深感文字之乏力与思绪之混乱

$$\newcommand{\d}{\mathrm d}$$

原计划标题为《深感数学改革之必要性》，但是写完之后决定改成现在的标题。

看不懂不用说，是我太拉了。

I.前言

前些日子微积分课上学习了微分。当时糊里糊涂就糊弄过去了，听着也挺对的，后面的求导、中值定理之流也没有任何影响：主要是因为，在绝大部分时候，我们在意的都是 导数 而非 微分。导数就像一个被精美包装过的黑匣子：无论是复合、乘法还是除法，抑或是高阶导数、泰勒展开，都可以以 Lagrange 的符号系统，简简单单地用几个 $'$ 解决问题。

但是，当我们逐渐深入微积分后，我们将会发现，导数是不可靠的：积分、偏导、多元微积分……越来越多的知识跳脱出了那方精巧的黑匣子，不再囿于 Lagrange 的 $'$ 的束缚。我们必须跳出导数的概念，去探索那狂野的、纯真的微分，寻找那原始的美。

II.楔子

不知道大家有没有见过一个式子，所谓的“小学生也能懂的微积分”：

$$\d y=\dfrac{\d y}{\d x}\d x$$

乍一看，这确实是极其明了的了：上下约分自然成立。

但是，首先，这并不是约分；其次，这似乎与我们一开始的“微分”的定义有些许的差别。

III.引入

一个一元函数 $f(x)$ 是线性函数，如果它满足 $f(\lambda x+\mu y)=\lambda f(x)+\mu f(y)$ 对于全体 $x,y,\lambda,\mu\in\R$ 均成立。

一个线性函数总是可以写成如下的形式：$f(x)=\lambda x$，其中 $\lambda$ 被称作其 比例系数。

一个点是定义域的内点，当且仅当其存在一个邻域，使得邻域中所有元素都有定义。

对于 $f(x)$ 的一个内点 $x_0$，定义一个线性函数 $L(h)$ 是其 微分，若满足 $f(x_0+h)=f(x_0)+L(h)+o(h),h\to0$ 成立。

此时，我们定义 $\d f(x_0)(h):=L(h)$。同时定义其 导数 $f'(x_0)$ 为 $L(h)$ 的比例系数。也即，$f'(x_0)=\dfrac{L(h)}h$。

我们首先要牢记一点：即，$\d f(x_0)(h)$ 永远是一个 法则，它根据输入的 $x_0,h$ 来唯一输出一个值。这个法则是相当完备的：它仅依靠 $f,x_0,h$ 三者就能唯一确定输出。而 $f$ 是什么？$f$ 是另一个 法则，它接受一个输入以唯一给出一个输出。可以发现，这里我们说的法则，其实就是常规而言的 函数。为什么我避免使用函数呢？因为函数和变量之间的混用情况太多了，正如 $y=kx+b$ 其实是指 $y=y(x)$，其中 $y(x)$ 是一个函数（法则），其针对输入 $x$ 给出了唯一的输出 $kx+b$。为了避免这种积重难返的混用，我在此处用 法则 来代指一个函数。显然，一个变量不会是一个法则，而法则也不会是一个变量：二者的区分是很清晰的。

那我们回过头来，看看导数吧：$f'(x_0)$，它是一个完备的、在 $f,x_0$ 确定后就能够唯一确定输出的法则吗？

好像，反常识地，这似乎是成立的；那么，我们常见的所谓的“对 $x$ 求导”“对 $t$ 求导”是什么意思呢？

这是因为，$f(x)$ 中的 $x$ 不一定是变量；如果 $x$ 其实指的是一个函数 $x(t)$，那么 $f(x(t))$ 就是以 $t$ 为输入的一个法则。同理，套娃还可以继续下去，$t$ 可以事实上是 $t(y)$，$y$ 可以事实上是 $y(r)$……

打住。我们就在 $r$ 这里停止，现在我们就认为我们的函数是 $f(x(t(y(r))))$ 这个东西。其等效于另一个法则 $g(r)$，其与前面的一大坨有着相同的定义域和输出。此时，$g(r)$ 可以定义其对应的导数，导数接受 $r_0$ 作为输入，给出其在 $r_0$ 处的导数。

我们将这种行为，定义为“$f$ 关于 $r$ 求导”。同理，还可以定义展开到 $y,t,x$ 的“$f$ 关于 $y,t,x$ 求导”。

$f$ 关于 $r$ 求导，在 $r_0$ 处的导数，按照 Leibniz 的记号可以记作 $\left.\dfrac{\d f}{\d r}\right|_{r_0}$。

需要注意的是，虽然 Leibniz 记号有着所谓“分数”的形式，但它并不是分数，应该把其视作一个整体，其整体表示在 $r_0$ 处的导数。

而，$\dfrac{\d f}{\d r}$ 则是一个函数，即为 $f$ 关于 $r$ 求导得到的函数。这是因为，一个函数 $f$ 在 $x_0$ 处的导数可以写作 $\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_9)}{(x_0+\Delta x)-x_0}=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$，其中将左侧的分子记作 $\Delta f$，然后对于 $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}$“上下同趋于 $0$”这个过程记作 $\dfrac{\d f}{\d x}$。

