复变函数，启动！计应数番外编~对冒险主义的姚发起华丽叛逆的说！！！

$$\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\i}{\mathbf i} \newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\p}{\part} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \newcommand{\Arccos}{\operatorname{Arccos}} \newcommand{\Arcsin}{\operatorname{Arcsin}} \newcommand{\Arctan}{\operatorname{Arctan}}$$

复变函数= Complex function(第2版) 王绵森 高等教育出版社 2020

怎么会有计应数教授一节课速通复变函数的呵。

复平面，不在话下！

$\Arg z$：辐角 集合，包含所有以 $2\pi$ 为周期的辐角。

$\arg z$：辐角 主值，是辐角集合中 $(-\pi,\pi]$ 的那个辐角。

复球面：有一个球，在复平面上方，与平面切于原点；对于复平面上一个点，连接其与球上方顶点，该直线与球面有两个交点，一个是上方顶点，另一个是该复数在复球面上投影。

一切复数唯一对应复球面上一个点；反之不亦然，因为球面北极没有对应点。将其看作特殊复数 $\infty$，$\C\cup\{\infty\}$ 被称作扩充复平面 $\C^*$。

• 邻域！

• 开集！

• 区域：连通的开集

• 区域的 边界：任意邻域都同时有区域内的点和区域外的点的元素构成集合。其中元素称为 边界点。

• 区域和边界共同构成 闭区域 或 闭域。

• 有界、无界。

• 连续曲线：参数方程每一维均连续。光滑：可微且正则。分段光滑：光滑曲线拼接而成。

• 无重点的连续曲线称作简单曲线或 Jordan 曲线。

• 起讫点重合的简单曲线称为简单闭曲线。

• Jordan 定理：简单闭曲线分割平面。

• 单连通域：作区域内部的简单闭曲线，曲线内部所有点均属于区域。

• 多连通域：非单连通的区域。

• 单值复变函数：$(G\sube\C)\to\C$。

• 多值复变函数：$(G\sube\C)\to\{\C,\C,\C,\dots\}$。复数的 $\sqrt[n]{z},\Arg z$ 都是多值复变函数。

• 反函数：可以是单值或多值。

• 极限：去心邻域中值都趋近某值。

• 复变函数与实变函数极限对应定理：若定义在 $z_0=x_0+\i y_0$ 去心邻域内的函数 $f(z)=u(z)+\i v(z)$，$w_0=u_0+\i v_0$，则 $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=A$ 的充要条件是 $\lim\limits_{z\to z_0}u(z)=u_0$ 且 $\lim\limits_{z\to z_0}v(z)=v_0$。

• 连续性：$\lim=f$。连续当且仅当实部虚部分别连续。

• 若 $\lim\limits_{\Delta z\to0}\dfrac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$ 存在，则称其可导，导数为极限值。

• 复变函数的可导和可微等价。

• 就算实部虚部分别可微，复变函数也不一定可微。需要额外条件（C-R 方程，见下）

• 若在 $z_0$ 和其邻域内处处可导，则称在 $z_0$ 解析 analytic。处处解析则称 在区域内解析，亦可称其为 解析函数 analytic function、全纯函数 holomorphic function 或正则函数 regular function。

• 不解析点称为 奇点 singularity。

• 区域内解析和区域内可导等价；但是单点可导和解析不等价。

• 多项式函数处处解析，有理分式函数在分母非零处解析，分母为零点为奇点。

• 设 $f(z)=u(x,y)+\i v(x,y)$；若 $f$ 在 $z_0$ 可导，则应有 $\dfrac{\p u}{\p x}+\i\dfrac{\p v}{\p x}=f'(z_0),-\i\dfrac{\p u}{\p y}+\dfrac{\p v}{\p y}=f'(z_0)$。因此，可导的一个必要条件是 $\dfrac{\p u}{\p x}=\dfrac{\p v}{\p y},\dfrac{\p v}{\p x}=-\dfrac{\p u}{\p y}$，称作 Cauchy-Riemann 方程或者 C-R 方程。

