环论、域论和 Galois 理论学习笔记

Latex 炸了不用喊……等等，这里是 cnblogs。那么，Latex 炸了还是喊一下吧，我什么都不会做的。

内容有锅可以说，我什么都会做的。

这里是环论域论学习笔记。

在 OI 中，这部分内容的重要性趋近于零，唯一值得一提的是多项式环。在多项式环上，诸如拉格朗日反演之类的东西才能被应用。

不过这又如何呢？有的时候，人就是要在一些意义不明的东西上浪费时间。

那么就直接来吧。

推荐配合群论学习笔记食用。更好的食用方式是，直接阅读本文，碰到未知的概念时使用 Ctrl+F 在前文和本文中一齐寻找。

各种约定亦同前文。

$$\newcommand\bb[1]{\mathbb{#1}} \newcommand\Gal{\text{Gal}} \newcommand\Inv{\text{Inv}} \newcommand\Aut{\text{Aut}} \newcommand\GF{\text{GF}} \newcommand\wtd{\widetilde}$$

I.环初步

I.基础定义

定义：环 是一个三元组 $(\bb S,\oplus,\otimes)$，其中 $\bb S$ 是一个集合，而 $\oplus$ 与 $\otimes$ 为其上定义的两种运算，满足如下的限制：

1. $(\bb S,\oplus)$ 成交换群。
2. $(\mathbb S,\otimes)$ 成半群。
3. $\otimes$ 对 $\oplus$ 有左右分配律。也即，对于一切 $a,b,c\in\bb S$ 有 $a\otimes(b\oplus c)=(a\otimes b)\oplus(a\otimes c)$ 且 $(b\oplus c)\otimes a=(b\otimes a)\oplus(c\otimes a)$。

很重要很重要的一句声明：

上述定义仅在中文互联网上常见。在 wiki 上，环（ring）的定义是 $(\bb S,\otimes)$ 成 幺半群 的结构，前文定义的“环”对应着英文中的 rng（ring without i(identity)）或者 pseudo-ring。事实上，就算是英文互联网上，也有不少的资料认为环中不一定存在单位元。

本人就曾查询到一份中文资料，对其中的某个定理感到非常疑惑，最后等从头看了一遍那份资料后，才发现一句话：

• 本文中的“环”如无特殊说明，指的是含幺交换环。

这下这下了。

这提醒我们，查询资料时一定要小心，不然就会出大锅。

为了作者的方便，以下用 $+$ 替代 $\oplus$，$\times$ 替代 $\otimes$，并且引入如下的在常规代数学中常见的约定：

1. $\times$ 可被省略。也即，$ab$ 表示 $a\times b$。
2. 多个 $\times$ 的连乘及多个 $+$ 的连加可以省略括号（因结合律）。
3. $\times$ 的优先级高于 $+$。也即，$ab+cd$ 表示 $(ab)+(cd)$。
4. 单个数 $a$ 自加 $n$ 次，可以被 $na$ 表示。但需要注意的是，此处的 $n\in\mathbb Z$ 而 $a\in\mathbb S$，二者不能搞混。下文中，一般会用 $a,b,c,d$ 等字符表示待讨论的环中元素，而 $n,m,k,p$ 等较靠后的字符表示整数。
5. 单个数 $a$ 自乘 $n$ 次，可以被 $a^n$ 表示。需要注意的是，此处的 $n\in\mathbb N^+$，因为在此处 $(\mathbb S,\times)$ 仅仅是半群，满足封闭性和结合律，不存在单位元和逆元，因此 $a^0$ 和 $a^{-n}$ 均无定义。但是，如果 $\times$ 有更好的性质，我们可以认为存在 $a^0=e$ 以及逆元等定义。
6. 在 $(\mathbb S,+)$ 中，元素 $a$ 的逆元被表示为 $-a$，而单位元写作 $0$。
7. $\sum,\prod$ 等连加、连乘符号仍有效。

另外，还有两条在抽象代数中常见的约定：

1. 在 $\oplus,\otimes$ 均易知时（比如说，整数域、实数域、有理数域、复数域上的 $+,\times$；矩阵域上的 $+,\times$；剩余类上的模意义下的 $+,\times$；或者前文已经告知的场合中），直接省略符号，使用其定义的集合来描述一个群/环。这也解释了一些看上去不太合理的描述，诸如“群明明是集合和运算构成的二元组，为什么一个元素还能直接属于群”这样的细抠可能有点怪的描述。
2. 在加法、乘法均有定义的情况下，考虑集合（当然，按照前一条约定，群、环，或者其它结构均可）$\bb S$；$a\bb S$ 为 $a$ 左乘 $\bb S$ 中元素得到的集合（右乘同理）、$a+\bb S$ 为 $a$ 加上 $\bb S$ 中元素得到的集合。集合与集合间也可以类似地定义加法；但是，集合与集合间的乘法就不一定了：其可以被定义为笛卡儿积（两个集合中元素构成的有序二元组构成的集合）；或者是子集积（两个集合中元素相乘得到的乘积构成的集合）；甚至是我们之后要看到的商环积。需要视情况而言自行判断此处集合乘法的类型（一般是显然的），同时本人也会在有必要时指出此时的乘法具体是哪种乘法。
3. 我们可以看到，在前一条的扩展定义下，乘法（指元素与集合间的乘法以及集合间的子集积）依然对加法有分配律，加法依然有交换律。

定义：$\mathbb S^+$ 表示 $\mathbb S$ 中剔除 $0$ 元后的部分。

II.环的性质

通过一些简单的代数推导，我们可以得到如下的若干性质：

定理：$0a=a0=0$。

这个定理看上去很蠢，但是你会证吗？

我们有 $0a+0a=(0+0)a=0a$，其中第一个等号是右分配律，第二个等号是加法单位元。进而由加法逆元，两边可以同时减去 $0a$，得到 $0a=0$。同理可得 $a0=0$。

有了上述定理，接下来的两条推论就易证了：

1. $a(-b)=(-a)b=-ab$。（两边同时加 $ab$）
2. $c(a-b)=ca-cb,(a-b)c=ac-bc$。（同理，同时加）

但是我们还要先定义一个 $-$ 运算符，$a-b$ 的意义是 $a+(-b)$。这时我们就可以发现，$-,+$ 间有交换律，而 $\times$ 对它们有分配律。同理可以定义 $-na$ 表示 $n$ 个 $-a$ 相加。

同时，依据简单的拆括号，我们可以得到如下的若干推论：

1. $(\sum\limits_{i=1}^na_i)(\sum\limits_{j=1}^mb_j)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ma_ib_j$。
2. $(na)b=n(ab)=a(nb)$，其中按照前述约定有 $n\in\bb Z,a,b\in\bb S$。以下，简记为 $nab$。
3. $a^ma^n=a^{m+n}$。（$m,n>0$）

以上的性质在常规代数系统（比如说，$(\mathbb R,+,\times)$）中也是很常见的。但是，环真的一定就是我们的常规代数系统吗？

定义：零因子 是两个非零元 $a,b$，满足 $ab=0$，则称其为零因子。此时，我们称 $a$ 是 $b$ 的 左零因子，$b$ 是 $a$ 的 右零因子。

零因子是环区别于常规代数系统的关键性质。毕竟，不存在两个非零整数（或实数、复数）积为零。

我们可以举几个例子。比如说，$(\mathbb M,+,\times)$，其中 $\mathbb M$ 是 $n\times n$ 方阵全集。显然其成环，且存在零因子。

比如说，$(\mathbb Z_6,+,\times)$，其中 $\mathbb Z_6$ 指模 $6$ 的剩余系。显然其成环，但是存在 $2+4\equiv 0\pmod6$。

进一步地，在环中，因为零因子的存在，如下性质 不一定 成立：

• $n\in\N^+,a\in\bb S^+,na\neq0$。
• $a\neq0,ab=ac$，则 $b=c$（左消去律）。右消去律同理。
• $n\in\N^+,a\in\bb S^+,a^n\neq0$。（比如说，$\Z_8$ 中的 $2^3$）

常见的反例基本上总可以在矩阵环或模合数的剩余类中寻找。

III.扩展定义

接下来，我们将引入一些环的扩展。

我们只要求 $(\bb S,\times)$ 成半群（即有封闭性）。如果把半群换成其它更奇妙的东西呢？

我们起码可以列出四条路：

• 交换律。
• 乘法单位元。
• 乘法逆元。
• 零因子。

定义：$(\bb S,\times)$ 成交换半群，则称为 交换环。

定义：$(\bb S,\times)$ 成幺半群，则称为 含幺环 或 幺环。

定义：$(\bb S,\times)$ 成交换幺半群，则称为 交换幺环 或 含幺交换环、

定义：$(\bb S^+,\times)$ 成半群，则称为 无零因子环。

这个定义的意思是，非零元素关于乘法封闭，那不就是没有两个非零元素积为零，也即无零因子嘛。

定义：$(\bb S^+,\times)$ 成交换幺半群，则称为 整环。

定义：$(\bb S^+,\times)$ 成群，则称为 除环，斜体（skew field），或 体。这里我们称之为除环。

定义：$(\bb S^+,\times)$ 成交换群，则称为 域。

	交换律	无零因子	单位元	逆元
环	N	N	N	N
交换环	Y	N	N	N
幺环	N	N	Y	N
交换幺环	Y	N	Y	N
无零因子环	N	Y	N	N
整环	Y	Y	Y	N
除环	N	Y	Y	Y
域	Y	Y	Y	Y

大定义甩出来，我们还要再对一些细碎的东西下定义：

定义：幺元 指乘法单位元。在存在幺元的结构中，其可以被写作 $1$。

定理：对于含非零元素的幺环，有幺元不等于零元。

考虑非零元素 $a$，有 $a0=0,a1=a$。又 $0=1$，则 $a=0$，与假设 $a$ 非零不符。

由此我们可以 定义：在除环中，一个非零元素的 逆元 是 $(\mathbb S^+,\times)$ 中的逆元。我们认为零元素没有逆元。

举几个例子吧。

• $(\Z,+,\times)$ 是整环，因为其无零因子、有交换律、有单位元，但无逆元（逆元落在实数域中）。
• $(\Q,+,\times)$ 是域，因为有理数的逆元还是有理数。
• $(\R,+,\times),(\C,+,\times)$ 均是域。
• $(\bb M,+,\times)$——其中 $\bb M$ 是 $n\times n$ 实方阵全集——是幺环：其存在单位元单位矩阵，但不存在交换律、逆元。
• 如果将 $\bb M$ 换成可逆方阵全集呢？它压根就不成环！因为零矩阵不可逆， 所以其不包含零矩阵，进而不含零元。
• 所有整系数、未知元数固定为 $x_1,x_2,\dots$ 但不限制未知数数目、未知数次数须为非负整数的多项式构成一个整环 $\Z[x_1,x_2,\dots]$。可以发现，整数环是其未知元数目为零的一个特例。
• 所有实系数亦或是复系数任意元多项式构成整环 $\bb R[x_1,x_2,\dots]$ 和 $\bb C[x_2,x_2,\dots]$。
• 其可以通过某种扩展，成为 实系数/复系数多项式域。多项式域的相关性质将在很后文出现。

定理：可逆元一定不会作为零因子。

不妨假设 $a$ 可逆且 $ab=0$ 且 $b\neq0$。

则 $a^{-1}ab=a^{-1}0$，可得 $b=0$，与前提不符。

这可以让我们在证单位幺环是域时，不需证明零因子不存在，只需证明所有逆元均存在即可。

作一点基础的应用。

定理：$(\Z_p,+,\times)$ 是域，当且仅当 $p$ 是质数。

证明一个结构是域，需要什么条件？

• 加法成交换群。
• 乘法刨除零元成交换群。

我们发现，$(\Z_p,+)$ 总是成交换群，$(\Z_p,\times)$ 总是至少成交换幺半群。

交换幺半群离交换群只差一步：逆元。

然后我们发现所有非零元均有逆元的条件确实只在质数成立。

因此只有模质数的剩余类才是域。

定义：域 $\bb P$ 的 特征 $\operatorname{char}\bb P$ 为最小正整数 $p$ 满足 $p1_{\bb P}=0_{\bb P}$。假如不存在这样的 $p$，则特征被人为定义为零。