此时我们回到 Lagrange 记号。在 Lagrange 记号下，导函数记作 $f'_r$，在 $r_0$ 处的取值为 $f'_r(r_0)$。如果 $r$ 本身就是 $f$ 的自变量，也即如果是 $f(r)$ 对 $r$ 求导或是 $f(x)$ 对 $x$ 求导这种场合，下标的 $r/x$ 可以扔掉，直接写 $f'$ 表示导函数，$f'(x_0)$ 表示其在 $x_0$ 处的取值。

既然导数有着“关于某某变量求导”的说法，那么微分有没有呢？事实上，我们接下来将会看到，在一元微积分中，不论关于哪个变量微分，其都有相同的形式，即所谓的“微分的形式不变性”。

总结：微分记作 $\d f(x_0)(h)$（在 $x_0,h$ 均确定后，其是一个常数）。如果是 $\d f(x_0)$，最后一维被扔掉了，那么指的是一个函数，也即 $f$ 在 $x_0$ 处微分的整个函数。$\left.\dfrac{\d f}{\d r}\right|_{r_0}$ 是常数，$\dfrac{\d f}{\d r}$ 是函数。

IV.恼人的省略

回到我们一开始给出的式子

$$\d y=\dfrac{\d y}{\d x}\d x$$

这个式子已经简略到了依照我们一开始的定义来看，完全无法理解的程度了。

它其实是一个这样的形式：首先 $y$ 可以被看作是 $y(x)$，也即 $y$ 是一个以 $x$ 为自变量的函数；$x$ 自身也是 $x(x)$，一个以 $x$ 为自变量的函数。那么，上式的实际意义是：

• 对于 $y(x)$ 定义域中的一切 $x_0$，都有 $\d y(x_0)$ 这个 函数 是 $\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)\d x(x_0)$ 这个函数（前半部分是在 $x_0$ 处的导数，一个常数；后半部分是一个函数）。
• 再展开一层，就是在 $x_0$ 确定时，对于一切 $h$，都有 $\d y(x_0)(h)=\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)\d x(x_0)(h)$。

这个式子是易证的：因为易验证 $\d x(x_0)(h)=h$，按照定义 $\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)=\dfrac{\d y(x_0)(h)}{h}$，于是上式自然成立。

为什么我们可以将 $\d y(x_0)=\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)\d x(x_0)$ 简写成 $\d y=\dfrac{\d y}{\d x}\d x$ 呢？这就是 早期数学家做事不严谨 的锅了。

事实上，这个式子的偏 Lagrange 形式的描述 $\d y(x_0)=f'(x_0)\d x(x_0)$ 确实是较为严谨的。然后数学家就整出了 $\d y(x)=f'(x)\d x$ 这样的花活：这个式子和前一个式子描述了同一个东西，只不过用 $x$ 重命名了 $x_0$，且最后一个 $\d x$ 使用了这样的约定：

• 如果 $y=f(x)$，那么 $\d f(x)$ 可以被写成 $\d y$。
• 因此，$x=x$，那么 $\d x(x)$ 可以被写成 $\d x$。
• $\d x(x)$ 这个描述，前一个 $x$ 描述了微分对象是恒同映射 $\tau (x)=x$，后一个 $x$ 表明在 $x$ 处求微分，它们没有联系。

V.更多的省略

链索法则：

如果 $y=f(z),z=g(y)$，那么

$$\left.\dfrac{\d y}{\d x}\right|_{x_0}=\left.\dfrac{\d y}{\d z}\right|_{z_0}\times\left.\dfrac{\d z}{\d x}\right|_{x_0}$$

上式对于一切 $x_0$ 成立，且 $z_0=g(x_0)$。

这其实根据我们前面的分析简单处理就能得到。

然后就是万恶的省略了。Leibniz 大手一挥，上式被简化成了这样：

$$\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d z}\times\dfrac{\d z}{\d x}$$

同时，因为 $\d y=\dfrac{\d y}{\d z}\d z$，$\d z=\dfrac{\d z}{\d x}{\d x}$，因此由链索法则我们得到了 $\d y=\dfrac{\d y}{\d x}\d x$。

于是，$\d y=\dfrac{\d y}{\d z}\d z=\dfrac{\d y}{\d x}\d x$，这被称作“一阶微分的形式不变性”。

我们把它尝试展开，就是如下的形式：

• 对于一切 $x_0$ 和 $z_0=g(x_0)$ 和一切 $h$，都有
  $$\d y(z_0)(h)=\dfrac{\d y}{\d z}(z_0)\d z(z_0)(h)=\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)\d x(x_0)(h)$$
  这个式子其实是表明，无论“关于何值作微分”（也即式子 $\dfrac{\d y}{\d t}\d t$，$t$ 是任意值），它们都相等，都等于所谓的 $\d y$。于是，微分就没有“关于某值微分”的概念：你关于任何值求导，由导数推出的微分都是相同的。