• 虽然单点满足 C-R 方程并不能推出单点可导，但是实部虚部处处可微并且区域内处处满足 C-R 方程却可以推出区域内处处可导。

• 实部虚部处处可微，由多元微积分相关性质，等价于存在连续偏导。于是，实部虚部对应实变函数存在处处连续偏导且处处满足 C-R 方程等价于函数处处解析。

• 复平面上指数函数：$\exp z=e^x(\cos y+i\sin y)$，亦可直接记作 $e^z$。$|e^z|=e^x,\Arg e^z=y+2k\pi$。

• 满足加法定理 $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$，且是周期为 $2k\pi\i$ 的指数。

• 【复平面指数函数其实是实数轴指数函数 解析 延拓，即拓展一解析函数的定义域，使得其在新定义域内仍解析】

• $(\exp z)'=\exp z$。

• 复变对数函数 $\Ln z$：是复变指数函数的反函数。

• 是多值复变函数：元素有 $2k\pi\i$ 的周期。事实上，$\Ln z=\ln|z|+\i\Arg z$。

• 若 $\Arg z$ 取主值 $\arg z$，则得到 $\Ln z$ 的主值 $\ln z=\ln|z|+\i\arg z$。

• 复变对数函数的主值函数是正半轴对数函数的解析延拓：其扩展至除原点外整个复平面。

• 满足 $\Ln z_1z_2=\Ln z_1+\Ln z_2$，$(\Ln z)'=\dfrac1z$。

• 复变乘幂：$a^b=\exp(b\Ln a)$。

• 当 $b$ 为整数时，复变乘幂是单值的；为有理数 $\dfrac pq$ 时，有 $q$ 个值；为其它值时，有无穷个值。

• 以 $a$ 为变量写成 $z^b$ 时，就是复变幂函数。$(z^b)'=bz^{b-1}$。

• 复变三角：$\cos z=\dfrac{e^{\i z}+e^{-\i z}}2$，$\sin z=\dfrac{e^{\i z}-e^{-\i z}}{2\i}$

• 复变双曲正弦、余弦函数 $\sinh z=\dfrac{e^z-e^{-z}}2,\cosh z=\dfrac{e^z+e^{-z}}2$。

• 复变反三角函数：$\Arccos z=-\i\Ln(z+\sqrt{z^2-1}),\Arcsin z=-\i\Ln(\i z+\sqrt{1-z^2}),\Arctan z=-\dfrac\i2\Ln\dfrac{1+\i z}{1-\i z}$。

开积！

• 有向曲线：为曲线规定一个方向，称作正向；反方向称作负向。

• 简单闭曲线的定向总是逆时针（也即左侧是曲线内部）（有时称作自然正向）

• 简单光滑有向曲线或简单分段光滑有向曲线 $C$，令起讫点分别为 $A,B$，对于划分 $A=z_0,\dots,z_n=B$，其 Riemann 和 $\sum f(\xi_k)(z_k-z_{k-1})$。如果当最长划分长度趋于 $0$ 时所有 Riemann 和趋于同一值则称其为沿 $C$ 的积分，记作 $\int_Cf(z)\d z$。特别地，若 $C$ 是闭曲线，可记作 $\oint_Cf(z)\d z$。

• 对于连续的 $f$，将其拆成实部虚部的组合，可得 $\int_Cf(z)\d z=\int_C(u\d x-v\d y)+\i\int_C(v\d x+u\d y)$。

• 若曲线参数化为 $f(z(t)),t\in[\alpha,\beta]$ 且正向为 $t$ 增加方向，则 $\int_Cf(z)\d z=\int_\alpha^\beta f(z(t))z'(t)\d t$，复变函数积分即变为实变函数定积分。

• 积分估值不等式 $\left|\int_Cf(z)\d z\right|\leq\int_C|f(z)|\d z$。

• Length Theorem（？）：$|\int_Cf(z)\d z|\leq\text{length}(C)\times\max_C|f(z)|$。

• 由上述定理，通过极坐标参数方程代换，得到对于一切 $z_0,r$，沿以 $z_0$ 为圆心、$r$ 为半径的圆的积分 $\oint_{|z-z_0|=r}\dfrac{\d z}{(z-z_0)^{n+1}}=\begin{cases}2\pi\i&(n=0)\\0&(n>0)\end{cases}$。下文有大用处。

