集英社-富硒土壤对茶叶品质影响 调查报告
谨以此文,悼念我炸裂的计应数期中考试。下次不仅要带一个脑子做题,还得带一个脑子盯着它做题,不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何,如果太贵还得卖点东西凑一凑。
简介:你说的对,但是「集英社」是「茶园」自主研发的一款全新开放问题探究项目。课题发生在一个被称作「六教-A016」的演播教室,在这里,被姚选中的人将被授予「指数级别作业」,导引「复分析」之力。你将扮演一位名为「学生」的神秘角色,在自由的「授课」中邂逅参数各异、能力独特的「公式」们,用它们一起研究开放问题,找回失散的大脑——同时,逐步发掘「挂科」的真相。
Section 1.课堂内容总结
Week 1.
Probability Space
是用来描述随机事件的工具,其中 被称作 universe
, 是 probability function
。
event
是 的一个子集。
Union Bound Formula
:令事件 ,且 ,则 ;如果 构成 的一组划分,则有 。
Conditional Probability
。特别地,如果 那么条件概率为零。
Chain Law of Conditional Probability
。
Law of total probability
:如果 ,则 。如果 不交则取等号。
常用的处理 ,其中 接近 的方法是,放缩为 。
Week 2.
Random Variable
是 的映射。event
可以被看作是 的一种特殊概率。期望是概率与权值之积的和。
Law of Linear Expectation
。概率具有线性性,就算不同事件间彼此并非独立。
Distributive Law for Expectation
:若 构成 的划分,则 。
Markov's Inequality
:对于定义在非负集合 上的随机变量 ,。
Chebyshev's Inequality
:。或者,。
Chernoff Bound
:对于独立的掷硬币实验 ,第 次以 的概率取 , 取 ,则 。。同时有推论:,。
Chernoff Bound 仅适用于重复抛硬币问题,但并非所有问题都能通过重复抛硬币描述。在更广泛的场合,我们有如下的:
Hoeffding's Inequality
:对于 ,有 。在其不同分布时,也有 。事实上,如果把内层的绝对值撤掉,那么右侧外部的 亦可撤掉。
Week 3.
要证明一个东西的级别,一个通用的想法是,用 Union Bound 证下界,用 Chebyshev's Inequality 证上界。但是 Chebyshev 需要算方差。
例如,Ramsay Number 枚举所有的 -子集并计算其成团/独立集概率并求和,当 充分小时求和得到的值小于 ,因此必然存在所有子集均不合法的概率。同理,随机图最大团的下界也是用 Union Bound 证。随机图最大团贪心算法的下界同理。
上界的话,Ramsay Number 是证了递推关系 ,而随机图最大团则是 Chebyshev's Inequality,但是 Variance 很难证(也没办法)。随机图最大团贪心算法也是。
Randomized BSA: 要送到 。算法是随机一组 ,先送到 再送到 。每步以 的概率在 内达成。
Week 4.
-
Cauchy-Goursat 基本定理:若 在简单闭曲线 及其围成区域内处处解析,那么 沿 积分为零,也即 。【注意:要求是简单、且自身及围成的区域处处解析)
-
直接推论:单连通域内处处解析函数沿任意简单闭曲线积分为零。
-
进一步推广至多连通域,得到 复合闭路定理:令 是多联通域 中简单闭曲线, 是 内部两两不交、不互相包含的曲线集合,且有 所夹区域被完全包含于多连通域内(也即, 从多连通域内“挖掉”了若干不属于多连通域的部分),则对于在 中解析的 ,那么:
- ,其中所有曲线均取(自然)正向。
- ,其中 指取正向的 和取负向的 。
-
同时又有推论 闭路变形原理:解析函数沿闭曲线积分不因闭曲线的连续变形而改变值,只要闭曲线的变形不经过奇点。
-
在 可能不解析;但是可以通过不断向 缩小,让 的值逐渐接近 , 接近 ;后者因为 可以连续变形为套着 的圆,而这个圆上 的积分前面提到过是 ,因此这个值有接近 的期望。
-
事实上,有 Cauchy 积分公式:在区域 内处处解析的 ,内部完全含于 的 , 内部任一点 ,有 。通过 语言可证得。
-
取 为套着 的圆周,得到 ,也即,解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均。
-
解析函数的导数仍为解析函数,事实上解析函数 ,且 (高阶导数公式),其中 是任一环绕 的正向简单闭曲线,其内部全含于 。证明就靠嗯归纳。Cauchy 积分公式是高阶导数公式 时的特例。
-
虽然其是通过积分来表示导数,不过最常见的应用还是通过高阶导数来算环路积分。
-
Cauchy 不等式:,其中 是以 为圆心的 -圆周上 的 。
-
解析函数的 Laurent 展开定理:设 在圆环域 内解析,则在圆环域内 必可以唯一展成双边幂级数 ,其中 ,其中 是环绕 的任一正向简单闭曲线。这个双边幂级数被称作 Laurent 级数,正幂项部分被称作 解析部分,负幂项部分被称作 主要部分。
-
称 是一个 极点
pole
,如果其主要部分有有限项;其主要部分的最高(?)项次数如果是 ,则称其是一个 阶奇点,或者是a pole of order n
。其主要部分中负一次项系数被称作 留数residue
。 -
阶零点,如果其解析,并且可以写成 ,且 。
-
有 阶极点是 有 阶零点的充要条件。
-
留数定理:对于 阶极点 ,。
-
无穷远处留数的定义是 ,其中 是绕原点负向,即为绕无穷远正向。此时,得到结论:如果包含无穷远极点在内仅有有限个极点,且极点都是孤立极点,那么所有留数和为零。
-
。算内极点的留数可以转为算外极点的留数。
矩阵树定理。证明可以使用 Cauchy-Binet,也可以容斥,即钦定根后随机选邻边为父亲然后容斥环。
另有 ,其中 。这是因为,。代入 ,得到 .
