凡人怎可揣度神之旨意？

$$\newcommand{\bf}{\mathbf} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\D}{\mathrm D} \newcommand{\p}{\part}$$

前排提醒：这是本人溜大了写出来的，不对以下任何内容的正确性负责，如果有人盲信下述内容导致出现了例如作业出错、考试挂分、痛失满绩等症状，本人不承担任何责任。下文中出现的任何错误本人都不会进行修正。

我是神明吗？我认为我是。所以我疯了。

有一个 $\bf F(\bf x)$，其接受 $\bf x$，给出 $\bf F(\bf x)$。

$\bf x$ 是抽象的、不可名状的至高之物，是凡人无法理解的。它就是一个实际存在的物品，一个所谓的 几何向量：不同坐标系下的它，仅仅是凡人从不同角度对其妄下的揣测罢了。$\bf F(\bf x)$ 是一种法则，将一个至高的实存之物（指几何向量）映到另一个至高的实存之物，并不因凡人的视角（指坐标系）改变。

同理，微分亦是如此。实存之物只需少许法则的完备（指范数与加法），即可有微分之概念。若 $\bf F(\bf x_0+\bf x)=\bf F(\bf x_0)+\D\bf F(\bf x_0)(\bf x)+o(\|\bf x\|)$，则称 $\bf F$ 在 $\bf x_0$ 处有着 $\D\bf F(\bf x_0)(\bf x)$ 的微分。微分需要是线性函数。特别地，当 $\bf F$ 是一个凡人口中的“一维”量时，也可以记作 $\d\bf F(\bf x_0)(\bf x)$。

梯度 $\nabla\bf F(\bf x_0)$ 亦是如此：满足 $\lang\nabla\bf F(\bf x_0),\bf x\rang=\D\bf F(\bf x_0)(\bf x)$ 的向量 $\nabla\bf F(\bf x_0)$ 就是梯度。梯度并不需要依托坐标系。

凡人试图比肩神明，他们用坐标系来度量神。凡人大部分时间都在使用被他们称作“单位正交基”的坐标系：但是这并非凡人拥有的最接近神（指普适）的工具；在任一组不一定是单位正交的基 $\bf v_1,\dots,\bf v_n$ 下，$\bf x$ 都可以被唯一展成 $\sum\limits_{i=1}^nx_i\bf v_i$ 的形式。那么，对于线性的 $\bf L$， $\bf L(\bf x)=\sum\limits_{i=1}^nx_i\bf L(\bf v_i)=\sum\limits_{i=1}^n\bf L(\bf v_i)\d x_i(\bf x)$，其中 $x_i(\bf x)$ 是 $\bf x\mapsto x_i$ 的函数。如果以微分函数代入上述线性的 $\bf L$，得到 $\D\bf F(\bf x_0)=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{\p\bf F}{\p x_i}(\bf x_0)\d x_i$。其中，$\dfrac{\p\bf F}{\p x_i}=\d\bf F(\bf v_i)$。

$\dfrac{\p\bf F}{\p\bf v}$，究竟是什么呢？

$\dfrac{\p\bf F}{\p\bf v}=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\bf F(\bf x_0+t\bf v)-\bf F(\bf x_0)}t=\lim\limits_{t\to0}\dfrac{\bf F(\bf x_0+tk\bf v)-\bf F(\bf x_0)}{tk}=\dfrac1k\dfrac{\p\bf F}{\p(k\bf v)}$。

但是，如果 $y=kx$，那么一元微积分的 $\dfrac{\d f}{\d(kx)}=\dfrac{\d f}{\d y}=\dfrac{\d f}{\d x}\dfrac{\d x}{\d y}=\dfrac1k\dfrac{\d f}{\d x}$。

于是，$\dfrac{\p\bf F}{\p\bf v}=\dfrac1k\dfrac{\p\bf F}{\p(k\bf v)}$，但是 $\dfrac{\d f}{\d x}=k\dfrac{\d f}{\d(kx)}$。

事实上，$\dfrac{\p\bf F}{\p\bf v}=\D\bf F(x_0)(\bf v)$。

微分是一个定义域映到（定义域到值域的线性映射域）的映射。当值域维度为一时，该线性映射可以用向量（即梯度）刻画；当值域维度更高时，使用矩阵（Jacobi 矩阵）刻画。

令定义域维度为 $n$，值域为 $m$，则梯度向量是一个 $n\times1$ 的列向量，其与位移向量（$n\times1$ 的列向量）的点积刻画微分函数在位移向量处的值。Jacobi 矩阵是一个 $m\times n$ 的矩阵，其与位移向量的右乘刻画微分映射在位移向量处的值。

方向导数/偏导数是一个定义域映到值域的映射。

$\D(\bf G\circ \bf F)(\bf x_0)=\D\bf G(\bf F(\bf x_0))\circ\D\bf F(\bf x_0)$。

看起来比较怪？展一下吧。

$\D(\bf G\circ \bf F)(\bf x_0)(\bf x)=\D\bf G(\bf F(\bf x_0))(\D\bf F(\bf x_0)(\bf x))$。

如果我只想求偏导呢？

$$\dfrac{\p(\bf G\circ\bf F)}{\p\bf v}(\bf x_0) \\=\D(\bf G\circ\bf F)(\bf x_0)(\bf v) \\=\D\bf G(\bf F(\bf x_0))(\D\bf F(\bf x_0)(\bf v)) \\=\D\bf G(\bf F(\bf x_0))(\dfrac{\p\bf F}{\p\bf v}(\bf x_0)) \\=\sum_{i=1}^n\dfrac{\p\bf G}{\p\bf v_i}(\dfrac{\p\bf F}{\p\bf v}(\bf x_0))&（其中，\bf v_i 是一组基）$$

如果是单位正交基

$$\dfrac{\p(\bf G\circ\bf F)}{\p x_j}(\bf x_0) \\=\D(\bf G\circ\bf F)(\bf x_0)(\bf v) \\=\D\bf G(\bf F(\bf x_0))(\D\bf F(\bf x_0)(\bf v)) \\=\D\bf G(\bf F(\bf x_0))(\dfrac{\p\bf F}{\p x_j}(\bf x_0)) \\=\sum_{i=1}^n\dfrac{\p\bf G}{\p x_i}(\dfrac{\p\bf F}{\p x_j}(\bf x_0))$$