门把手⭐魔法少女：新篇章！大混乱？鏖战微分方程~与Wronsky的日与夜

什么，LaTeX 炸了？都是 cnblogs 的锅！！！

$$\newcommand{\d}{\mathrm d} \newcommand{\scr}{\mathscr} \newcommand{\bf}{\mathbf}$$

忍不了，一拳把微分方程干爆！！！

I.一些非线性微分方程的解法

参数分离微分方程

可写成 $p(x)\d x=q(y)\d y$ 的方程可以在两侧同时积分，得到 $P(x)=Q(y)+C$ 的式子。

可转为参数分离方程的方程

$$y'=f(\Gamma)$$

其中 $\Gamma$ 是一个由 $x,y$ 组成的较为简单的式子。

由 $\Gamma$ 本身的性质，可以有 $\Gamma'=F(y',\Gamma)$。然后再代入 $y'=f(\Gamma)$，进而得到 $\Gamma'=G(\Gamma)$ 的参数分离式。

常见的 $\Gamma$ 有：$\dfrac yx$（$\Gamma'=\dfrac{y'-\Gamma}x$）；$ax+by+c$（$\Gamma'=a+y'$）；$\dfrac{a_1x+b_1y+c_1}{a_2x+b_2y+c_2}$（分有无交点处理）

II.一阶线性 ODE

一阶齐次线性 ODE

$$y'+a(x)y=0 \\\ln|y|=C_0-\int_{x_0}^xa(t)\d t \\y=\pm e^{C_0}e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}&(通解) \\y=Ce^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}&(全解，包含特解 C=0) \\其中，x_0可任意取值$$

初值问题

若确定 $(x_0,y_0)$ 在函数图像上，则上式变为 $y=y_0e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}$。

一阶线性 ODE

常数变易法

$$y'+a(x)y=f(x) \\y=C(x)y_0 \\y'=C(x)(-a(x)y_0)+C'(x)y_0 \\C(x)(-a(x)y_0)+C'(x)y_0+a(x)C(x)y_0=f(x) \\C'(x)=f(x)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t} \\C(x)=C+\int_{x_0}^xf(s)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t}\d s \\y=Ce^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}+e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}\int_{x_0}^xf(s)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t}\d s$$

积分因子法

令 $A(x)=\int_{x_0}^xf(t)\d t$。

$$y'+a(x)y=f(x) \\y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)}=f(x)e^{A(x)} \\(ye^{A(x)})'=f(x)e^{A(x)} \\y=Ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int_{x_0}^xf(t)e^{A(t)}\d t$$

要点：寻找合适的因子，凑出全微分的形式。

而这个因子不好找。

初值问题

$$y=y_0e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}+e^{-\int_{x_0}^xa(t)\d t}\int_{x_0}^xf(s)e^{\int_{x_0}^xa(t)\d t}\d s$$

III.一阶线性微分方程组

积分因子法

$$\bf y=A(x)\bf y'+\bf b(x)$$

直接使用积分因子法，得到

$$e^{-A(x)}\bf y-e^{-A(x)}A(x)\bf y'=e^{-A(x)}\bf b(x) \\(e^{-A(x)}\bf y)'=e^{-A(x)}\bf b(x) \\\bf y=e^{A(x)}\bf C+\int_{x_0}^xe^{-A(t)}\bf b(t)\d t$$

什么是矩阵 $\exp$？

$$\exp(A)=\sum_i\dfrac{A^i}{i!}$$

$\exp(A)$ 和 $A$ 是对易子。

由 Leibniz 乘法导数公式，$(A(x)\bf b(x))'=A(x)'\bf b(x)+A(x)\bf b'(x)$。

上式的问题在于 $\exp(A)$ 的计算。

若 $A$ 可对角化（$A=P\Lambda P^{-1}$），则 $A^i=P\Lambda^iP^{-1}$，于是 $\exp(A)=P\exp(\Lambda)P^{-1}$，对角矩阵的 $\exp$ 易计算。

否则，$A$ 可 Jordan 化（$A=PJP^{-1}$），计算 $\exp(J)$。

$J=\Lambda+U$，其中 $\Lambda$ 是对角阵、$U$ 是主对角线上方对角线上的 $1$ 阵。

易验证 $\Lambda,U$ 是对易子，于是 $e^{\Lambda+U}=e^{\Lambda}e^U$。$e^U$ 在 $n$ 次幂内收敛。

积分因子法因为 Jordan 化太困难（要求出 $P$ 阵不好手算）、$U$ 阵还要算幂次，不太适合考试时使用。

常数变易法

如果，我终于寻到那线性无关的解

考虑齐次方程组 $\bf y'=A(x)\bf y$。

假如 可以寻找线性无关的 $n$ 个解 $U(x)=\begin{bmatrix}\bf y_1&\bf y_2&\dots&\bf y_n\end{bmatrix}$，

那么 $U(x)'=A(x)U(x)$

于是考虑 $\bf y'=A(x)\bf y+\bf f(x)$

那么令 $\bf y(x)=U(x)\bf C(x)$

于是 $\bf C(x)=U(x)^{-1}\bf y(x)$。

于是 $\bf y(x)=U(x)\int_{x_0}^xU^{-1}(t)\bf f(t)\d t+U(x)\bf C_0$。

那么，我终于寻到那方程的初值

在上述前提下，如果 $\bf y_1,\bf y_2$ 是 $\bf y(x)=A(x)\bf y'(x)+\bf f(x)$ 的解，且 $\bf y_1(x_0)=\bf y_2(x_0)$，

那么 $\bf y_0=\bf y_1-\bf y_2$ 是 $\bf y(x)=A(x)\bf y'(x)$ 的解，且 $\bf y_0(x_0)=\bf 0$，

