集英社-富硒土壤对茶叶品质影响 调查报告

谨以此文，悼念我炸裂的计应数期中考试。下次不仅要带一个脑子做题，还得带一个脑子盯着它做题，不然第一个脑子容易跑偏刹不住车。得去黑市看一眼最近脑子市价如何，如果太贵还得卖点东西凑一凑。

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简介：你说的对，但是「集英社」是「茶园」自主研发的一款全新开放问题探究项目。课题发生在一个被称作「六教-A016」的演播教室，在这里，被姚选中的人将被授予「指数级别作业」，导引「复分析」之力。你将扮演一位名为「学生」的神秘角色，在自由的「授课」中邂逅参数各异、能力独特的「公式」们，用它们一起研究开放问题，找回失散的大脑——同时，逐步发掘「挂科」的真相。

Section 1.课堂内容总结

Week 1.

Probability Space $P=(U,p)$ 是用来描述随机事件的工具，其中 $U$ 被称作 universe，$p$ 是 probability function。

event 是 $U$ 的一个子集。

Union Bound Formula：令事件 $T,T_1,\dots$，且 $T\sube\bigcup T_i$，则 $\Pr(T)\leq\sum\Pr(T_i)$；如果 $T_i$ 构成 $T$ 的一组划分，则有 $\Pr(T)=\sum\Pr(T_i)$。

Conditional Probability $\Pr(S|T)=\dfrac{\Pr(S\cap T)}{\Pr(T)}$。特别地，如果 $\Pr(T)=0$ 那么条件概率为零。

Chain Law of Conditional Probability $\Pr(S_1\cap S_2\cap\dots)=\prod\Pr(S_i\mid S_1\cap S_2\cap\dots\cap S_{i-1})$。

Law of total probability：如果 $T\sube\bigcup T_i$，则 $\Pr(T)\leq\sum\Pr(T_i)\Pr(T|T_i)$。如果 $T_i$ 不交则取等号。

常用的处理 $\prod(1+x)$，其中 $x$ 接近 $0$ 的方法是，放缩为 $\prod e^x$。

Week 2.

Random Variable $X$ 是 $U\to\R$ 的映射。event 可以被看作是 $U\to\{0,1\}$ 的一种特殊概率。期望是概率与权值之积的和。

Law of Linear Expectation。概率具有线性性，就算不同事件间彼此并非独立。

Distributive Law for Expectation：若 $T_i$ 构成 $U$ 的划分，则 $E(X)=\sum\Pr(W_i)E(X|W_i)$。

Markov's Inequality：对于定义在非负集合 $U$ 上的随机变量 $X$，$\Pr(X>cE(X))<\dfrac1c$。

Chebyshev's Inequality：$\Pr(|X-E(X)|>c\sigma(X))<\dfrac1{c^2}$。或者，$\Pr(|X-E(X)|>c)<\dfrac{V(X)}{c^2}$。

Chernoff Bound：对于独立的掷硬币实验 $X_1,\dots,X_n$，第 $i$ 次以 $b_i$ 的概率取 $1$，$1-b_i$ 取 $0$，则 $\Pr(X\geq(1+\delta)\mu)\leq\left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}}\right)^\mu$。$\Pr(X\leq(1-\delta)\mu)\leq\left(\dfrac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{1-\delta}}\right)^\mu$。同时有推论：$\Pr(X\geq(1+\delta)\mu)\leq e^{-1/3\delta^2\mu}$，$\Pr(X\leq(1-\delta)\mu)\leq e^{-1/2\delta^2\mu}$。

Chernoff Bound 仅适用于重复抛硬币问题，但并非所有问题都能通过重复抛硬币描述。在更广泛的场合，我们有如下的：

Hoeffding's Inequality：对于 $X_i\in(a,b)$，有 $\Pr(|\sum X_i-E(X_i)|\geq t)\leq2\exp(\dfrac{-2t^2}{n(b-a)^2})$。在其不同分布时，也有 $\Pr(|\sum X_i-E(X_i)|\geq t)\leq2\exp(\dfrac{-2t^2}{\sum(b_i-a_i)^2})$。事实上，如果把内层的绝对值撤掉，那么右侧外部的 $2$ 亦可撤掉。

Week 3.