定理：特征要么为零，要么为质数。（其实还有特征为 $1$ 的环，也即仅包含一个元素的环，但我们一般不考虑之）

若为合数，考虑令其为 $p=mn$，其中 $m,n>0$。则 $p1=mn1=0$。因为 $1\times1=1$，所以我们可以写成 $(m1)\times(n1)=0$。而因为域不存在零因子，所以必有 $m1=0$ 或 $n1=0$，则 $p$ 非最小合法正整数。

事实上，我们发现特征的定义只需要如下要求：

• 幺元。
• 无零因子。

于是我们发现，我们完全可以对任何 无零因子的幺环 定义特征。可以发现上述特征为零或质数的证明在扩展后的定义仍然生效。

定义：阶 是环中包含元素个数。如果环是无限环，则其阶为正无穷。用 $|\R|$ 定义环 $\R$ 的阶。

II.环进阶

I.环的子结构

定义：若对于 $\bb R=(\bb G,+,\times)$，有 $\bb F\leq\bb G$，且 $\bb S=(\bb F,+,\times)$ 成环，则称 $\bb S$ 为 $\bb R$ 的 子环。同群的场合一样，此时亦可以记作 $\bb{S\leq R}$。

定义：同群的场合一样，有 平凡子环：$\{0\}$（注意到这里依照我们最开始的约定，省略了符号，仅使用集合描述一个环）与其自身。有 非平凡子环：除上述二者之外的子环；有 真子环：除自身以外的其它子环；同理我们可以定义真子环符号：$\bb S$ 是 $\bb R$ 的真子环可记作 $\bb{S<R}$。

子环并不一定继承母环的性质。比如说：

• 幺环的子环不一定是幺环：比如说所有偶数构成的环是所有整数构成的环的子环，但是其不存在幺元。
• 甚至，幺环子环的幺元都不一定与母环的幺元相同：$\Z_6$ 存在子环 $\{0,3\}$，其幺元是 $\{3\}$。

但是乘法交换律、乘法逆元、无零因子的性质，子环是可以继承母环的。

• 甚至，弱限制的结构的子环可能具有更强的性质：比如说环的子环可能成为除环、整环甚至域。

子环基本判定定理：子环的判定 只要验证乘法封闭、加减法封闭 即可：加法单位元、加法交换律、加法逆元、乘法分配律等等性质均内含于母环的性质中。

定义：环的 中心 $\operatorname{Center}(\bb R)$（亦可记作 $\operatorname C(\bb R)$）是环中所有的元素 $a$，满足对于任一环中元素 $b$ 有 $ab=ba$，即对于所有元素均满足交换律的元素集合。

定理：环的中心是子环。进一步地，是交换子环。

对于中心中元素 $a,b$ 和环中元素 $c$，有 $(a\pm b)c=c(a\pm b)$，于是 $a\pm b$ 也是中心中元素，满足加减法封闭的性质；有 $(ab)c=a(bc)=a(cb)=(ac)b=(ca)b=c(ab)$，于是 $ab$ 也是中心元素，满足乘法封闭的性质。于是环的中心是子环。

交换律显然。

作一些简单的应用吧。

定理：整数环 $\Z$ 的所有子环均为 $n\Z$（其中 $n$ 为非负整数），即 $\Z$ 中所有 $n$ 倍数构成的子环。

其可以被表述为，$\Z$ 的所有子环 $\bb I$，都存在 $n$ 满足上述条件。

若子环是平凡子环，显然是易证的；考虑非平凡子环的场合，此时有环中绝对值最小的正整数 $a$。

因为子环在加法意义下成交换群，所以有 $a$ 的所有整数倍均位于环内。考虑令 $n=a$，则上一句话描述的正是 $n\Z$ 中全体元素都位于环内。

若这样的 $n$ 对应的 $n\Z\neq\bb I$，这意味着存在元素 $b$ 不属于 $n\Z$。于是 $b$ 模 $a$ 非零，设为 $b=xa+y$，其中 $y$ 是 $(0,a)$ 中整数。

因为加减法封闭，所以应有 $y\in\bb I$；但假设是 $a$ 为绝对值最小的正整数，且 $y<a$，则与最开始的假设出现矛盾。

证毕。

II.环上同态与同构

我们已经知道群上有同态和同构，并且其具有若干良好的性质。环上是否也有这样的关系呢？

定义：考虑一个自环 $\bb R$ 到环 $\R'$ 的映射 $\varphi$：

• 若其满足 $\forall a,b\in\R,\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b),\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$，则称其为 同态。
• 此外，其是单射则为 单同态；满射则为 满同态——此时我们可以称这两个结构是 同态 的，并用符号 $\bb{R\sim R'}$ 表示；但是如果仅仅是普通的同态，那么我们仅能称这个同态是从 $\R$ 到 $\R'$，不能称这两个结构同态（虽然，在本文后续的讲解中，满同态会专门强调这个同态是满的）；双射则为 同构——此时我们可以称这两个结构 同构，并用符号 $\bb{R\cong R'}$ 表示。
• 若该同态是从 $\bb R$ 到其自身，则称为 自同态；同理，到自身的同构称为 自同构。
• 对于从 $\R$ 到 $\R'$ 的同态 $\varphi$，其中元素 $a$ 映到 $a'$，则可以用 $\varphi:\R\to\R',a\mapsto a'$ 描述。

例如，我们可以定义从 $\Z$ 到 $\Z_6$ 的映射：$\varphi(x)=x\bmod6$。易验证这个映射是满同态。

定理：对于同态 $\varphi:\R\to\R'$：

• 若 $0$ 是 $\R$ 中零元，则 $\varphi(0)$ 即为 $\R'$ 中零元（这是因为加法成群，而群中有该性质我们已经证过）。
• 对于 $a\in\R,\varphi(-a)=-\varphi(a)$（同理，群中的性质）。
• 对于 $\bb{S\leq R}$，有 $\varphi(\bb S)\leq\R'$（易验证 $\varphi(\bb S)$ 中的种种定律）。本定理反之亦然。

除了最基础的环上性质以外，附加性质（幺元、逆元、无零因子、交换律）也需要分析。

• 首先，这几个性质在非满同态时，均无法被传递，原因显然（$\varphi(\R)$ 仅仅对应了 $\R'$ 的一个子群，子群有的性质母群不一定有）。
• 在满同态中，幺元、逆元、交换律是可以被传递的，易验证；但是反之不亦然。

举例：考虑对于 $a,b\in\R$ 建立映射 $\begin{bmatrix}a&b\\0&0\end{bmatrix}\to\begin{bmatrix}a&0\\0&0\end{bmatrix}$。左侧对应的环中无单位元、无交换律、无逆元，但是右侧有单位元、有交换律、有逆元。

• 就算是满同态，无零因子也无法被传递，因为有元素可能被映射到零元上（比如说整数环到模合数的剩余环上的映射）。正着不行，反着就更不可能了。

但是，如果是双射就不一样了：在双射下，原像的所有性质都在像中完美继承，而反之亦然。换句话说，原像和像在双射下具有完全相同的代数性质。

定理：若有同态（单同态/满同态/同构）$\varphi:\R\to\R',\mu:\R'\to\R''$，则考虑两个映射的合成 $\tau(x)=\mu(\varphi(x))$，也即 $\tau=\mu\circ\varphi$，则有 $\tau$ 是 $\R\mapsto\R''$ 是同态（单同态/满同态/同构）。

这是易证的。

定义：环上同态 $\varphi$ 的 同态核 $\ker\varphi$ 指的是该映射在加群意义下的核。也即，其为所有映射到 $0'$（也即像中零元）的原像中元素构成的集合。

定义：环上同态 $\varphi$ 的 像集 $\Im\varphi$ 即为 $\varphi(\R)$，即 $\R$ 中全体元素的像构成的集合。

III.环深入

前面两章其实仅仅是为我们研究环论打好了框架，本节我们更加深入去研究环论。

I.商环与理想

群中存在陪集的概念，还有正规子群，即左右陪集相同的子群。同时我们有正规子群对应的商群。

在加法意义下，任意子环 $\bb I$ 必然是正规子群，因为加法成交换群，而交换群的任何子群左右陪集均相同，也即交换群的子群必是正规子群。既然在加法意义下其是正规子群，那么必然存在对应的商群；但是商群目前仅仅是群，还不是环：要想成环，我们需要一个性质良好的乘法。一个显然的优秀的乘法定义是 $(a+\bb I)(b+\bb I)=ab+\bb I$：但是因为商环中同一个陪集可能对应了不同的代表元（也即，可能存在 $a'\neq a$ 且 $a+\bb I=a'+\bb I$），所以我们希望对于不同的代表元，上述性质均被满足。

我们发现，常规的子群不一定满足上述性质。

我们需要：在 $a+\bb I=a'+\bb I,b+\bb I=b'+\bb I$ 的前提下，有：

• $ab+\bb I=a'b'+\bb I$。

因为加法成交换群，所以易调整其为 $a'b'-ab\in\bb I$。由我们的前提，应存在 $A,B\in\bb I$ 使得 $a'=a+A,b'=b+B$。于是有 $a'b'-ab=(a+A)(b+B)-ab=aB+Ab+AB$，因此我们要求 $aB+Ab+AB\in\bb I$。

这个性质比较松，我们将其加强：加强为 $\forall a,b\in\R,A,B\in\bb I$，均有 $aB\in\bb I,Ab\in\bb I$。

于是就有如下的 定义：环 $\bb R$ 的 左理想 是一个在加法意义下的子群 $\bb I$，满足 $\forall r\in\bb R$，$r\bb I\subseteq \bb I$（注意这里是子集的 $\subseteq$ 符号，不是子群、子环或其它意义）。同理可以定义 右理想。若一个加法子群 $\bb I$ 既是左理想，又是右理想，则称其为 $\bb R$ 的 双边理想。

为什么名字这么怪呢？因为一些历史缘故。大家可以自行百度。

虽然上面的要求是 $\bb I$ 是加法子群，但是由理想的定义我们发现无论是左理想还是右理想都满足乘法封闭性，因此理想必是子环。

之后有若干扩展 定义：真左、右或双边理想 是非自身的左、右或是双边理想。在交换环中，因为乘法交换律的成立所以任何理想都是双边理想，所以可以统称 理想。同群的场合一样，可记 $\bb{S\unlhd R}$ 表示 $\bb S$ 是 $\bb R$ 的双边理想、$\bb{S\lhd R}$ 表示 $\bb S$ 是 $\bb R$ 的真双边理想。

在众多材料中，均直接以 $\lhd$ 表示理想，且不单独用符号表示真理想，在这里特别指出以避免大家在其它文献处产生歧义；但是，既然存在 $\unlhd$ 这么个优雅的符号，并且也有人这么用，那为什么不用呢？

$\unlhd$：\unlhd。$\lhd$：\lhd。

进一步地，为方便也可以直接将双边理想简单称为理想，将真双边理想简单称为真理想。平凡理想 是其自身和 $\{0\}$（显然其必成理想）；非平凡理想 是除平凡理想外的其它理想。

• 举个例子：所有某整数 $x$ 的整数倍构成的子环是整数域的理想，因为其中元素左乘、右乘任何整数后，均仍得到 $x$ 的整数倍。

理想的定义出现后，我们终于可以 定义：理想 $\bb I$ 在环 $\bb R$ 上的 商环 是环 $(\bb{R/I},+,\times)$，其中 $+$ 是陪集间加法，$\times$ 是前文定义的陪集间乘法，换句话说，商环积（这个说法仅在本文中有效，但是其意义很明确：就是指商环中 $(a+\bb I)(b+\bb I)=ab+\bb I$ 的乘法）。易验证其中的加法成环、乘法成半环、乘法对加法的分配律。