Week 5.
FKT 算法。
对于反对称矩阵,定义 。
考虑任两个 Pfaffian 中元素 ,其中的边拼起来拼成一组排列的 cycle 形式。因此 。
Pfaffian 中元素如果被恰当定向,使得所有的完美匹配的 都同号,则直接对行列式开根即得 Pfaffian 的绝对值,也即完美匹配数目。使得每个面上顺时针边数目都是偶数即可。
算法是随机生成树并定向,然后定向其它东西。
Pfaffian 除了被用于平面图完美匹配计数,亦可判定任意图是否存在完美匹配(用 Schwartz-Zippel 定理),乃至解决尚无确定性解法的恰出现 条红边的完美匹配计数(引入额外元 )
还是记一下 Schwartz-Zippel 定理吧。对于元数任意,但是次数不超过 的多项式,任意在有限集 中赋值并赋到根的概率是 。证明关于元数归纳。
Week 6.
复杂度概念。
L: 空间 可解。
PSPACE: 空间 可解。
EXP: 时间 可解。
BPP:以一个恒概率出错(即,原本有解被判无解)。不断重复可以让出错概率趋于零。
。
NP-Hard:所有 NP 都可以规约到的问题。
NP-Complete:同时是 NP-Hard 和 NP。
如果一个 NPC 问题可以规约到另一个 NP 问题,则该问题亦是 NPC 的。
Section 2.[Wasserman] 书上内容总结
Chapter 1.
两个变量独立有着 \amalg
的奇怪符号;不独立则有着 的写法。
Bayes
公式:对于 的划分 ,。其中,分母其实是 ,分子其实是 。
Chapter 2.
对于随机变量 ,其大写 ,被称作 cumulative distribution function
或者 CDF
。其是 的函数,不论离散的 还是连续的 都有如此定义。
一切非降、正则(在负无穷处趋于 ,正无穷处趋于 )、右连续的函数都可以是某个随机变量的 CDF
。
离散型随机变量是仅能取到可数个取值的随机变量。离散变量可以定义 probability function
或 probability mass function
。
连续性随机变量是存在全积分为 的函数 且满足 的随机变量。 被称作 probability density function
,且在所有 可微处均有 。
inverse CDF
或者 quantile function
。如果 单增且连续那么 互为反函数。可以由此定义各种 first quantile, median, third quantile
。
两个 相同的函数被称作 equal in distribution
,但并不意味着它们是同一个变量。
marginal mass function
是对二维的 probability mass function
投到一维的结果。同理有 marginal density function
。
两个随机变量独立,如果对于一切 ,。
对于连续随机变量,如果 ( 不一定是 PDF)那么 独立。
条件 PMF
。同理有条件 PDF
。
称若干随机变量 IID
(independend and identically distributed
),如果它们独立并且服从于同一组分布 ,记作 。
如果对于随机变量 ,定义比如说 ,如何计算 的分布?
求出 ,则 。
Chapter 3.
期望。expectation
也被叫做 mean
或者 first moment
一阶矩。
期望的懒惰计算(The Rule of Lazy Statistician
):若 ,则 。
阶矩 Kth moment
为 。 阶矩存在如果该期望对应积分收敛。高阶矩存在则低阶矩必然存在。
期望线性性。如果变量独立则积的期望等于期望的积。
。独立的 有和的方差等于方差的和。
对于一组随机变量 ,定义样本均值 sample mean
,样本方差 sample variance
。
- 为什么是 ?因为 提供了一个自由度。
协方差 covariance
。相关系数 correlation
。
。如果 (前提是 ),那么当 时 , 时 。独立变量的协方差与相关系数均为零,但是反之不亦然。
随机向量 的平均值向量为 。方差-协方差矩阵(variance-covariance matrix
) 被定义为 。
条件期望 是关于 的函数。
The Rule of Iterated Expectations
:。事实上,。
条件方差 亦是关于 的函数。。
。
矩量生成函数 Moment Generating Function, MGF
,或称为 Laplace 变换 Laplace Transform
,满足 。我们希望,MGF 在 的邻域中有定义。这样,便可得到 。事实上,。
当变量彼此独立时,MGF 的积等于 和 的 MGF。
若 ,则 。
如果 在 的邻域中相等,则 有相同分布。
特别地,PGF 的一些优秀性质(注意区别 PGF 与 PDF)(注意区分 PGF 与 MGF):
- 。
- 。
- 。
Chapter 4.
另一种 Hoeffding's Inequality
的表述:
对于独立随机变量 ,且每个变量的期望均为 ,且满足 。令一个 ,则对于一切 ,都有 。
Mill's Inequality
:对于 ,则 。
Cauchy-Schwarz Inequality
:对于方差有限的变量 ,。
Jensen's Inequality
:对于凸的 ,。
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