要证明一个东西的级别，一个通用的想法是，用 Union Bound 证下界，用 Chebyshev's Inequality 证上界。但是 Chebyshev 需要算方差。

例如，Ramsay Number 枚举所有的 $K$-子集并计算其成团/独立集概率并求和，当 $n$ 充分小时求和得到的值小于 $1$，因此必然存在所有子集均不合法的概率。同理，随机图最大团的下界也是用 Union Bound 证。随机图最大团贪心算法的下界同理。

上界的话，Ramsay Number 是证了递推关系 $R(s,t)\leq R(s-1,t)+R(s,t-1)$，而随机图最大团则是 Chebyshev's Inequality，但是 Variance 很难证（也没办法）。随机图最大团贪心算法也是。

Randomized BSA：$i$ 要送到 $v_i$。算法是随机一组 $\sigma(i)$，先送到 $\sigma$ 再送到 $v$。每步以 $1-o(1)$ 的概率在 $6n$ 内达成。

Week 4.

• Cauchy-Goursat 基本定理：若 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 及其围成区域内处处解析，那么 $f(z)$ 沿 $C$ 积分为零，也即 $\oint_Cf(z)\d z=0$。【注意：要求是简单、且自身及围成的区域处处解析）

• 直接推论：单连通域内处处解析函数沿任意简单闭曲线积分为零。

• 进一步推广至多连通域，得到 复合闭路定理：令 $C$ 是多联通域 $D$ 中简单闭曲线，$C_1,\dots,C_k$ 是 $C$ 内部两两不交、不互相包含的曲线集合，且有 $C,C_1,\dots,C_k$ 所夹区域被完全包含于多连通域内（也即，$C_1,\dots,C_k$ 从多连通域内“挖掉”了若干不属于多连通域的部分），则对于在 $D$ 中解析的 $f$，那么：

  • $\oint_Cf(z)\d z=\sum\oint_{C_i}f(z)\d z$，其中所有曲线均取（自然）正向。
  • $\oint_\Gamma f(z)\d z=0$，其中 $\Gamma$ 指取正向的 $C$ 和取负向的 $C_1,\dots,C_k$。

• 同时又有推论 闭路变形原理：解析函数沿闭曲线积分不因闭曲线的连续变形而改变值，只要闭曲线的变形不经过奇点。

• $\dfrac{f(z)}{z-z_0}$ 在 $z_0$ 可能不解析；但是可以通过不断向 $z_0$ 缩小，让 $f(z)$ 的值逐渐接近 $f(z_0)$，$\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z$ 接近 $\oint_C\dfrac{f(z_0)}{z-z_0}\d z$；后者因为 $\oint_C\dfrac1{z-z_0}\d z$ 可以连续变形为套着 $z_0$ 的圆，而这个圆上 $\dfrac1{z-z_0}$ 的积分前面提到过是 $2\pi\i$，因此这个值有接近 $f(z_0)2\pi\i$ 的期望。

• 事实上，有 Cauchy 积分公式：在区域 $D$ 内处处解析的 $f$，内部完全含于 $D$ 的 $C$，$C$ 内部任一点 $z_0$，有 $f(z_0)=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z$。通过 $\epsilon-\delta$ 语言可证得。

• 取 $C$ 为套着 $z_0$ 的圆周，得到 $f(z_0)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\pi})\d\theta$，也即，解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均。

• 解析函数的导数仍为解析函数，事实上解析函数 $\in\scr C^\infty$，且 $f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\d\xi$（高阶导数公式），其中 $C$ 是任一环绕 $z$ 的正向简单闭曲线，其内部全含于 $D$。证明就靠嗯归纳。Cauchy 积分公式是高阶导数公式 $n=0$ 时的特例。