II.理想的性质

定理：除环（当然，域亦然）只有平凡理想。

考虑假设存在任一非平凡理想，则设 $a$ 是理想内元素、$b$ 是理想外元素。因为除环中乘法存在逆元，所以必有 $a(a^{-1}b)=b$，且 $c=a^{-1}b$ 必是环中元素，那么 $\bb Ic$ 中就存在 $\bb I$ 外的元素 $b$ 了。

但是，反之不亦然。于是我们有 定义：单环 是只有平凡理想的环。

显然，除环是单环，但单环不一定是除环。比如说全体 $n\times n$ 方阵这一环，其就是一单环但非除环（无逆元）。因为太线代了，所以此处不予证明。

定理：任意多个左/右/双边理想的交，仍是左/右/双边理想。

在群论中，我们有正规子群的交仍是正规子群，这个性质在此处也是类似的（虽然，前者是显然的，后者不那么显然，我们要证一下）：

显然，理想的交构成一加法子群（因为加法意义下正规子群的交是正规子群）。

对于任一交中元素 $a$ 与任一母环中元素 $b$，有 $ab$（或 $ba$，假如是左理想；双边理想同理）属于每一个理想，那么其即属于每个理想的交。然后知理想的交是理想。

于是我们有 定义：环 $\bb R$ 的子集 $\bb S$ 生成的理想 $<\bb S>$ 为 $\bigcap\limits_{\bb{A\subseteq I\unlhd R}}\bb I$。也可以用枚举 $\bb S$ 中元素的方式记作 $<s_1,s_2,\dots>$。显然，一个子集生成的理想是包含该集合的最小理想（显然该理想必然存在，因为一个环是其自身的理想）。

定义：主理想 是生成元为单一元素的理想 $<a>$。

定理：整数环的所有理想均为主理想。

首先在整数环中，$<a>$ 即为全体 $a$ 倍数构成的理想。又由我们之前证过的定理“整数环的所有子环均为 $n\Z$ 的形式”，即得所有可能的理想必然是某个 $n$ 倍数的形式（因为，理想首先得是子环），也即须为某个主理想。

在群 $\R$ 中，某个生成元对应的循环群的结构是易分析的。主理想是与循环群类似的结构，那么它会有什么性质呢？

首先其必然包含 $a$；其次其关于加法封闭，那么其包含全体 $na$；然后其左乘或右乘任何环中元素仍需在环内；所以最终我们可以得到一个这样的形式：

• $(\sum\limits x_iay_i)+pa+aq+na$，其中 $x_i,y_i,p,q\in\R,n\in\Z$。（主理想的通式）

显然这其中的每一项都是有必要的；同时我们易验证其成理想。

同时我们有若干推论：

• 在幺环中，通式简化为 $\sum\limits x_iay_i$：$pa$ 对应着 $x=p,y=1$；$aq$ 对应着 $x=1,y=q$；$na$ 对应着 $x=n1,y=1$、
• 在交换环中，通式简化为 $xa+na$，其中 $x\in\R,n\in\Z$。
• 在交换幺环中，直接是 $xa$，其中 $x\in\R$。

同时有推论：集合生成的理想等于其中所有元素生成的理想之和。

定义：一个环是 主理想环，当且仅当其所有理想均为主理想。

可以发现，上文中我们证明的“整数环的所有理想均为主理想”其实就是说“整数环是主理想环”。

理想，特别是（有交换律的）主理想，在某种意义下具有数的性质。我们有时可以 以理想的交类比最小公倍数，以理想的和类比最大公约数，以理想的积（这里的积是子环积）类比数的积。

• 考虑 $\Z$ 意义下的两个主理想 $<12>,<18>$：
  • $<12>\cap<18>=<36>$。
  • $<12>+<18>=<6>$。
  • $<12><18>=<216>$。
• 考虑多项式环上的两个主理想 $<x^2-1>=<(x-1)(x+1)>,<x^3+1>=<(x+1)(x^2-x+1)>$：
  • $<x^2-1>\cap<x^3+1>=<(x-1)(x+1)(x^2-x+1)>$。
  • $<x^2-1>+<x^3+1>=<x+1>$。
  • $<x^2-1><x^3+1>=<(x-1)(x+1)^2(x^2-x+1)>$。

III.商环的性质

定义：考虑环 $\R$ 上的理想 $\bb I$：对于 $\R$ 中的元素 $a$，令 $[a]$ 表示 $a+\bb I$，即元素 $a$ 在 $\R$ 模 $\bb I$ 意义下的 剩余类。

那么，易验证 $\pi:\R\to\bb{R/I},x\mapsto[x]$ 是满同态。称这个同态为 自然同态。

进而因为是满同态，所以其传递满同态能传递的性质：交换律、幺元和逆元。

定理：自然同态 $\pi$ 的核 $\ker\pi=\bb I$。

$\pi$ 首先是加群上的自然同态；在群论学习笔记中我们证过这个定理（商群上自然同态的核为作商的正规子群）。仔细想想，这也是显然的：因为 $x\in[x]$，所以 $\bb I$ 外元素必不能映到 $\bb I$；$\bb I$ 内元素显然映到 $\bb I$。

定理：对于同态 $\varphi:\R\to\R'$，有：

• $\ker\varphi\unlhd\bb R$。
• $\R/\ker\varphi\cong\Im\varphi$。（第一同构定理）

我们在群论时证过群上的同态有核为原像的正规子群，而环上的同态首先是加群上的同态，故 $\ker\varphi$ 首先是加群的正规子群；同时，$\forall a\in\ker\varphi,b\in\R$，有：

• $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)=0'\varphi(b)=0'$，则 $ab\in\ker\varphi$。
• 同理可得 $ba\in\ker\varphi$。

于是其是理想。

第二条定理我们在群论中证过（群论学习笔记中提到的“第一同构定理”），其在加群中成立，故我们只需证明乘法也保持同构即可。

加法中构造的同构是 $\sigma:a\ker\varphi\mapsto\varphi(a)$，易验证其亦是乘法上的同态。

于是其是环上同构。

推论：若上述同态是满的，则有 $\R/\ker\varphi\cong\R'$。

同时，类比群论中的第二、第三同构定理，我们可以得到环论中的第二、第三同构定理：它们的证明在群论中已经被证过的前提下，均是不难的，仿照第一同构定理的证明即可。

第二同构定理：设 $\mathbb R$ 有理想 $\bb{I,J}$。则 $\mathbb{(I+J)/J\cong I/(I\cap J)}$。

第三同构定理：如 $\mathbb I,\mathbb J\unlhd\mathbb R$ 且 $\bb{I\leq J}$（则此时应有 $\mathbb I$ 同时是 $\mathbb J$ 与 $\mathbb R$ 的理想），则 $\mathbb{R/J\cong(R/I)/(J/I)}$。

子环对应定理（类似子群对应定理）：设有满同态 $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R'$。则集合 $\mathbb M=\{\mathbb S:\ker\varphi\leq\mathbb S\leq\mathbb R\}$ 与集合 $\mathbb M'=\{\mathbb S':\mathbb S'\leq\mathbb R'\}$ 间存在双射，且该双射保持包含关系。

同理有理想对应定理：设有满同态 $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R'$。则集合 $\mathbb M=\{\mathbb I:\ker\varphi\unlhd\mathbb I\unlhd\mathbb R\}$ 与集合 $\mathbb M'=\{\mathbb I':\mathbb I'\unlhd\mathbb R'\}$ 间存在双射，且该双射保持包含关系。

第一同构定理（？）：对于满同态 $\varphi:\bb{R\to R'}$，且 $\bb{I'\unlhd R'}$，则令 $\bb I=\varphi^{-1}(\bb I')$（这里 $\varphi^{-1}$ 是取原像的意思，即所有映到 $\bb I'$ 的元素构成的集合），则 $\bb{I\unlhd R}$，且 $\bb{R/I\cong R'/I'}$。

这个定理我在网上并没有找到出处（网上常见的第一同构定理即为前文叙述的第一同构定理），仅在《近世代数（第三版）》，编者 朱平天，李伯葓，邹园，科学出版社，2021 中 P88 看到（此书也是本文梳理知识点的范文），且该书中将其称为“第一同构定理”。看都看到了那就顺便证一下吧。

考虑自然同态 $\pi:\R'\to\bb{R'/I'}$：其是满同态。则考虑 $\varphi$ 与 $\pi$ 的复合 $\pi\varphi$：其是 $\R\to\bb{R'/I'}$ 的满同态，且 $x\mapsto\varphi(x)+\bb I'$。

则 $\ker(\pi\varphi)=\{x\in\R|\varphi(x)+\bb I'\subseteq\bb I'\}=\{x\in\R|\varphi(x)\in\bb I'\}=\bb I$。

由我们证过的定理，$\ker(\pi\varphi)\unlhd\R$ 且 $\R/\ker(\pi\varphi)\cong\bb{R'/I'}$，即 $\bb{I\unlhd R}$，且 $\bb{R/I\cong R'/I'}$。

IV.素理想与极大理想

在理想的引入过程中，我们曾提到 交换环 中理想具有某些数的性质：它甚至可以支持类似 $\gcd$ 和 $\text{lcm}$ 等操作。这就不由得让我们考虑因数分析中的“骨架”：质数。环中是否存在与质数性质类似的理想呢？

若 $a$ 是 $b$ 的因数，则在整数环中，应有 $<b>\leq<a>$。于是我们即可用因数来描述质数，进而用理想的包含关系来描述具有质数性质的理想。

质数的定义，其一：大于一的整数，除 $1$ 和自身再无其它因数。

于是我们可以 定义 交换环中一个理想是 极大理想 当且仅当其是真理想（即不仅含零元素亦不为全集），且不存在除全集外包含其的其它理想。

质数的定义，其二：大于一的整数，对于任两个整数的乘积，若该整数是乘积的因数，则其须为两个乘积因子之一的因数。

于是我们可以 定义 交换环 $\R$ 中一个理想 $\bb P$ 是 素理想 当且仅当 $\forall a,b\in\bb R,ab\in\bb P$ 应有 $a\in\bb P$ 或 $b\in\bb P$。显然一个环是其自身的素理想（因为和极大理想不同，素理想不要求是真理想）。

以 $\Z_{12}$ 为例。

• $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ 是其理想，但非真理想，更非极大理想，但是素理想。
• $\{0,3,6,9\}$ 是理想，也是真理想，且是极大的，且是素理想。
• $\{0,4,8\}$ 是理想，但非极大，也非素，因为：
• $\{0,2,4,6,8,10\}$ 是理想，且其包含前者；且前者有 $2\times 2=4$，但不包含 $2$。事实上，本理想是极大的，也是素的。

定理：在交换幺环 $\R$ 上的理想 $\bb P$，有：$\bb P$ 是 $\R$ 的素理想等价于 $\bb{R/P}$ 是整环。

$\Rightarrow$：商环继承母环的性质，所以商环亦是交换幺环。交换幺环离整环差一步无零因子。若 $[a][b]=[0]$（回忆一下，$[x]$ 表示元素 $x$ 对应的剩余类），即 $[ab]=0$，等价于 $ab\in\bb P$。又因为 $\bb P$ 是素理想，所以有 $a\in\bb P$ 或 $b\in\bb P$，即等价于 $[a]=[0]$ 或 $[b]=[0]$，也即商环不存在零因子，是整环。

