亦可判定任意图是否存在完美匹配（用 Schwartz-Zippel 定理），乃至解决尚无确定性解法的恰出现 \(K\) 条红边的完美匹配计数（引入额外元 \(y\)）

还是记一下 Schwartz-Zippel 定理吧。对于元数任意，但是次数不超过 \(d\) 的多项式，任意在有限集 \(S\) 中赋值并赋到根的概率是 \(d/|S|\)。证明关于元数归纳。

Week 6.

复杂度概念。

L：\(\text{polylog}(n)\) 空间 可解。

PSPACE：\(\text{poly}(n)\) 空间 可解。

EXP：\(2^{\text{poly}(n)}\) 时间 可解。

BPP：以一个恒概率出错（即，原本有解被判无解）。不断重复可以让出错概率趋于零。

\(L\sube P\sube NP\sube PSPACE\sube EXP\)。

NP-Hard：所有 NP 都可以规约到的问题。

NP-Complete：同时是 NP-Hard 和 NP。

如果一个 NPC 问题可以规约到另一个 NP 问题，则该问题亦是 NPC 的。

Section 2.[Wasserman] 书上内容总结

Chapter 1.

两个变量独立有着 \(A\amalg B\) \amalg 的奇怪符号；不独立则有着 \(A\operatorname{一圈奇怪的弹簧符号}B\) 的写法。

Bayes 公式：对于 \(U\) 的划分 \(T\)，\(\Pr(T_i|B)=\dfrac{\Pr(B|T_i)\Pr(T_i)}{\sum\Pr(B|T_j)\Pr(T_j)}\)。其中，分母其实是 \(\Pr(B)\)，分子其实是 \(\Pr(B\cap T_i)\)。

Chapter 2.

对于随机变量 \(X\)，其大写 \(F_X(x)=\Pr(X\leq x)\)，被称作 cumulative distribution function 或者 CDF。其是 \(\R\to[0,1]\) 的函数，不论离散的 \(X\) 还是连续的 \(X\) 都有如此定义。

一切非降、正则（在负无穷处趋于 \(0\)，正无穷处趋于 \(1\)）、右连续的函数都可以是某个随机变量的 CDF。

离散型随机变量是仅能取到可数个取值的随机变量。离散变量可以定义 probability function 或 probability mass function \(f_X=\Pr(X=x)\)。

连续性随机变量是存在全积分为 \(1\) 的函数 \(f_X\) 且满足 \(\Pr(a<X<b)=\int_a^bf_X(x)\d x\) 的随机变量。\(f_X\) 被称作 probability density function，且在所有 \(F_X\) 可微处均有 \(f_X(x)=F'_X(x)\)。

inverse CDF 或者 quantile function \(F^{-1}(q)=\inf\{x:F(x)>q\}\)。如果 \(F\) 单增且连续那么 \(F,F^{-1}\) 互为反函数。可以由此定义各种 first quantile, median, third quantile。

两个 \(F\) 相同的函数被称作 equal in distribution，但并不意味着它们是同一个变量。

marginal mass function 是对二维的 probability mass function 投到一维的结果。同理有 marginal density function。

两个随机变量独立，如果对于一切 \(A,B\)，\(\Pr(X\in A,Y\in B)=\Pr(X\in A)\Pr(Y\in B)\)。

对于连续随机变量，如果 \(f(x,y)=g(x)h(y)\)（\(g,h\) 不一定是 PDF）那么 \(X,Y\) 独立。

条件 PMF \(f_{X|Y}(x|y)=\Pr(X=x|Y=y)\)。同理有条件 PDF \(f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}\)。

称若干随机变量 IID（independend and identically distributed），如果它们独立并且服从于同一组分布 \(F\)，记作 \(x_1,\dots,x_n\sim F\)。

如果对于随机变量 \(X\)，定义比如说 \(Y=r(X)\)，如何计算 \(Y\) 的分布？

求出 \(A_y=\{x|r(x)\leq y\}\)，则 \(F_Y(y)=\int_{A_y}f_X(x)\d x\)。

Chapter 3.