• 经历一大坨答辩后，得到 Cauchy-Goursat 基本定理：若 $f(z)$ 在简单闭曲线 $C$ 及其围成区域内处处解析，那么 $f(z)$ 沿 $C$ 积分为零，也即 $\oint_Cf(z)\d z=0$。【注意：要求是简单、且自身及围成的区域处处解析）

• 直接推论：单连通域内处处解析函数沿任意简单闭曲线积分为零。

• 进一步推广至多连通域，得到 复合闭路定理：令 $C$ 是多联通域 $D$ 中简单闭曲线，$C_1,\dots,C_k$ 是 $C$ 内部两两不交、不互相包含的曲线集合，且有 $C,C_1,\dots,C_k$ 所夹区域被完全包含于多连通域内（也即，$C_1,\dots,C_k$ 从多连通域内“挖掉”了若干不属于多连通域的部分），则对于在 $D$ 中解析的 $f$，那么：

  • $\oint_Cf(z)\d z=\sum\oint_{C_i}f(z)\d z$，其中所有曲线均取（自然）正向。
  • $\oint_\Gamma f(z)\d z=0$，其中 $\Gamma$ 指取正向的 $C$ 和取负向的 $C_1,\dots,C_k$。

• 同时又有推论 闭路变形原理：解析函数沿闭曲线积分不因闭曲线的连续变形而改变值，只要闭曲线的变形不经过奇点。

• 由 Cauchy-Goursat 基本定理，处处解析函数的积分值仅与起讫点相关。于是固定起点在 $z_0$，让终点成为变量 $z$，于是起讫点积分就成为单值函数 $F(z)$，满足 $F'(z)=f(z)$。

• 满足 $\varphi'(z)=f(z)$ 的函数 $\varphi$ 被称作 原函数。任两个原函数间相差常数，且 $F(z)$ 是一个合法原函数。

• 所有原函数构成的整体记作 $\int f(z)\d z=F(z)+C$。同时，单连通域内处处解析的函数 $f$ 有 $\int_{z_0}^{z_1}f(z)\d z=F(z_1)-F(z_0)$。

• $\dfrac{f(z)}{z-z_0}$ 在 $z_0$ 可能不解析；但是可以通过不断向 $z_0$ 缩小，让 $f(z)$ 的值逐渐接近 $f(z_0)$，$\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z$ 接近 $\oint_C\dfrac{f(z_0)}{z-z_0}\d z$；后者因为 $\oint_C\dfrac1{z-z_0}\d z$ 可以连续变形为套着 $z_0$ 的圆，而这个圆上 $\dfrac1{z-z_0}$ 的积分前面提到过是 $2\pi\i$，因此这个值有接近 $f(z_0)2\pi\i$ 的期望。

• 事实上，有 Cauchy 积分公式：在区域 $D$ 内处处解析的 $f$，内部完全含于 $D$ 的 $C$，$C$ 内部任一点 $z_0$，有 $f(z_0)=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(z)}{z-z_0}\d z$。通过 $\epsilon-\delta$ 语言可证得。

• 取 $C$ 为套着 $z_0$ 的圆周，得到 $f(z_0)=\dfrac1{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\pi})\d\theta$，也即，解析函数在圆心处的值等于其在圆周上的平均。

• 解析函数的导数仍为解析函数，事实上解析函数 $\in\scr C^\infty$，且 $f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z)^{n+1}}\d\xi$（高阶导数公式），其中 $C$ 是任一环绕 $z$ 的正向简单闭曲线，其内部全含于 $D$。证明就靠嗯归纳。Cauchy 积分公式是高阶导数公式 $n=0$ 时的特例。

• 虽然其是通过积分来表示导数，不过最常见的应用还是通过高阶导数来算环路积分。

• Cauchy 不等式：$|f^{(n)}(z_0)|\leq\dfrac{n!M(R)}{R^n}$，其中 $M(R)$ 是以 $z_0$ 为圆心的 $R$-圆周上 $|f(z)|$ 的 $\max$。

• Liouville 定理：在整个复平面上解析且有界的函数恒为常数。

• Morera 定理：环路积分恒零函数为解析函数。

• 事实上，如果 $f$ 是 conservative force，那么其原函数 $F$ 就是其上定义的一个势能。conservative force 就是满足环路功为零的力，由 Morera 定理其是解析函数，因此其总是可以定义势能。