$\Leftarrow$：还是要从无零因子下手：性质写成若 $ab\in\bb P$ 则 $a\in\bb P$ 或 $b\in\bb P$，就是素理想。

定理：在交换幺环 $\bb R$ 上的理想 $\bb M$，有：$\bb M$ 是 $\R$ 的极大理想等价于 $\bb{R/M}$ 是域。

我们之前说过，交换幺环到域仅差逆元，因为所有元素均存在逆元直接意味着无零因子。

$\Rightarrow$：令 $[a]$ 为 $\bb{R/M}$ 中的某个非零元素，则 $a\notin\bb M$。考虑构造一个结构 $\bb N=\bb M+a\bb R$：易验证其加法封闭，易验证其乘法封闭，则其成子环；同时易验证其是理想。并且，因为 $a\R$ 中包含单位元，所以有 $\bb{M\leq N}$。又因为 $a\notin\bb M$ 但 $a\in\bb N$ 所以 $\bb{M<N}$。但是因为 $\bb M$ 是极大的所以仅可能为 $\bb{N=R}$。于是 $\bb N$ 中包含元素 $1$，也即存在 $b\in\bb M,c\in\bb R$，使得 $1=b+ac$；于是 $[1]=[b]+[ac]$；又因 $b\in\bb M$ 所以 $[b]=[0]$，则 $[1]=[ac]$，那么 $[c]$ 即是 $[a]$ 的逆元。

$\Leftarrow$：和上一个类似，令 $\bb N$ 是理想且 $\bb{M<N}$，我们要证 $\bb{N=R}$。考虑在 $\bb N$ 中但不在 $\bb M$ 中元素 $a$，因可逆即存在 $[ac]=[1]$，则 $1-ac\in\bb M$，则 $1-ac\in\bb N$；又 $a\in\bb N$ 且 $\bb N$ 是理想所以 $ac\in\bb N$，所以 $1\in\bb N$；能发现，如果一个理想包含幺元，则其必是该环本身，即 $\bb{N=R}$。

推论：在交换幺环中，极大理想必是素理想。

但是，在非幺环中则不必然。比如说 $4\Z$ 就是 $2\Z$ 的极大理想但非素理想。

IV.域论

本节我们重点考虑各种各样的域。

I.扩域：从环到域

挖补定理：设 $\bb S$ 是 $\bb R$ 的子环，且存在 $\bb{S'\cong S}$，并且 $\bb S'\cap\R=\varnothing$，则存在一个环 $\R'$，满足 $\bb S'\leq\bb R'$，且 $\bb{R'\cong R}$。

稍微想想，觉得恒河里啊！

如何构造呢？我们考虑一种最简单粗暴的构建方法，并通过改变乘法和加法的定义来实现同构：

定义 $\bb R'=\bb S'\cup(\bb{R\setminus S})$（其中 $\setminus$ 是集合删去符号，即自集合中删去某些元素），并令 $\varphi$ 为 $\bb{S\to S'}$ 的同构，此时定义 $\tau:\bb{R\to R'},\tau(a)=\begin{cases}\varphi(a)&(a\in\bb S)\\a&(a\in\bb{R\setminus S})\end{cases}$。

显然这个 $\tau$ 是双射。

尝试构造 $\oplus$ 和 $\otimes$ 两种运算吧：事实上，对于 $\tau(a)\otimes\tau(b)$ 和 $\tau(a)\oplus\tau(b)$（以前者为例）：

• 若 $ab\in\bb S$，则 $\tau(a)\oplus\tau(b)=\varphi(ab)$。
• 否则 $\tau(a)\oplus\tau(b)=ab$。

易验证其保持运算。因此其成环。

$\bb S'$ 成 $\R'$ 的子环也是易证的。

整数环是整环；但是我们通过人为定义整数的逆元的方式，将整数环扩充为有理数域，完成了从环到域的跃迁；一个更一般的环是否也能通过扩域的方式变成域呢？

我们首先发现，这个环必须是无零因子环。但是这就足够了吗？

我们会发现，在交换环中，无零因子就够了；但是在非交换环中，还需要一些别的性质。因为性质过于复杂，我们这里不予分析，感兴趣的同学可以仔细搜索，以下仅考虑交换、无零因子群。

定理：每个无零因子的交换环 $\R$ 都可扩充为域 $\bb F$。

有整数环到有理数域的过程中，我们其实是定义了 $(a,b)$ 的二元组表示 $\dfrac ab$ 的意义，同时还要将值相等的 $\dfrac ab$ 看作同一个数——这其实是在构建一个等价类。

于是我们首先要找到一个合适的方法来描述这个构建等价类的流程：考虑笛卡尔积 $\R\times\R^+$（回忆起 $\R^+$ 指环剔除零元外的部分），并且定义等价关系 $\sim$：对于 $(a,b),(a',b')\in\R\times\R^+$，$(a,b)\sim(a',b')$ 当且仅当 $ab'=a'b$（注意因为交换律的存在所以乘法顺序其实不重要）。易验证其确实是等价关系。

于是我们可以定义 $\dfrac ab$ 表示 $(a,b)$ 所在的等价类，并且定义集合 $\Q=\{\dfrac ab|a\in\R,b\in\R^+\}$，并且定义 $\Q$ 上的乘法 $\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd},\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}$。易验证这个新定义的加法和乘法满足性质：运算结果不与每个等价类选取的单位元有关。

这个环中的零元是 $\dfrac 0a$，同时不存在零因子；同时，易发现其中存在幺元 $\dfrac aa$；$\dfrac ab$ 的逆元 $\dfrac{-a}b$；在 $a\neq 0$ 时，$\dfrac ab$ 的逆元 $\dfrac ba$；交换律、结合律等东西易验证。则其成域。

最后我们只需证明存在一个 $\R$ 到 $\Q$ 某子环的同态即可（显然 $\R\cap\Q=\varnothing$）。这是简单的：令 $a\mapsto\dfrac{ab}{b}$ 即可：易验证其确实是子环，且该映射确实是同态。

由上述证明，我们可以为每个无零因子的交换环找到其对应的域，其中元素构成是 $\{ab^{-1}|a\in\R,b\in\R^+\}$（假如 $b^{-1}$ 无定义则可以被看作是一个被人为引入环内使其扩充为域的元素）。通过上述方式构建而成的新域被称作 商域 或 分式域。

遗憾地是，虽然被称作商域，但是其并非商环的扩展：虽然其确实是一个商的形式罢了。

为了避免给大家留下这种印象，接下来会将其统称为分式域。

定义：同构的环，分式域也同构。

挺显然的。

在上述定理中令同构的环为自同构，即可进而得到如下的定理：同一个环对应的全体分式域均同构。

定理：分式域是最小扩域。

看上去比较显然，因为对分式域中所有东西分析，会发现丢掉它就会违背域的某种性质。

II.多项式环

我们一开始就给出了多项式环（比如说 $\Z[x_1,x_2,\dots]$，$\C[x_2,x_2,\dots]$ 之类）的大致定义：这也是符合常见多项式定义的。

现在给出更标准的定义：对于某交换幺环 $\R'$，考虑其一个含幺子环 $\R$；$\R'$ 中有元素 $\alpha$，一个元素 $\sum\limits_{i=0}^n a_i\alpha^i$，其中 $a_i\in\R$，$n$ 是自然数；这个元素是一个 $\R'$ 中元素（因积、和等关于 $\R'$ 封闭），可记作 $f(\alpha)$，称为 $\R$ 上一个关于 $\alpha$ 的 多项式，$a_i$ 称为其 系数，$a_i\alpha^i$ 称为其中的一 项。$n+1$ 被称为为多项式的 项数。

通过将更高次项的系数赋为零，我们可以将有限多个多项式的项数看作是相同的（统一看作项数最大多项式的项数）。

我们用 $\R[\alpha]$ 表示 $\alpha$ 上关于 $\alpha$ 的多项式构成的集合。易验证其是环，称作 多项式环。可以发现，其是 $\R'$ 上包含 $\R$ 和 $\alpha$ 的最小子环。若 $\alpha\in\R$，则 $\R[\alpha]=\R$。

定义：对于 $\R'$ 若 $\sum a_ix^i=0\Rightarrow a_0=a_1=\dots=a_n=0$，则称 $x$ 是 $\R$ 上的未定元。我们以下主要考虑未定元的多项式。称 $x$ 在 $\R$ 上的多项式是 一元多项式。

对于一元多项式，称其系数非零的最高次项的次数为该多项式的 次数，$\deg f(x)$ 即为多项式 $f(x)$ 的次数；该项为该多项式的 首项；零多项式没有次数。

之后几个很显然的 定理：

• 和的次数不大于两个和因子次数较大者。
• 积的次数不大于两个积因子次数之和。
• 当且仅当两个积因子的最高次项系数非零因子，有前一条定理中两者相等。

证明比较简单，只要发现由未定元的定义，两个系数不完全相同的多项式值也不相同，进而可以直接由系数唯一确定多项式，然后就直接对多项式的系数表示进行分析即可。

定理：域 $\bb F$ 上的多项式环 $\bb F[\alpha]$ 是线性空间。（这里的 $\alpha$ 不要求是未定元）

这里的线性空间指关于 多项式的加法 以及 多项式与 $\bb F$ 中元素的数乘 成线性空间。

直接验证线性空间需要的性质均存在即可。

我们发现未定元的性质还是挺苛刻的：比如说，$\R$ 中元素必然均非未定元（因为 $\R$ 中存在负元，令 $a_0=-xa,a_1=a$ 即为一个值为零的多项式）），进而如果 $\bb{R'=R}$ 则必然不存在未定元。但是我们可以考虑对 $\R'$ 扩大，使其含未定元。

于是有 定理：对于交换幺环 $\R$，存在 $\R$ 上的未定元 $x$（注意由定义，$x$ 不一定 $\in\R$——事实上也不能 $\in\R$，也即 $x$ 应属于一个 $\R$ 的扩环），进而存在一元多项式（注意由定义，只有未定元对应的多项式才能被称作是一元多项式）环 $\R[x]$。

首先构造一个无限数列环 $\bb P'$：其中的每个元素均为长度为无限的数列 $\{a_0,a_1,\dots\}$，要求 $a_i\in\R$，且仅能有有限项非零）。定义数列的加为按项加，数列的负元为按项取反，数列的积为卷积。易验证其是交换幺环：幺元为除零项为 $1$ 外，其它项均为零的数列。

构建映射 $\varphi:\bb{R\to P'},a\mapsto\{a,0,0,\dots\}$。易验证是单同态。

因为 $\bb{R\cap P'}=\varnothing$，所以由我们之前证过的挖补定理，存在 $\R$ 的扩域 $\R'$ 满足 $\bb{R'\cong P'}$。

令 $x=(0,1,0,0,\dots)$：若在 $\bb P$ 中 $a_0+a_1x+\dots+a_nx^n=0$，则经整理可发现在 $\bb P'$ 中 $(a_0,a_1,\dots,a_n,0,0,0,\dots)=(0,0,\dots)$，进而 $a$ 全零。

定义：带余除法 是对于 $\R[x]$ 中的多项式 $f(x)$ 和多项式 $g(x)\neq0$，找到商多项式 $q(x)$ 和余多项式 $r(x)$ 的流程，满足：

1. $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$。
2. $r(x)=0$ 或 $\deg r(x)<\deg g(x)$。

同时，带余除法可以保证 $q(x),r(x)\in\R[x]$。（这通过模拟带余出发的流程可证）

但是需要注意的是，并非所有的多项式环均存在带余除法：因为带余除法首先是除法，除法就涉及到逆元，而在一些环中根本不存在逆元。事实上，只要 $g(x)$ 的首项系数 可逆（注意到可逆的意思仅仅指某个数存在逆元，并非所有数均存在逆元），即可进行带余除法。这是比较显然的，大家可以手动模拟带余除法的流程，这里就不证了。

虽然，就算首项系数不可逆也有可能可以执行带余除法（比如说在 $\Z[x]$ 中，$2x+1$ 的首项系数就不可逆，但是 $4x^2+8x+1$ 这种多项式仍然可以与其带余除法）。

定义：若带余除法中得到 $r(x)=0$，则称 $g(x)$ 整除 $f(x)$ 或者 $f(x)$ 被 $g(x)$ 整除，记作 $g(x)|f(x)$。

定理：域 $\bb F$ 上的一元多项式环 $\bb F[x]$ 中所有真理想都是主理想。

考虑理想 $\bb I$：其中有一次数最低的非零多项式 $g(x)$。则 $<g(x)>\subseteq\bb I$。

考虑对于 $\bb I$ 中的一个元素 $f(x)$ 关于 $g(x)$ 作带余除法（因为是域所以首项必然可逆），则 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$。