VI.不要给我自顾自地就开始省略啊喂！

如果 $y=y(x)$，且存在反函数 $x=x(y)$，那么在右式两边同时对 $x$ 求导，得到 $1=\dfrac{\d y}{\d x}\dfrac{\d x}{\d y}$，所以 $\dfrac{\d x}{\d y}=\dfrac1{\left(\dfrac{\d y}{\d x}\right)}$。写成 Lagrange 的形式的话，就是若 $y=f(x)$，那么 $(f^{-1})'(y_0)=\dfrac1{f'(x_0)}$，其中 $y_0=f(x_0)$ 或者 $x_0=f^{-1}(y_0)$。

看着好像很对是吧？你要不要看看这个式子 $1=\dfrac{\d y}{\d x}\dfrac{\d x}{\d y}$ 是坨什么东西？

事实上，左侧的 $1$ 不是一个常数：它是一个函数。$x$ 对 $x$ 求导，得到的东西是常函数 $1$。

而右侧，其实是 $x(y)$ 对 $x$ 求导，使用链式法则的结果。

因此扩写应该是，$1=\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)\dfrac{\d x}{\d y}(y_0)$，所以可以有上述的 Lagrange 形式。

$$\dfrac{\d}{\d x}y$$

这又是什么？

这也是导数。我们把 $\dfrac\d{\d x}$ 看作是一个算子，这个算子作用于一个函数可以得到另一个函数（其导函数）。

于是二阶导

$$\dfrac{\d\left(\dfrac{\d y}{\d x}\right)}{\d x}$$

可以被写成

$$\dfrac\d{\d x}\dfrac\d{\d x}y$$

到目前为止，还好吧？

那么这个呢？

$$\dfrac{\d^2}{\d x^2}y$$

有点头晕了吧？这其实就是上面那个东西的省略。下面的 $\d x^2$，约定俗成地，如果在这种场合指的是 $(\d x)^2$ 而非 $\d(x^2)$ 或者其它什么东西。

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参数方程。

假定 $y=y(t),x=x(t)$，

且存在反函数 $t=t(x)$，

则 $y=y(t(x))$。

$$\dfrac{\d y}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d t}\dfrac{\d t}{\d x}=\dfrac{\left(\dfrac{\d y}{\d t}\right)}{\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)}$$

还是得把式子拆开来。

$$\dfrac{\d y}{\d x}(x_0)=\dfrac{\d y}{\d t}(t_0)\dfrac{\d t}{\d x}(x_0)=\dfrac{\left(\dfrac{\d y}{\d t}\right)(t_0)}{\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)(t_0)}$$

第二项到第三项是用了之前证的反函数定理。

$$\dfrac{\d^2}{\d x^2}y=\dfrac{\d\left(\dfrac{\d y}{\d x}\right)}{\d x} \\=\dfrac{\d\left(\dfrac{\left(\dfrac{\d y}{\d t}\right)}{\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)}\right)}{\d x} \\=\dfrac{\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)\dfrac\d{\d x}\left(\dfrac{\d y}{\d t}\right)-\left(\dfrac{\d y}{\d t}\right)\dfrac\d{\d x}\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)}{\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)^2} \\=\dfrac{\dfrac{\d^2y}{\d t^2}-\left(\dfrac{\d y}{\d t}\right)\dfrac{\dfrac\d{\d t}\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)}{\dfrac{\d x}{\d t}}}{\left(\dfrac{\d x}{\d t}\right)^2} \\=\dfrac{y''_tx'_t-y'_tx''_t}{(x''_t)^3}$$

对于每一组匹配的 $(y_0,x_0,t_0)$，有此式成立。

VII.通用的破译方法

对于一个复杂的、包含多个微分和导数的式子，你可以通过如下的方式来将一大坨已经省略得不成人样的式子破译：

首先，你的式子中涉及了若干个变量。取一组值 $(x_0,y_0,z_0,\dots)$。因为我们是一元微积分，所以这一组值中须有一个核心的自变量，使得其确定后其它变量的值也随即确定。

然后，对于你式子中的微分，将其后面补上第一个括号，为其自变量对应的 $x_0$（或者 $y_0,z_0$ 抑或是其它东西）。然后补上第二个括号 $(h)$。

对于你式子中的导数 $\dfrac{\d m}{\d n}$，后面补上括号 $(n_0)$。

这样，我们便得到一个破译完成的式子：其是一个值等于另一个值的形式。

VIII.尾声

感觉自己写了一坨答辩。

评价为：眼高手低，把很简单的东西整的过于复杂。

有必要纠正想到哪写到哪、遇事不决先开写的坏习惯了。