• 虽然其是通过积分来表示导数，不过最常见的应用还是通过高阶导数来算环路积分。

• Cauchy 不等式：$|f^{(n)}(z_0)|\leq\dfrac{n!M(R)}{R^n}$，其中 $M(R)$ 是以 $z_0$ 为圆心的 $R$-圆周上 $|f(z)|$ 的 $\max$。

• 解析函数的 Laurent 展开定理：设 $f(z)$ 在圆环域 $R_1<|z-z_0|<R_1$ 内解析，则在圆环域内 $f$ 必可以唯一展成双边幂级数 $f(z)=\sum c_n(z-z_0)^n$，其中 $c_n=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\d\xi$，其中 $C$ 是环绕 $z_0$ 的任一正向简单闭曲线。这个双边幂级数被称作 Laurent 级数，正幂项部分被称作 解析部分，负幂项部分被称作 主要部分。

• 称 $z_0$ 是一个 极点 pole，如果其主要部分有有限项；其主要部分的最高（？）项次数如果是 $-n$，则称其是一个 $n$ 阶奇点，或者是 a pole of order n。其主要部分中负一次项系数被称作 留数 residue。

• $n$ 阶零点，如果其解析，并且可以写成 $(z-z_0)^m\varphi(z)$，且 $\varphi(z_0)\neq0$。

• $f$ 有 $n$ 阶极点是 $\dfrac1f$ 有 $n$ 阶零点的充要条件。

• 留数定理：对于 $m$ 阶极点 $z_0$，$\text{Res}(f,z_0)=\dfrac1{(m-1)!}\lim\limits_{z\to z_0}\dfrac{\d^{m-1}}{\d z^{m-1}}((z-z_0)^mf(z))$。

• 无穷远处留数的定义是 $\dfrac1{2\pi i}\int_{C^-}f(z)\d z$，其中 $C^-$ 是绕原点负向，即为绕无穷远正向。此时，得到结论：如果包含无穷远极点在内仅有有限个极点，且极点都是孤立极点，那么所有留数和为零。

• $\text{Res}(f,\infty)=-\text{Res}(f(z^{-1})z^{-2},0)$。算内极点的留数可以转为算外极点的留数。

矩阵树定理。证明可以使用 Cauchy-Binet，也可以容斥，即钦定根后随机选邻边为父亲然后容斥环。

另有 $\#SP=\dfrac1n\lambda_2\dots\lambda_n$，其中 $\lambda_1=0$。这是因为，$\prod(\lambda-\lambda_i)=\det(\lambda I-L_G)'=(-1)^{n-1}\sum\det\left(L_G^{(i)}(\lambda)\right)$。代入 $\lambda=0$，得到 $(-1)^{n-1}\prod\lambda_i=(-1)^{n-1}n\#SP$.

Week 5.

FKT 算法。

对于反对称矩阵，定义 $\text{Pf}=\sum\limits_\sigma\text{sgn}(\sigma)\prod A_{\sigma_{2i-1},\sigma_{2i}}$。

考虑任两个 Pfaffian 中元素 $M_1,M_2$，其中的边拼起来拼成一组排列的 cycle 形式。因此 $\det=\text{Pf}^2$。

Pfaffian 中元素如果被恰当定向，使得所有的完美匹配的 $\text{sgn}$ 都同号，则直接对行列式开根即得 Pfaffian 的绝对值，也即完美匹配数目。使得每个面上顺时针边数目都是偶数即可。

算法是随机生成树并定向，然后定向其它东西。

Pfaffian 除了被用于平面图完美匹配计数，亦可判定任意图是否存在完美匹配（用 Schwartz-Zippel 定理），乃至解决尚无确定性解法的恰出现 $K$ 条红边的完美匹配计数（引入额外元 $y$）

还是记一下 Schwartz-Zippel 定理吧。对于元数任意，但是次数不超过 $d$ 的多项式，任意在有限集 $S$ 中赋值并赋到根的概率是 $d/|S|$。证明关于元数归纳。

Week 6.