由带余除法，$r(x)\in\bb I$。又 $g(x)$ 是其中次数最低的多项式，所以仅能有 $r(x)=0$，则 $f(x)=g(x)q(x)$。

又因为 $<g(x)>$ 是理想，而 $f(x)=g(x)q(x)$，所以 $f(x)\in<g(x)>$，因此 $\bb I\subseteq<g(x)>$。

于是 $<g(x)>=\bb I$。

这个证明同时可以推出，多项式环中真理想（也即主理想）中所有元素均被该主理想生成元整除。

最后，我们引出 多元多项式 的定义：对于一个环 $\R$，其可以依次对元 $x_1,x_2,\dots,x_n$ 扩域，得到域 $\R[x_1][x_2]\dots[x_n]$，亦可记作 $\R[x_1,x_2,\dots,x_n]$，即一个 多元多项式环。

其中的每个多元多项式可以用 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{i_1,i_2,\dots,i_n}a_{i_1,i_2,\dots,i_n}x_1^{i_i}x_2^{i_2}\dots x_n^{i_n}$ 来描述：其中仅有有限个 $a_{i_1,i_2,\dots,i_n}$ 非零。

注意到这里的 $x_1,\dots,x_n$ 不一定要是未定元。

同一元多项式的未定元一样，多元多项式的未定元亦要求 $f(x_1,x_2,\dots,x_n)=0\Rightarrow a_{i_1,i_2,\dots,i_n}=0(i_1,i_2,\dots,i_n\in\N)$，此时称这些未定元为 无关未定元。

定理：对于任何交换幺环 $\R$ 以及任何正整数 $n$，均可找到 $\R$ 上的 $n$ 个未定元 $x_1,x_2,\dots,x_n$，进而存在 $\R$ 上的 $n$ 元多项式环 $\R[x_1,x_2,\dots,x_n]$。

直接从一元开始归纳即可。

在本节的最后，我们来理解一下多项式的本质：一元多项式是引入了一个元（将环的定义域中引入了一个元）；多元多项式依次引入了多个元；引入的未定元相当于是开了一个新维度，这个维度使得在线性空间上关于每一项彼此独立。

III.扩域：从域到域

本章我们来研究域的进一步扩张。

定义：给定域 $\bb F$，找到一个包含其的域 $\bb E$（这里的包含不仅是指元素包含，更是指 $\bb F$ 中的乘法、加法相关性质在 $\bb E$ 中被继承），这样的行为被称作 $\bb F$ 扩域 或 扩张 得到 $\bb E$，可以用扩域 $\bb{E/F}$ 来表示。（注意这里的符号仅表示扩张，不表示商环或商群或其它东西，因此为避免混淆下文如果要用该符号前方一定会带上“扩域”或“扩张”的定语，或者干脆不使用符号表示；扩域和扩张是相同的东西，在下文中常常会被混用，希望大家不要介意）

定义：扩域 $\bb{E/F}$ 上的 线性空间 为：

• 定义域为 $\bb E$。
• 加法是 $\bb E$ 中元素的加法，点乘是 $\bb F$ 中元素与 $\bb E$ 中元素的乘法。
• 易验证其确实是线性空间：加法封闭；乘法封闭；乘法对加法有分配律；乘法间有结合律（并且结合完后乘数仍然是 $\bb F$ 中元素，因为 $\bb F$ 对加法封闭）。

定义：设有域 $\bb F$ 与其扩域 $\bb E$。对于 $\bb{S\subseteq E}$，称 $\bb E$ 中所有包含 $\bb{F\cup S}$ 的子域的交集称为 $\bb F$ 添加 $\bb S$ 后得到的扩域，记作 $\bb F(\bb S)$。如果 $\bb S$ 是有限集 $\{s_1,s_2,\dots,s_n\}$，亦可记作 $\bb F(s_1,s_2,\dots,s_n)$。特别地，添加单个元素得到的 $\bb F(\alpha)$ 被称作 单纯扩域 或 单扩域，此时 $\alpha$ 被称作该扩张的 本原元。（注意一个扩张的本原元可能不止一个，因为对于不同的 $\alpha$ 和 $\beta$ 可能出现 $\bb F(\alpha)=\bb F(\beta)$）

显然，$\bb{F(S)}$ 是包含 $\bb{F\cup S}$ 的最小域。同时，其中元素是一切形如 $\dfrac{f_1(t_1,t_2,\dots,t_m)}{f_2(t_1,t_2,\dots,t_m)}$ 的元素，其中 $t_1,\dots,t_m$ 是 $\bb S$ 中的任意有限个元素，$f_1(t_1,t_2,\dots,t_m),f_2(t_1,t_2,\dots,t_m)$ 是 $\bb F$ 上 $t_1,t_2,\dots,t_m$ 的两个多项式，且 $f_2(t_1,t_2,\dots,t_m)\neq0$。

定理：$\bb F(\bb S_1\cup\bb S_2)=\bb F(\bb S_1)(\bb S_2)=\bb F(\bb S_2)(\bb S_1)$。

把三个域中的元素用 $\dfrac{f_1(t_1,t_2,\dots,t_m)}{f_2(t_1,t_2,\dots,t_m)}$ 展开，然后说明该有的东西全都有即可。

于是我们可以将添加有限集合的过程转化为有限次单纯扩域。也即，$\bb F(s_1,s_2,\dots,s_n)=\bb F(s_1)(s_2)\dots(s_n)$。

定义：设有域 $\bb F$ 与其扩域 $\bb E$，令 $\alpha\in\bb E$；若存在 $\bb F[x]$ 中的非零元素 $f(x)$ 使得 $f(a)=0$，则称 $\alpha$ 满足 $f(x)$；或称 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的 根，$f(x)$ 是 $\alpha$ 的 零化多项式；此时亦可称 $\alpha$ 是 $\bb F$ 上的 代数元。反之，若不存在这样的 $f(x)$（即对全体非零的 $f(x)$ 都有 $f(a)\neq0$），则称 $\alpha$ 上的 超越元。显然，一个元若非代数元，则为超越元。

若 $\alpha$ 是代数元，则称 $\bb F(\alpha)$ 为 $\bb F$ 的 单代数扩域；同理，超越元对应 单超越扩域。

若 $\bb E$ 的元均为 $\bb F$ 上代数元，则称 $\bb E$ 为 $\bb F$ 的 代数扩域。

“单代数扩域”与“代数扩域”仅有一字之差，我们不由得思考其它们有什么联系。事实上，单代数扩域必然是代数扩域，但是证明要在证完数个引理后才能给出。

我们先举几个例子以更深刻地认识代数元和超越元吧。

• $\bb F$ 中元素都是 $\bb F$ 的代数元。（$f(x)=x-a$，则 $f(a)=0$）
• $\sqrt 2,\sqrt 3,i$ 都是有理数域 $\Q$ 的代数元。
• $\pi,e,3^{\sqrt 2}$ 都是 $\Q$ 的超越元。（它们都是经典的超越数：即不可表为整系数方程根的数，证明不表。所以我们其实可以发现，代数元和超越元其实是有理数域上的代数数和超越数在更普适的域上的扩展）
• 复数域中所有数都是实数域的代数元。（$a+bi$ 是 $f(x)=x^2-2ax+a^2+b^2$ 的根）

依照上文，我们可以将有限集合的扩域看作若干次单纯扩域。于是我们可以针对单纯扩域 $\bb F(\alpha)$ 展开分析。先考虑其是单代数扩域的场合。

定义：对于域 $\bb F$ 和 $f(x)\in\bb F[x]$，且 $\deg f(x)\geq1$，若 $\forall g(x)h(x)=f(x)$（其中 $g(x),h(x)\in\bb F[x]$）均有 $g(x)\in\bb F$ 或 $h(x)\in\bb F$，则称 $f(x)$ 是 $\bb F$ 上的 不可约多项式。

可以发现这是一个与素理想相似的定义。

比如说，全体一次多项式均是不可约多项式；$x^2-2$ 是 $\Q$ 上的不可约多项式（但却不是 $\R$ 上的不可约多项式）。

定义：令域 $\bb F$ 和其扩域 $\bb E$，$\alpha\in\bb E$，称 $\bb F[x]$ 中次数最低且首项系数为 $1$ 的零化多项式为 $\alpha$ 的 极小多项式，该多项式的次数称为 $\alpha$ 在 $\bb F$ 上的次数。若不存在零化多项式，称 $\alpha$ 在 $\bb F$ 上 不具有极小多项式。（显然，代数元总是存在极小多项式，而超越元总是不存在）

定理：代数元对应的极小多项式唯一（因此，它就不只是次数极小的零化多项式，还是次数最小的零化多项式，因此极小多项式也有别称 最小多项式），这是因为：

定理：设 $\bb E$ 是 $\bb F$ 的扩域，且 $\alpha\in\bb E$，则以下命题等价：

• $\alpha$ 是代数元。
• 同态 $\varphi:\bb F[x]\to\bb F[\alpha],f(x)\mapsto f(\alpha)$ 的核 $\ker\varphi$ 可以被写作 $<p(x)>$ 的形式，且 $<p(x)>\neq 0$。同时，$\bb F[\alpha]\cong\bb F[x]/<p(x)>$。
• 存在零化多项式 $p(x)$。
• 存在极小多项式 $p(x)$。
• $\bb F[\alpha]$ 在 $\bb F$ 上的线性空间维数有限。
• $\bb F[\alpha]$ 是域，且 $\bb F[\alpha]=\bb F(\alpha)$。

$(1)\Rightarrow(2)$：因为是代数元所以存在 $h(x)\neq 0$ 使得 $h(\alpha)=0$。所以 $\ker\varphi\neq 0$。我们之前又证过，多项式环上的真理想都是主理想，而 $\ker\varphi$ 是真理想，所以必然存在这样的 $p(x)$ 生成 $\ker\varphi$。由我们证过的一系列商环同态定理，可得 $\bb F[\alpha]\cong\bb F[x]/<p(x)>$。

$(2)\Rightarrow(3)$：考虑 $(2)$ 中的 $p(x)$：若其可约，则存在 $g(x)h(x)=p(x)$，且 $0<\deg g(x),\deg h(x)<\deg p(x)$。因此有 $g(\alpha)h(\alpha)=p(\alpha)=0$。因为是域，域上不存在零因子，所以 $g(\alpha)=0$ 或 $h(\alpha)=0$，不妨令 $g(\alpha)=0$。则 $g(x)\in\ker\varphi=<p(x)>$，于是由我们之前证过生成元整除主理想中元素，$p(x)|g(x)$。又 $0<\deg g(x)<\deg p(x)$，则出现矛盾，$p(x)$ 不可约。

$(3)\Rightarrow(4)$：假定 $p(x)$ 首项系数为一（因为是域，乘法存在逆元，所以可以这么做）。考虑一个极小多项式 $g(x)$（注意到我们此时尚未证明极小多项式唯一，因此目前我们认为 $g(x)$ 仅仅是众多次数最小的多项式中任意一个），作带余除法 $p(x)=g(x)q(x)+r(x)$。于是 $r(\alpha)=p(\alpha)-g(\alpha)q(\alpha)=0$。又因为 $\deg r(x)<\deg g(x)$ 或 $r(x)=0$ 但 $g(x)$ 极小所以仅可能是 $r(x)=0$ 所以 $p(x)=q(x)g(x)$。因为 $p(x)$ 是不可约多项式，而 $g(x)\notin\bb F$，所以仅可能是 $q(x)\in\bb F$，又 $p(x),g(x)$ 首项系数均为 $1$，所以仅可能是 $q(x)=1$，此时 $p(x)=g(x)$。注意到这表明对于任一极小多项式 $g(x)$ 均有 $p(x)=g(x)$，所以这恰恰表明了仅有唯一的极小多项式，也即 $p(x)$。