$\bf y_0=U(x)\bf C_0$，代入 $x_0$ 得到 $\bf C_0=\bf 0$，

则 $\bf y_0=\bf 0$，则 $\bf y_1=\bf y_2$。

但是，我何从觅求那线性无关的解

Liouville 定理：如果 $U(x)=\begin{bmatrix}\bf y_1&\bf y_2&\dots&\bf y_n\end{bmatrix}$ 线性无关，那么 $[\det U(x)]'=\tr A(x)\det U(x)$。

证明：对 $\det U(x)$ 展成积的交错和形式，然后用 Leibniz 乘积公式可得。

解得 $\det U(x)=\det U(x_0)e^{\int_{x_0}^x\tr A(t)\d t}$。

于是 $\det U(x)$ 一处为零则处处为零。也即，$\det U(x)=0\Leftrightarrow\det U(x_0)=0$。

$W(x)=\det U(x)$，称作 Wronsky 行列式。

仿佛，我已经寻到了方程的初值

若 $A(x)$ 连续，则 $\forall(x_0,\bf y_0$，初值问题 $\bf y(x_0)=\bf y_0$ 都有唯一解。【证明需要一致连续知识】

于是在 $x_0$ 处任取一组线性无关向量（不妨直接令 $U(x_0)=I_n$），然后根据 $U(x_0)$ 推出唯一的 $U(x)$，上述分析成立。

刹那，时间反转吧，你是美丽的！

上述分析倒过来即可。

IV.一阶常系数线性微分方程组

变系数 ODE 方程组并非凡人可以染指的俗物，它是不容置喙的神域！！！

一阶常系数齐次线性微分方程组

假设其有 $e^{\lambda x}\bf C$ 的解，则代入得应有 $A\bf C=\lambda\bf C$，即 $\lambda$ 是特征根、$\bf C$ 是特征向量。

• 若有 $n$ 个线性无关特征向量 $\bf C_1,\dots,\bf C_n$，则 $e^{\lambda_1x}\bf C_1,\dots,e^{\lambda_n}\bf C_2$ 的线性组合即为方程通解。

• 若特征向量数目小于 $n$，需要求广义特征向量。依下法求广义特征向量：

  • 令 $\lambda$ 是 $k$ 重特征值，$\bf C_0=\bf 0$，$\bf C_i$ 为 $(A-\lambda I)\bf C_i=\bf C_{i-1}$ 的唯一解，$\bf C_1,\dots,\bf C_k$ 称为广义特征向量；

    令 $\bf y_i=e^{\lambda x}\sum\limits_{j=1}^k\dfrac{x^{j-1}}{(j-1)!}(A-\lambda I)^{j-1}\bf C_i$，则全体 $\bf y_i$ 为线性无关解。

成对出现的复特征根 $\alpha\pm i\beta$ 意味着成对出现的复特征向量，意味着成对出现的复解，分别取出实部和虚部即可。

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

一阶常系数非齐次线性微分方程组

把非齐次项扔到（广义）特征向量基底下展开即可。

$$\bf y(x)=A\bf y(x)+\bf f(x) \\\bf y(x):=\sum c_i(x)\bf C_i \\\bf f(x)=\sum d_i(x)\bf C_i \\\sum c_i'(x)\bf C_i=\sum\lambda_ic_i(x)\bf C_i+\sum d_i(x)\bf C_i$$

对于向量的每一位分开解上述一坨即可。

V.高阶常系数线性微分方程

可以简单转成一阶常系数线性微分方程组。

也可以使用常数变易法。

• 常数变易法：由一组解推知另一组线性无关解。

高阶常系数齐次线性微分方程

设解为 $e^{\lambda x}$。解特征方程即可。

如果有重根？针对重根进行常数变易分析后，会发现 $k$ 重根对应 $e^{\lambda x}$，$xe^{\lambda x},\dots,x^{k-1}e^{\lambda x}$。

高阶常系数非齐次线性微分方程

常数变易？可能求起来较为困难。

比较系数法：若 $\lambda$ 是特征方程的 $k\in[0,n]$ 重根，则方程有形如 $x^kQ(x)e^{\lambda x}$ 的解。

VI.其它场合

• 如果不含 $y$，则令 $p=y'$ 然后解 $p$ 的 ODE 即可。
• 如果不含 $x$，则令 $p(y)=y'$ 然后解 $p$ 关于 $y$ 的 ODE 即可（$\dfrac\d{\d x}=p\dfrac\d{\d y}$）

可因式分解的方程：

$$y''-3y'+2y=x^2 \\(\dfrac\d{\d x}-2)(\dfrac\d{\d x}-1)y=x^2 \\u=(\dfrac\d{\d x}-1)y，则 (\dfrac\d{\d x}-2)u=x^2 解得 u，然后 u 再解 y$$

上述算法成立的前提是微分与常数的加法、乘法交换律。

因此，常系数线性微分方程可以分解为一阶常系数线性微分方程的组合。

非常系数的线性微分方程：微分与变量之间没有交换律，因此不能直接十字相乘因式分解，需要待定系数。

$\sum a_ix^iy^{(i)}=f(x)$ （Euler 方程）是可以待定 $\prod(x\dfrac\d{\d x}+\alpha_i)y=f(x)$ 的，因为 $x^k\dfrac{\d^k}{\d x^k}=(\dfrac\d{\d t})^{\underline k}$，其中 $t=\ln x$。

或者，直接换元 $t=\ln x$ 然后解关于 $t$ 的线性方程亦可。

还是不会？随机试一些换元，直到可解！

• $p=xy/\dfrac1y/x^2y/xy^2/x^2y^2/\dfrac1{xy}$……

还是不会？那就开摆！

忍不了，一拳被微分方程干爆！