复杂度概念。

L：$\text{polylog}(n)$ 空间 可解。

PSPACE：$\text{poly}(n)$ 空间 可解。

EXP：$2^{\text{poly}(n)}$ 时间 可解。

BPP：以一个恒概率出错（即，原本有解被判无解）。不断重复可以让出错概率趋于零。

$L\sube P\sube NP\sube PSPACE\sube EXP$。

NP-Hard：所有 NP 都可以规约到的问题。

NP-Complete：同时是 NP-Hard 和 NP。

如果一个 NPC 问题可以规约到另一个 NP 问题，则该问题亦是 NPC 的。

Section 2.[Wasserman] 书上内容总结

Chapter 1.

两个变量独立有着 $A\amalg B$ \amalg 的奇怪符号；不独立则有着 $A\operatorname{一圈奇怪的弹簧符号}B$ 的写法。

Bayes 公式：对于 $U$ 的划分 $T$，$\Pr(T_i|B)=\dfrac{\Pr(B|T_i)\Pr(T_i)}{\sum\Pr(B|T_j)\Pr(T_j)}$。其中，分母其实是 $\Pr(B)$，分子其实是 $\Pr(B\cap T_i)$。

Chapter 2.

对于随机变量 $X$，其大写 $F_X(x)=\Pr(X\leq x)$，被称作 cumulative distribution function 或者 CDF。其是 $\R\to[0,1]$ 的函数，不论离散的 $X$ 还是连续的 $X$ 都有如此定义。

一切非降、正则（在负无穷处趋于 $0$，正无穷处趋于 $1$）、右连续的函数都可以是某个随机变量的 CDF。

离散型随机变量是仅能取到可数个取值的随机变量。离散变量可以定义 probability function 或 probability mass function $f_X=\Pr(X=x)$。

连续性随机变量是存在全积分为 $1$ 的函数 $f_X$ 且满足 $\Pr(a<X<b)=\int_a^bf_X(x)\d x$ 的随机变量。$f_X$ 被称作 probability density function，且在所有 $F_X$ 可微处均有 $f_X(x)=F'_X(x)$。

inverse CDF 或者 quantile function $F^{-1}(q)=\inf\{x:F(x)>q\}$。如果 $F$ 单增且连续那么 $F,F^{-1}$ 互为反函数。可以由此定义各种 first quantile, median, third quantile。

两个 $F$ 相同的函数被称作 equal in distribution，但并不意味着它们是同一个变量。

marginal mass function 是对二维的 probability mass function 投到一维的结果。同理有 marginal density function。

两个随机变量独立，如果对于一切 $A,B$，$\Pr(X\in A,Y\in B)=\Pr(X\in A)\Pr(Y\in B)$。

对于连续随机变量，如果 $f(x,y)=g(x)h(y)$（$g,h$ 不一定是 PDF）那么 $X,Y$ 独立。

条件 PMF $f_{X|Y}(x|y)=\Pr(X=x|Y=y)$。同理有条件 PDF $f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$。

称若干随机变量 IID（independend and identically distributed），如果它们独立并且服从于同一组分布 $F$，记作 $x_1,\dots,x_n\sim F$。

如果对于随机变量 $X$，定义比如说 $Y=r(X)$，如何计算 $Y$ 的分布？

求出 $A_y=\{x|r(x)\leq y\}$，则 $F_Y(y)=\int_{A_y}f_X(x)\d x$。

Chapter 3.