• 从 $(1)\Rightarrow(4)$ 的推理，证明了每个代数元都存在唯一的极小多项式 $p(x)$。
• 这得到一个 推论：不可约多项式的某个根的极小多项式是该多项式的因式。

$(4)\Rightarrow(5)$：令 $\deg p(x)=n$，于是对于一切 $\bb F[\alpha]$ 中的 $f(x)$，可有带余除法 $f(x)=p(x)q(x)+r(x)$，且 $r(x)$ 可以写成 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}r_ix^i$（但是首项不一定是 $r_{n-1}x^{n-1}$，因为 $r_{n-1}$ 可能为零）。因此对于 $\alpha$，任一 $f(\alpha)$ 可以被 $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ 通过加法和点乘生成。又若 $1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ 线性相关，则存在一组不全为零的系数 $a_0,a_1,\dots,a_{n-1}$ 使得 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}a_i\alpha^i=0$，那么其对应的多项式 $a(\alpha)=0$，但 $\deg a(x)<\deg p(x)$，与 $p(x)$ 的极小矛盾，因此不存在这样的系数，$1,\alpha,\dots,\alpha^{n-1}$ 构成一组基。于是，$\bb F[\alpha]$ 对应的 线性空间的维数即为极小多项式的次数，也即 $\dim\bb F[\alpha]$ 等于 $\alpha$ 在 $\bb F$ 上的次数。

• $(4)\Rightarrow(5)$ 的推理为我们在域论与线性代数间架起桥梁。

$(5)\Rightarrow(6)$：$\bb F\subseteq\bb F[\alpha]\subseteq\bb E$，$\bb{E,F}$ 都是域，所以 $\bb F[\alpha]$ 至少是整环。又 $\bb F[\alpha]$ 成线性空间，且其维数为 $n$，则对于任何非零的 $k(\alpha)\in\bb F[\alpha]$，$1,k(\alpha),k(\alpha)^2,\dots,k(\alpha)^n$ 线性相关，则存在一组不全为零的系数 $a_0,a_1,\dots,a_n$ 使得 $\sum\limits_{i=0}^na_ik(\alpha)^i=0$。考虑最小的 $i$ 使得 $a_i\neq0$，则 $k(\alpha)^i\sum\limits_{j=i}^na_jk(\alpha)^{j-i}=0$。又 $\bb F[\alpha]$ 是整环，所以不存在零因子，而 $k(\alpha)^i$ 显然不可能为零，故仅可能 $\sum\limits_{j=i}^na_jk(\alpha)^{j-i}=0$。因为是整环所以存在逆元，所以 $k(\alpha)\sum\limits_{j=i+1}^n(-\dfrac{a_j}{a_i}k(\alpha)^{n-i-1})=1$，则 $k(\alpha)$ 可逆，所以 $\bb F(\alpha)$ 是域。显然，$\bb F\cup\{\alpha\}\subseteq\bb F[\alpha]\subseteq\bb F(\alpha)$（第一个包含显然；第二个包含是 $\bb F(\alpha)$ 的展开定义带来的）；但是又须有 $\bb F(\alpha)\subseteq\bb F[\alpha]$（因为 $\bb F(\alpha)$ 是一切包含 $\bb F\cup\{\alpha\}$ 的域的交），所以仅可能 $\bb F[\alpha]=\bb F(\alpha)$。

• $(5)\Rightarrow(6)$ 得到了一种用多项式描述扩域的方法。

最后我们还要有一步 $(6)\Rightarrow(1)$，以让整个证明实现闭环。其实很简单，把 $(5\Rightarrow 6)$ 的推理反过来处理处理就能找到一个多项式满足 $p(\alpha)=0$，就不证了。

到这里，我们已经完全理解了单代数扩域的相关性质。单超越扩域既然是单代数扩域的反面，那么只需将上述性质取反，即可得到：

定理：设 $\bb E$ 是 $\bb F$ 的扩域，且 $\alpha\in\bb E$，则以下命题等价：

• $\alpha$ 是 $\bb F$ 上的超越元。
• 同态 $\varphi:\bb F[x]\to\bb F[\alpha],f(x)\mapsto f(\alpha)$ 的核 $\ker\varphi=0$。
• $\bb F[\alpha]$ 对应的线性空间是无限维的。
• $\bb F[\alpha]$ 不是域。

定义：设 $\bb E$ 是 $\bb F$ 的扩域，$\bb E$ 的线性空间的维数记作 $[\bb{E:F}]$，称为 $\bb E$ 在 $\bb F$ 上的 次数。次数有限则称 $\bb E$ 是 $\bb F$ 的 有限扩域，反之若是无限则是 无限扩域。

比如说，复数域是实数域的有限扩域，且 $[\C:\R]=2$（为什么？因为 $a+bi$ 的极小多项式 $p(x)=x^2-2ax+a^2+b^2$，我们分析过极小多项式的次数就等于线性空间的维数），而实数域是有理数域的无限扩域（因为超越数是有理数域上的超越元）。

定理：有限扩域必是代数扩域。

不妨令 $\bb F$ 有限扩域得 $\bb E$。对于每个 $\alpha\in\bb E$，$\bb F(\alpha)$ 是 $\bb E$ 在 $\bb F$ 上的线性空间（其维数有限）的子空间，故该子空间维数亦有限，于是 $\alpha$ 是代数元。

通过这个定理，我们终于可以把之前说过的“单代数扩域必然是代数扩域”的坑填掉了：因为单代数扩域必是有限扩域。

但是反之不亦然，也即有限扩域不一定是单代数扩域：其甚至不一定是单纯扩域。

我们将在下一节讨论什么样的有限扩域是单纯扩域。

定理：设有扩域 $\bb{G/F}$ 和 $\bb{H/G}$，且两次扩域均是有限扩域，那么 $\bb H$ 是 $\bb F$ 的有限扩域，且$\bb{[H:F]=[H:G][G:F]}$。

这个定理很符合感性认知。理性证明的话，就考虑两次扩域线性空间的基，我声称两组基中两两元素之积构成的集合是 $\bb H$ 在 $\bb F$ 上线性空间的一组基。验证是简单的。

定义：这个定理中的 $\bb G$ 被称作 $\bb{H/F}$ 的 中间域（也即同时是 $\bb H$ 的子域和 $\bb F$ 的扩域的域），扩张 $\bb{G/F}$ 被称作扩域 $\bb{H/F}$ 的 子扩域 或者 子扩张。

定义：对于 $\bb F[x]$ 中的多项式 $f(x)$，若 $f(x)$ 在 $\bb F$ 的扩域 $\bb E$ 上可以分解为一次多项式之积但在 $\bb E$ 的任何真子域中都无法被分解，则称 $\bb E$ 是 $f(x)$ 在 $\bb F$ 上的 分裂域。

可以发现，分裂域是包含 $f(x)$ 的全体根的最小扩域。因此，分裂域又称 根域。并且，因为其可以归于若干次根的单纯扩张，所以分裂域必是有限扩域、单纯扩域。

定义：若 $\bb E$ 上的所有多项式在 $\bb E[x]$ 中都能分解为一次多项式之积，则称 $\bb E$ 是 代数闭域。

显然，代数闭域无法再进行真正意义的（指有新增元素的）代数扩域。同时，我声称对于每个域都存在代数扩域，其是代数闭域。但是这个证明过于复杂，本文将不予述说。

IV.有限域与素域

定义：有限域 是一种特殊的域，其仅含有限个元素（也即其存在一个有限的阶）。

定义：素域 为不含真子域的域。

比如说，有理数域、模质数的剩余类域，均是素域。

定理：素域 $\bb P$ 要么同构于有理数域，要么同构于模质数的剩余类域，且若 $\operatorname{char}\bb P$ 为质数则同构于模质数的剩余类域，为零则同构于有理数域。

回忆一下，特征 $\operatorname{char}\bb P$ 指幺元自加得到零元的次数，且我们证过其要么为质数要么为零。

考虑构造映射 $\varphi:\Z\to\bb P,n\mapsto n\cdot1$（这里的点乘的意义是 $1$ 自加 $n$ 次；$1$ 是幺元）。易验证该映射是环同态。

若 $\operatorname{char}\bb P$ 是质数 $p$，则 $\ker\varphi$ 为 $p$ 的全体整数倍，那么该映射的 $\Im \varphi\cong\Z/<p>=\Z_p$。因为 $\Z_p$ 是域，所以 $\Im\varphi$ 是域，而其不能是 $\bb P$ 的真子域且其非空，则仅可能是 $\bb P$ 本身，于是 $\Z_p\cong\bb P$。

若其是零，则可以发现 $\ker\varphi=0$，于是 $\Im\varphi\cong\Z$。我们之前证过，同构的域则分式域亦同构，于是 $\Im\varphi$ 的分式域同构于 $\Z$ 的分式域，即 $\Q$；$\Im\varphi$ 的分式域显然是 $\bb P$ 的子域，同上分析可得其仅可能是 $\bb P$ 本身，于是 $\Q\cong\bb P$。

定理：有限域 $\bb E$（此时其特征显然不可能为零）的阶为其特征的 $n$ 次幂，其中 $n$ 为 $\bb E$ 在它的素子域 $\bb P$（注意素子域必然唯一，因为域与域的交仍是域）上的次数。

$\bb E$ 在 $\bb P$ 上的次数即为对应线性空间的基大小；考虑一组基，则 $\bb E$ 中的元素全体可以写成基中元素以 $\bb P$ 中元素为系数的线性组合；且，任两组线性组合得到的结果必然不同（不然相减就会出现线性相关的方程）；基的大小为 $n$，每个元素前的系数都有 $p=|\bb P|$ 种不同填法，因此 $|\bb E|=p^n$。

定义：包含 $p^n$ 个元素的有限域被称作 $p^n$ 阶 Galois 域，可记作 $\mathrm{GF}(p^n)$。

定理：令 $\bb E=\mathtt{GF}(p^n)$，$\bb P$ 为其素子域，则 $\bb E$ 是多项式 $x^{p^n}-x$ 在 $\bb P$ 上的分裂域。

$\bb E^+$（回忆起其表示环/域中剔除零元的部分）关于乘法成群，该群的阶为 $p^n-1$。因为群中元素的阶必然为群的阶的因子，所以 $\alpha_i^{p^n-1}=1$（$\alpha_i\in\bb E^+$）。又因为 $0^{p^n}=0$，所以对于 $\bb E$ 中的所有 $\alpha_i$ 均有 $\alpha_i^{p^n}=\alpha_i$。所以 $\bb E$ 中全体元素都是方程 $x^{p^n}-x$ 的根，且因为 $p^n$ 次方程仅有不超过 $p^n$ 个根所以 $\bb E$ 中元素即为方程根全集，那么 $\bb E$ 自然就必须是 $\bb P$ 的分裂域、

定理：有限域是其素子域的单纯扩域。

令有限域为 $\bb E$，其素子域为 $\bb P$，且 $|\bb E|=q$。

考虑 $\bb E^+$ 与乘法成交换群；在群论学习笔记中，我们曾证过一条定理“在交换群中，设所有元素的阶的最大值是非无穷大数 $m$，则所有元素的阶都必为 $m$ 的因数”，则令 $\bb E^+$ 中阶最大的元素的阶为 $m$，则对于 $\bb E$ 中的所有 $\alpha_i$ 均有 $\alpha_i^m=1$。所以 $\bb E$ 中全体元素都是方程 $x^m-1=0$ 的根，所以多项式 $x^m-1=0$ 至少有 $q-1$ 个不同的根，则 $m\geq q-1$；又由 Lagrange 定理可得 $m|(q-1)$，故仅可能是 $m=q-1$；存在元素的阶等于群的阶，这样的群是循环群，存在一个生成元 $\alpha$，于是 $\bb E=\bb P(\alpha)$。

定义：上述生成元被称作有限域的 本原元 或 原根。可以发现，一个有限域的本原元，其实是其素子域的单纯扩域的本原元。

定理：有限域的有限扩域还是有限域。

考虑有限扩域的一组基，然后就能发现扩域中所有元素，是基中元素以有限域中元素为系数的线性组合，一共只有 $n^m$ 种不同方法，其中 $n$ 是有限域大小，$m$ 是扩域的次数。