期望。expectation 也被叫做 mean 或者 first moment 一阶矩。

期望的懒惰计算（The Rule of Lazy Statistician）：若 \(Y=r(X)\)，则 \(E(Y)=E(r(X))=\int r(x)\d F_X(x)=\int r(x)f_X(x)\d x\)。

\(K\) 阶矩 Kth moment 为 \(E(X^K)\)。\(K\) 阶矩存在如果该期望对应积分收敛。高阶矩存在则低阶矩必然存在。

期望线性性。如果变量独立则积的期望等于期望的积。

\(V(aX+b)=a^2V(X)\)。独立的 \(X\) 有和的方差等于方差的和。

对于一组随机变量 \(X_1,\dots,X_n\)，定义样本均值 sample mean \(\bar X_n=\dfrac1n\sum X_i\)，样本方差 sample variance \(S_n^2=\dfrac1{n-1}\sum(X_i-\bar X_i)^2\)。

• 为什么是 \(n-1\)？因为 \(\bar X_n\) 提供了一个自由度。

协方差 covariance \(\text{Cov}(X,Y)=E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))\)。相关系数 correlation \(\rho_{X,Y}=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}\)。

\(-1\leq\rho\leq1\)。如果 \(Y=aX+b\)（前提是 \(a\neq0\)），那么当 \(a>0\) 时 \(\rho=1\)，\(a<0\) 时 \(\rho=-1\)。独立变量的协方差与相关系数均为零，但是反之不亦然。

\[V(\sum a_iX_i)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_ia_j\text{Cov}(X_i,X_j) \]

随机向量 \(\begin{bmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{bmatrix}\) 的平均值向量为 \(\mu=\begin{bmatrix}\mu_1\\\vdots\\\mu_n\end{bmatrix}\)。方差-协方差矩阵（variance-covariance matrix）\(\Sigma\) 被定义为 \(V(X)=\begin{bmatrix}V(X_1)&\text{Cov}(X_1,X_2)&\dots\\\text{Cov}(X_2,X_1)&V(X_2)&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}\)。

条件期望 \(E(X|Y=y)\) 是关于 \(y\) 的函数。

The Rule of Iterated Expectations：\(E(E(Y|X))=E(Y),E(E(X|Y))=E(X)\)。事实上，\(E(E(r(X,Y)|X))=E(E(r(X,Y)|Y))=E(r(X,Y))\)。

条件方差 \(V(X|Y=y)\) 亦是关于 \(y\) 的函数。\(V(X|Y=y)=\int(x-\mu(X|Y=y))^2f(x|y)\d x\)。

\(V(Y)=EV(Y|X)+VE(Y|X)\)。

矩量生成函数 Moment Generating Function, MGF，或称为 Laplace 变换 Laplace Transform，满足 \(\psi_X(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}\d F(x)=\int e^{tx}f(x)\d x\)。我们希望，MGF 在 \(0\) 的邻域中有定义。这样，便可得到 \(\psi'(0)=E(X)\)。事实上，\(\psi^{(k)}(0)=E(X^k)\)。

当变量彼此独立时，MGF 的积等于 和 的 MGF。

若 \(Y=aX+b\)，则 \(\psi_Y(t)=e^{bt}\psi_X(at)\)。

如果 \(\psi_X(t)=\psi_Y(t)\) 在 \(0\) 的邻域中相等，则 \(X,Y\) 有相同分布。

特别地，PGF 的一些优秀性质（注意区别 PGF 与 PDF）（注意区分 PGF 与 MGF）：

• \(p(1)=1\)。
• \(p'(1)=E(X)\)。
• \(p''(1)+p'(1)-p'(1)^2=V(X)\)。

Chapter 4.

另一种 Hoeffding's Inequality 的表述：

对于独立随机变量 \(Y_1,\dots,Y_n\)，且每个变量的期望均为 \(0\)，且满足 \(a_i\leq Y\leq b_i\)。令一个 \(\epsilon>0\)，则对于一切 \(t>0\)，都有 \(\Pr(\sum Y_i\geq\epsilon)\leq e^{-t\epsilon}\prod\exp(t^2(b_i-a_i)^2/8)\)。

Mill's Inequality：对于 \(Z\sim N(0,1)\)，则 \(\Pr(|Z|>t)\leq\sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac{e^{-t^2/2}}t\)。

Cauchy-Schwarz Inequality：对于方差有限的变量 \(X,Y\)，\(E|XY|\leq\sqrt{E(X^2)E(Y^2)}\)。

Jensen's Inequality：对于凸的 \(g\)，\(E(g(X))\geq g(E(X))\)。