• 复数数列。其收敛于 $a+\i b$，当且仅当实部数列收敛于 $a$，且虚部数列收敛于 $b$。

• 级数：$\sum\limits_{n=1}a_n$ 被称作级数。若部分和数列收敛则级数收敛，反之发散。

• 绝对收敛，如果 $\{|a_i|\}$ 收敛。相对收敛，如果 $\{|a_i|\}$ 不收敛但 $\{a_i\}$ 收敛。绝对收敛则必然收敛。

• 复变函数列 $\{f_n(z)\}$ （$n=1,2,\dots$），$\sum\limits_{n=1}f_n(z)$ 是复变函数项级数。记 $s_n(z)=\sum\limits_{i=1}^nf_i(z)$，若 $s_n(z_0)$ 极限存在则称该复变函数项级数在 $z_0$ 处收敛。所有使级数收敛的点称作其 收敛域。

• $s(z)=\sum f_n(z)$ 被称作该级数的 和函数。

• 幂级数：$f_n(z)=c_nz^n$ 的级数。

• 幂级数有其收敛半径 $R$：模长大于 $R$ 的全发散，模长小于 $R$ 的全绝对收敛，等于 $R$ 的可能发散可能收敛。

• 解析函数的 Taylor 展开定理：在圆域 $K=\{z\mid|z-z_0|<R\}$ 内解析，则在 $K$ 内 $f(z)$ 可以唯一展开为 $\sum\limits_{n=0}c_n(z-z_0)^n$，其中 $c_n=\dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}$。

• 因此，若 $f(x)$ 在 $D$ 内解析，则其在以 $z_0$ 为圆心、半径仅可能大的包含于 $D$ 的范围内均可使用上式展开。因此，收敛圆的边界上必有一个奇点。

• 因此函数解析的充要条件是，定义域中每个点都存在邻域，其中所有点都可以使用 Taylor 展开式展开。

• 有时，在圆环域 $0\leq R_1<|z-z_0|<R_2$ 内的任一解析函数都可以被展成负次数幂级数 $\sum\limits_{-\infty}^{+\infty}c_n(z-z_0)^n$。称为 双边幂级数。其中，正幂项可以确定 $R_2$ 上界，负幂项可以确定 $R_1$ 下界。

• 当且仅当正幂项、负幂项同时收敛时，双边幂级数收敛。

• 解析函数的 Laurent 展开定理：设 $f(z)$ 在圆环域 $R_1<|z-z_0|<R_1$ 内解析，则在圆环域内 $f$ 必可以唯一展成双边幂级数 $f(z)=\sum c_n(z-z_0)^n$，其中 $c_n=\dfrac1{2\pi\i}\oint_C\dfrac{f(\xi)}{(\xi-z_0)^{n+1}}\d\xi$，其中 $C$ 是环绕 $z_0$ 的任一正向简单闭曲线。这个双边幂级数被称作 Laurent 级数，正幂项部分被称作 解析部分，负幂项部分被称作 主要部分。

• 称 $z_0$ 是一个 极点 pole，如果其主要部分有有限项；其主要部分的最高（？）项次数如果是 $-n$，则称其是一个 $n$ 阶奇点，或者是 a pole of order n。其主要部分中负一次项系数被称作 留数 residue。

• 孤立奇点：在 $z_0$ 处不解析，但是存在去心邻域使得在其中处处解析。

• 可去奇点：无主要部分的奇点（可以通过重新用 Laurent 级数在 $z_0$ 处取值覆盖原始定义来消去的奇点）。可去奇点的 Laurent 级数极限存在。

• 极点，Laurent 级数极限趋于无穷。

• 本性奇点 essential singularity 是主要部分无线项的奇点。Laurent 级数不收敛且不存在。

• $n$ 阶零点，如果其解析，并且可以写成 $(z-z_0)^m\varphi(z)$，且 $\varphi(z_0)\neq0$。

• $f$ 有 $n$ 阶极点是 $\dfrac1f$ 有 $n$ 阶零点的充要条件。