推论：有限域上的有限扩域是单纯扩域。

V.本原元定理

本节我们要来研究什么样的有限扩域是单纯扩域。

引理：令 $\bb K=\bb F(a,b)$，$\bb F$ 是无限域，且存在有限个 $\bb{K/F}$ 的中间域，则存在 $d$ 使得 $\bb K=\bb F(d)$。

考虑选择某个 $c\in\bb F$，考虑单代数扩张 $\bb F(a+cb)$：其必然是一个中间域。因为 $\bb F$ 无限但中间域有限，所以必然存在 $c_1\neq c_2$ 使得 $\bb F(a+c_1b)=\bb F(a+c_2b)$。记它们都等于 $\bb E$。

然后我们发现，$\bb E$ 中因为存在 $a+c_1b$ 和 $a+c_2b$，所以存在两者的差：$(c_1-c_2)b$。又因为域中存在逆元，所以 $b$ 在域中，进而 $a$ 在域中，那么 $\bb E=\bb K$。可取 $d=a+c_1b$ 或者 $d=a+c_2b$。

举 $\Q(\sqrt2,\sqrt 3)$ 为例，其仅有五个中间域 $\Q,\Q(\sqrt2),\Q(\sqrt3),\Q(\sqrt 6),\Q(\sqrt2,\sqrt3)$。易验证 $\Q(\sqrt2+\sqrt3)=\Q(\sqrt2+2\sqrt 3)$，因此 $\Q(\sqrt2+\sqrt 3)=\Q(\sqrt 2,\sqrt 3)$。

推论：反复应用上述引理，可得 $\bb K=\bb F(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 时，若 $\bb F$ 无限、中间域有限，则存在这样的 $d$。

需要注意的是，这里的 $\bb K$ 不一定是代数扩域，因为 $a$ 中可能存在超越元；但就算是超越扩域，按照上述证明也可以找到这样的 $d$（即将其写成单超越扩域的形式）。

上述描述可以被写成：上述扩域是单纯扩域。

本原元定理：令有限扩域 $\bb{K/F}$，则其是单纯扩域等价于其中间域有限。

若 $\bb F$ 是有限域，那么有限扩域 $\bb{K/F}$ 必然既是单纯扩域，又有有限个中间域（因为 $\bb K$ 必是有限域，拥有有限个子域）。

若 $\bb F$ 是无限域，则 $\Leftarrow$ 我们已证过；$\Rightarrow$ 的话，令 $\bb K=\bb F(a)$，令 $a$ 在 $\bb F$ 上的极小多项式为 $f(a)=0$，对于中间域 $\bb M$，令在 $\bb M$ 上的极小多项式为 $f_{\bb M}(a)=0$。则必有 $f_\bb M(x)|f(x)$。

考虑 $f_{\bb M}(x)=\sum\limits_{i=0}^n m_ix^i$，其中 $m_i\in\bb M$。考虑 $\bb M'=\bb F(m_0,m_1,\dots,m_n)$，则 $\bb M'\subseteq\bb M$，于是 $\bb M$ 是 $\bb M'$ 的扩域；而又因为 $f_\bb M(x)$ 显然亦是 $\bb M'$ 上的零化多项式，所以其应是 $\bb M'$ 上的极小多项式（如果不极小，那么其就不可能是 $\bb M$ 上的极小多项式了）。那么 $\bb{[K:M]=[K:M']}=n$。于是 $\bb{[M:M']=\dfrac{[K:M']}{[K:M]}}=1$，则 $\bb{M'=M}$。

这意味着，若极小多项式相同，那么中间域相同。而又因 $f_\bb M(x)|f(x)$，且 $f(x)$ 的首项系数为一的因式必然是有限的，所以极小多项式有限，所以中间域有限。

VI.Artin 定理

定义：对于域 $\bb F$，若多项式 $f(x)\in\bb F[x]$ 在其分裂域上无重根，则称 $f(x)$ 为 $\bb F$ 上 可分多项式。若一个元对应的最小多项式是可分的，则称其为 $\bb F$ 上的 可分元。如果域扩张 $\bb{K/F}$，$\bb K$ 中所有元都是 $\bb F$ 上的可分元，则称该扩张为 可分扩张。

因为所有元都存在极小多项式，所以可分扩张首先得是代数扩张。

定理：若域扩张链 $\bb{K/M/F}$，其中有 $\alpha\in\bb K$ 是 $\bb F$ 上的可分元，那么 $\alpha$ 是 $\bb M$ 的可分元。

易知 $\bb M$ 上最小多项式 $g(\alpha)$ 是 $\bb F$ 上最小多项式 $f(\alpha)$ 的因式。$f(\alpha)$ 没有重根那么 $g(\alpha)$ 显然不可能有重根。

推论（可分扩张的继承性）：若域扩张链 $\bb{K/M/F}$，$\bb{K/F}$ 是可分扩张，则 $\bb{K/M}$ 是可分扩张。

Artin 本原性定理：令 $\bb K=\bb F(a,b)$ 是 $\bb F$ 的代数扩张，且 $a,b$ 都是可分元，那么 $\bb{K/F}$ 是单代数扩张。

有限域时显然成立。以下考虑无限域。

令 $a,b$ 在 $\bb F$ 上的极小多项式分别是 $f(x)$ 和 $g(x)$，它们的在各自分裂域上根分别是 $a_1=a,a_2,a_3,\dots,a_n;b_1=b,b_2,b_3,\dots,b_m$。

我们找到一个 $c\in\bb F$ 使得 $a+cb=a_i+cb_j$ 仅在 $i=j=1$ 时成立。这是必然可行的，因为移项得上式为 $c\neq\dfrac{a_i-a}{b-b_j}\operatorname{when} i\neq1\operatorname{or}j\neq1$，而因为 $n,m$ 有限而 $\bb F$ 无限所以必然可以找到这样的 $c$。

令 $d=a+cb$。考虑 $h(x)=f(d-cx)\in\bb F(d)[x]$。由 $c$ 的定义，$g(x)$ 与 $h(x)$ 在二者分裂域的“合并”（其实就是 $g(x)h(x)$ 的分裂域）上唯一公共零点是 $b$。那么它们就存在唯一的公因式 $(x-b)$。又 $g(x),h(x)\in\bb F(d)[x]$，所以它们的最大公因式 $(x-b)$ 亦 $\in\bb F(d)[x]$（这是因为同最大公因数一样，最大公因式亦可用辗转相除法求出，而辗转相除的每一步都是带余除法）。于是 $b\in\bb F(d)$。又 $d\in\bb F(d)$，所以 $a\in\bb F(d)$，所以 $\bb F(d)=\bb F(a,b)=\bb K$，即 $\bb K$ 是本原元为 $d$ 的单代数扩张。

但是我们发现，上述证明貌似没有利用可分性的性质……吗？

若不可分，则有可能出现最大公因式是 $(x-b)^p$ 的形式。若 $p$ 就等于域的特征，那么考虑二项式展开：$(x-b)^p=\sum\limits_{i=0}^px^i\dbinom pi(-b)^{p-i}$，就会发现因为特征的性质（$1$ 自加 $p$ 次为零；那么任意数 $a$ 自加 $p$ 次，就可以写成 $p\cdot a=p\cdot(1\times a)=(p\cdot1)\times a=0$，也即所有数其实都可以做一个类似“对特征取模”的过程），有除了首项、末项以外的项全为零；则 $(x-b)^p=x^p+(-b)^p$。于是有 $(-b)^p\in\bb F(d)[x]$，但是域中显然是不一定支持开根之类的操作的，因此 $(-b)^p$ 存在不一定意味着 $b$ 存在。

通过数学归纳法，我们可得 推论：有限可分扩张是单代数扩张。

定义：完备域 或是 完全域 又或是 完美域 是所有不可约多项式都是可分多项式的域。下文称之为完美域（为避免与其它数学领域的相关概念混淆）。

其 等价定义 为，所有代数扩张都是可分扩张的域是完美域。

极小多项式定是不可约多项式。

完美域为我们提供了一种除了研究每个元各自的性质以外的判定可分扩张的方法。

VII.正规扩张

定义：令 $\bb K$ 是 $\bb F$ 的代数扩域，若 $\bb K$ 满足条件：$\bb F[x]$ 中的任一 $n$ 次不可约多项式，或者在 $\bb K$ 中无根，或者 $n$ 个根都在 $\bb K$ 中，则称 $\bb K$ 是 $\bb F$ 的 正规扩域 或 正规扩张。

其 等价定义 是：若对于 $\bb K$ 中所有元素 $a$，其在 $\bb F$ 上的极小多项式在 $\bb K[x]$ 中均可分解为一次多项式之积。（比较罕见地，这样的元素又被称作 正规元：可以发现这是与可分元类似的定义）

这是因为，不可约多项式某个根的极小多项式是其因式。

引理：若 $f(x)$ 是 $\bb F$ 上的 $n$ 次不可约多项式，其有两个不同的根（这两个根不在 $\bb F$ 中）$\alpha$ 和 $\beta$，则单代数扩域 $\bb F(\alpha)\cong\bb F(\beta)$，同构映射取 $g(\alpha)\to g(\beta)$。

这是为什么呢？首先 $g(x)$ 可以对 $f(x)$ 取模（因为 $f(\alpha)$ 和 $f(\beta)$ 均为零），进而 $g(x)$ 只需考虑次数小于 $n$ 的多项式全体即可。且，易验证全体小于 $n$ 次多项式的 $g(\alpha)$ 两两不同（如果相同即做差，得到一个 $\bb F$ 范围内的以 $\alpha$ 为根的多项式，与 $\alpha$ 是不可约多项式的根不符），$g(\beta)$ 同理，则其是双射，此时再验证其是同态就简单了。

通过该引理，我们可以证明 定理：对于 $f(x)\in\bb F[x]$，其在 $\bb F$ 上的分裂域 $\bb E$ 是 $\bb F$ 的正规扩域。

考虑 $f(x)$ 的根 $\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n$，则 $\bb E=\bb F(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$，则我们仅需要证明：

• 对于所有 $\bb F[x]$ 上的不可约多项式 $g(x)$，若其存在某个根 $\alpha\in\bb E$，那么对于其另一个根 $\beta$，应有 $\beta\in\bb E$。

因为 $\alpha\in\bb E$，所以 $f(x)$ 在 $\bb F(\alpha)$ 上的分裂域是 $\bb F(\alpha)(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\bb F(\alpha_1,\dots,\alpha_n)(\alpha)=\bb E(\alpha)=\bb E$，在 $\bb F(\beta)$ 上的分裂域则是 $\bb E(\beta)$。由引理，应有 $\bb F(\alpha)\cong\bb F(\beta)$。易证域同构则分裂域同构，于是 $\bb E\cong\bb E(\beta)$，且对该同构分析可得 $\bb E=\bb E(\beta)$，于是 $\beta\in\bb E$。

同时，该定理的逆 定理 也是成立的，也即：对于有限正规扩域 $\bb{E/F}$，存在 $f(x)\in\bb F[x]$ 满足 $\bb E$ 是 $f(x)$ 在 $\bb F$ 上的分裂域。

考虑 $\bb{E/F}$ 被归为有限次单代数扩张 $\bb F(a_1,a_2,\dots,a_n)$，其中 $a_1,a_2,\dots,a_n$ 均是 $\bb F$ 上代数元，$a_i$ 对应的极小多项式是 $m_i(x)$。因为其有一个根 $a_i$ 在 $\bb E$ 中，所以由正规扩张的定义其所有根均在 $\bb E$ 中。我们令 $m(x)=m_1(x)m_2(x)\dots m_n(x)$，则 $m(x)$ 的所有根均在 $\bb E$ 中，则 $\bb E$ 包含 $m(x)$ 的分裂域；同时，$\bb F(a_1,a_2,\dots,a_n)$ 显然又必是分裂域的子域，而这就等于 $\bb E$，所以 $m(x)$ 的分裂域就是 $\bb E$。