期望。expectation 也被叫做 mean 或者 first moment 一阶矩。

期望的懒惰计算（The Rule of Lazy Statistician）：若 $Y=r(X)$，则 $E(Y)=E(r(X))=\int r(x)\d F_X(x)=\int r(x)f_X(x)\d x$。

$K$ 阶矩 Kth moment 为 $E(X^K)$。$K$ 阶矩存在如果该期望对应积分收敛。高阶矩存在则低阶矩必然存在。

期望线性性。如果变量独立则积的期望等于期望的积。

$V(aX+b)=a^2V(X)$。独立的 $X$ 有和的方差等于方差的和。

对于一组随机变量 $X_1,\dots,X_n$，定义样本均值 sample mean $\bar X_n=\dfrac1n\sum X_i$，样本方差 sample variance $S_n^2=\dfrac1{n-1}\sum(X_i-\bar X_i)^2$。

• 为什么是 $n-1$？因为 $\bar X_n$ 提供了一个自由度。

协方差 covariance $\text{Cov}(X,Y)=E((X-\mu_X)(Y-\mu_Y))$。相关系数 correlation $\rho_{X,Y}=\dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}$。

$-1\leq\rho\leq1$。如果 $Y=aX+b$（前提是 $a\neq0$），那么当 $a>0$ 时 $\rho=1$，$a<0$ 时 $\rho=-1$。独立变量的协方差与相关系数均为零，但是反之不亦然。

$$V(\sum a_iX_i)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_ia_j\text{Cov}(X_i,X_j)$$

随机向量 $\begin{bmatrix}X_1\\\vdots\\X_n\end{bmatrix}$ 的平均值向量为 $\mu=\begin{bmatrix}\mu_1\\\vdots\\\mu_n\end{bmatrix}$。方差-协方差矩阵（variance-covariance matrix）$\Sigma$ 被定义为 $V(X)=\begin{bmatrix}V(X_1)&\text{Cov}(X_1,X_2)&\dots\\\text{Cov}(X_2,X_1)&V(X_2)&\dots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}$。

条件期望 $E(X|Y=y)$ 是关于 $y$ 的函数。

The Rule of Iterated Expectations：$E(E(Y|X))=E(Y),E(E(X|Y))=E(X)$。事实上，$E(E(r(X,Y)|X))=E(E(r(X,Y)|Y))=E(r(X,Y))$。

条件方差 $V(X|Y=y)$ 亦是关于 $y$ 的函数。$V(X|Y=y)=\int(x-\mu(X|Y=y))^2f(x|y)\d x$。

$V(Y)=EV(Y|X)+VE(Y|X)$。

矩量生成函数 Moment Generating Function, MGF，或称为 Laplace 变换 Laplace Transform，满足 $\psi_X(t)=E(e^{tX})=\int e^{tx}\d F(x)=\int e^{tx}f(x)\d x$。我们希望，MGF 在 $0$ 的邻域中有定义。这样，便可得到 $\psi'(0)=E(X)$。事实上，$\psi^{(k)}(0)=E(X^k)$。

当变量彼此独立时，MGF 的积等于 和 的 MGF。

若 $Y=aX+b$，则 $\psi_Y(t)=e^{bt}\psi_X(at)$。

如果 $\psi_X(t)=\psi_Y(t)$ 在 $0$ 的邻域中相等，则 $X,Y$ 有相同分布。

特别地，PGF 的一些优秀性质（注意区别 PGF 与 PDF）（注意区分 PGF 与 MGF）：

• $p(1)=1$。
• $p'(1)=E(X)$。
• $p''(1)+p'(1)-p'(1)^2=V(X)$。

Chapter 4.

另一种 Hoeffding's Inequality 的表述：

对于独立随机变量 $Y_1,\dots,Y_n$，且每个变量的期望均为 $0$，且满足 $a_i\leq Y\leq b_i$。令一个 $\epsilon>0$，则对于一切 $t>0$，都有 $\Pr(\sum Y_i\geq\epsilon)\leq e^{-t\epsilon}\prod\exp(t^2(b_i-a_i)^2/8)$。

Mill's Inequality：对于 $Z\sim N(0,1)$，则 $\Pr(|Z|>t)\leq\sqrt{\dfrac2\pi}\dfrac{e^{-t^2/2}}t$。

Cauchy-Schwarz Inequality：对于方差有限的变量 $X,Y$，$E|XY|\leq\sqrt{E(X^2)E(Y^2)}$。

Jensen's Inequality：对于凸的 $g$，$E(g(X))\geq g(E(X))$。