正规扩张的继承性：在域扩张链 $\bb{K/M/F}$ 中，若 $\bb{K/F}$ 是正规扩张，则 $\bb{K/M}$ 是正规扩张。

使用等价定义即可简单证。

定义：一个有限代数扩张 $\bb{K/F}$ 的 正规闭包 是包含 $\bb K$ 的一个极小正规扩张。

也即，正规闭包 $\bar{\bb K}$ 是一个包含 $\bb K$，且满足其所有包含 $\bb K$ 的真子群都不是 $\bb F$ 的正规扩张，但其自身是正规扩张的域。

正规闭包的唯一性证明：易验证正规扩张的交是正规扩张（使用正规元定义即可简单证）。

正规闭包的存在性证明：

因为是有限代数扩张所以 $\bb K=\bb F(a_1,a_2,\dots,a_n)$。令 $p_i(x)$ 为 $a_i$ 的极小多项式，令 $p(x)=\prod p_i(x)$，取 $\bb E$ 是 $p(x)$ 在 $\bb F$ 上的分裂域，显然 $\bb{E/F}$ 是正规扩域，且 $\bb E$ 必然包含 $\bb K$。

既然存在包含 $\bb K$ 的正规扩域，那么就必然存在正规闭包咯：取所有包含 $\bb K$ 的正规扩域求交即可。

事实上，此处的 $\bb E$ 就是正规闭包。

V.Galois 理论

思来想去还是不开新篇了。就在这里，了结这一切吧！！！

I.Galois 群与 Galois 扩张

不要与 Galois 域混淆！$p^n$ 阶 Galois 域是指阶为 $p^n$ 的有限域，记作 $\mathrm{GF}(p^n)$。

定义：对于域扩张 $\bb{K/F}$，$\bb K$ 中所有的保 $\bb F$ 自同构（指 $\bb F$ 中元素全都映到本身，其它元素映射对象任意——但显然必须映射到 $\bb F$ 外）关于自同构的复合构成群。这个群被称作域扩张 $\bb{K/F}$ 的 Galois 群，记作 $\mathrm{Gal}(\bb{K/F})$。

定义：一个域 $\bb K$ 上有自同构群 $\bb G$（不一定是所有自同构构成的群：其可以仅由部分自同构构成），$\bb K$ 中元素 $a$ 是关于 $\bb G$ 的 不动元，当对于 $\bb G$ 中的所有映射都有 $a$ 在其中的像为其自身。$\bb G$ 的全体不动元构成 $\bb K$ 的子域，称作 不动域，记作 $\mathrm{Inv}_\bb K(\bb G)$ 或 $\mathrm{Fix}_\bb K(\bb G)$ 或 $\bb{K^G}$。以下使用第一种记法，且在 $\bb K$ 固定时省略下标。

在本节中，暂记 对于群/环/域 $\bb S$，$\widetilde{\bb S}$ 为其全体子群/子环/子域构成的集合。注意也会有 $\widetilde{\text{something}}$ 之类的效果，在波浪线下方的东西比较长的场合。

定义：考虑域 $\bb K$，定义映射 $\sigma:\widetilde{\bb K}\to\widetilde{\text{Aut}(\bb K)},\bb F\mapsto\text{Gal}(\bb{K/F})$。定义映射 $\tau:\widetilde{\text{Aut}(\bb K)}\to\widetilde{\bb K},\bb G\mapsto\text{Inv}(\bb G)$。这两个映射被统称为 Galois 映射。可以发现，Galois 映射为我们在 $\bb K$ 的全体子集和 $\bb K$ 上自同构的全体子集间架起了桥梁。

令域 $\bb K$，$\bb F,\bb F_1,\bb F_2$ 是其子域，$\bb G,\bb G_1,\bb G_2$ 是其自同构群的子群，则其上的 Galois 映射有着如下的几个 基本性质：

• $\text{Gal}(\bb K/\text{Inv}(\bb G))\supseteq\bb G$。
• $\text{Inv}(\text{Gal}(\bb{K/F}))\supseteq\bb F$。
• 对于 $\bb G_1\subseteq\bb G_2$，有 $\text{Inv}(\bb G_2)\subseteq\text{Inv}(\bb G_1)$。
• 若 $\bb F_1\supseteq\bb F_2$，则 $\text{Gal}(\bb{K/F}_1)\subseteq\text{Gal}(\bb{K/F}_2)$。

定义：正规可分扩张称作 Galois 扩张。（这份资料）

定义：满足 $|\text{Gal}(\bb{K/F})|=[\bb{K:F}]$ 的域扩张称作 Galois 扩张。（这份资料）

定义：若域扩张 $\bb{K/F}$ 的 Galois 群的不动域等于 $\bb F$，则称该扩张为 Galois 扩张。（这份资料）

很奇怪吧？同一种东西居然有三种不同的定义！

在不同参考资料中，我有看到不同的定义（就像上文中正规扩张的两种定义一样），但是它们彼此是等价的。

以下，我们采取 第一种定义 为标准定义，并对其与另外两种定义的等价性作推导。

Galois 扩张的继承性：若域扩张 $\bb{K/M/F}$，$\bb{K/F}$ 是 Galois 扩张，则 $\bb{K/M}$ 是 Galois 扩张。

由正规、可分扩张分别的继承性易得。

有限 Galois 扩张与第二种定义的等价性推导：

令有限 Galois 扩张 $\bb{K/F}$。则由 Artin 定理其显然是单代数扩张，可写成 $\bb K=\bb F(a)$。考虑 $a$ 对应的极小多项式 $f(x)$，令它的根为 $a_1=a,a_2,\dots,a_n$，则 $n=[\bb{K:F}]$。则因为其正规所以其所有根均在 $\bb K$ 中，因为其可分所以无重根。

$\bb K$ 中元素全体即为全体 $\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_ia^i$，其中 $f_i\in\bb F$。令 $\sigma_j:\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_ia^i\mapsto\sum\limits_{i=0}^{n-1}f_ia_j^i$，则 $\sigma_j$ 显然是 $\bb K$ 上的自同构。又其把 $\bb F$ 中元素映到其自身，所以每个 $\sigma_j$ 都属于 $\text{Gal}(\bb{K/F})$。然后，任取一个 $\text{Gal}(\bb{K/F})$ 中的映射，令其将 $a$ 映到 $a_i$（其必然仅能映到另一个根，不然就不是自同构），然后使用本原元相关生成方法就能确定整个映射：会发现就是 $\sigma_i$。于是所有 Galois 群中的映射都可以被表示为一个 $\sigma$ 映射，则 $|\text{Gal}(\bb{K/F})|=n=[\bb{K:F}]$。

无限 Galois 扩张本文不予考虑。

有限 Galois 扩张与第三种定义的等价性推导：

设有限 Galois 扩张 $\bb{K/F}$，首先由 Galois 映射的基本性质可知令 $\bb G=\text{Gal}(\bb{K/F})$，$\bb F'=\text{Inv}(\bb G)$，则 $\bb F'\supseteq\bb F$。因此，$\text{Gal}(\bb{K/F'})\subseteq\text{Gal}(\bb{K/F})=\bb G$。另一方面，$\text{Gal}(\bb{K/F'})=\text{Gal}(\bb K/\text{Inv}(\bb G))\supseteq\bb G$，于是 $\text{Gal}(\bb {K/F'})=\bb G=\text{Gal}(\bb{K/F})$。因为 $\bb{K/F'/F}$ 是域扩张链且 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩张所以由 Galois 扩张的继承性 $\bb{K/F'}$ 亦是 Galois 扩张。于是 $|\text{Gal}(\bb{K/F})|=[\bb{K:F}],|\text{Gal}(\bb{K/F'})|=[\bb{K:F'}]$，则 $\bb{[K:F]=[K:F']}$，由此可得 $\bb{[F':F]}=1$，也即 $\bb{F'=F}$，则 $\text{Inv}(\text{Gal}(\bb{K/F}))=\bb F$。

推论：对于两个有限 Galois 扩张 $\bb{K/F}_1,\bb{K/F}_2$，$\bb F_1\supseteq\bb F_2\Leftrightarrow\text{Gal}(\bb{K/F}_1)\subseteq\text{Gal}(\bb{K/F}_2)$。

$\Rightarrow$ 显然。$\Leftarrow$，有 $\text{Inv}(\text{Gal}(\bb{K/F}_1))\supseteq\text{Inv}(\text{Gal}(\bb{K/F}_2))$，直接套上一条定理即可。

Artin 引理：令 $\bb G\leq\text{Aut}(\bb K)$，且 $|\bb G|$ 有限。则 $[\bb K:\text{Inv}(\bb G)]\leq|\bb G|$。

不妨令 $|\bb G|=n$，其中所有的自同构为 $\{\sigma_1=\text{Id},\sigma_2,\dots,\sigma_n\}$，其中 $\text{Id}$ 是自同构。然后再令 $\bb K$ 中任意 $n+1$ 个不一定两两不同（因为 $\bb K$ 的大小甚至有可能不足 $n$）的元素 $a_1,a_2,\dots,a_{n+1}$。我们要证明其在以 $\text{Inv}(\bb G)$ 中元素为系数时线性相关。

考虑列一个奇怪的方程组 $\begin{cases}\sum\sigma_1(a_i)x_i=0\\\sum\sigma_2(a_i)x_i=0\\\vdots\\\sum\sigma_{n}(a_i)x_i=0\end{cases}$。这个方程组有 $n+1$ 个变量和 $n$ 个方程，故定是存在非全零解的，设一组非零变量最少的非零解为 $\{b_1,b_2,\dots,b_{n+1}\}$。调整下标使 $b_1\neq0$，因为域中存在逆元所以可以缩放使得 $b_1=1$。

我声称，此时有对于全体 $b_i$，都有 $b_i\in\text{Inv}(\bb G)$。

考虑反证：不妨令 $b_2\notin\text{Inv}(\bb G)$。则存在一个映射，在其中 $b_2$ 不映到其自身。因为 $\sigma_1$ 是自同构，所以不妨令 $\sigma_2$ 是该映射，即 $\sigma_2(b_2)\neq b_2$。

在方程组中带入 $x_i=b_i$，然后对方程组的每一项在左右两边同时作用 $\sigma_2$。因为同构传递的分配律之类，所以可得 $\begin{cases}\sum\sigma_2(\sigma_1(a_i))\sigma_2(b_i)=0\\\sum\sigma_2(\sigma_2(a_i))\sigma_2(b_i)=0\\\vdots\\\sum\sigma_2(\sigma_{n}(a_i))\sigma_2(b_i)=0\end{cases}$。

因为 $\bb G$ 是群，所以 $\sigma_i\mapsto\sigma_2\circ\sigma_i$ 显然是一个置换，上述方程组本质没有改变，所以 $\sigma_2(b_i)$ 也构成一组解。两组解相减，得到 $b_i-\sigma_2(b_i)$ 也是一组解。又幺元在同构中保持，且 $b_1$ 是幺元，所以 $b_1-\sigma_2(b_1)$ 是幺元。所以 $\{0,b_2-\sigma_2(b_2),b_3-\sigma_2(b_3),\dots,b_{n+1}-\sigma_2(b_{n+1})\}$ 显然是一组解，且因为 $b_2\neq\sigma_2(b_2)$ 所以这不是一组全零解，但因为 $0-\sigma_2(0)=0$ 所以新解在保持 $\{b_i\}$ 解中原本是零的位置不变的前提下，将原本非零的 $b_1$ 变成了零，得到了零元更多的一组非零解，与 $\{b_i\}$ 是零元最多的非零解的前提互斥。所以仅可能是不存在这样的 $b_2$，对于全体 $b_i$，都有 $b_i\in\text{Inv}(\bb G)$。

使用 Artin 引理可以得到两个与前述定理平行的 定理：

• 对于域 $\bb K$ 和 $\text{Aut}(\bb K)$ 的有限子群 $\bb G$，$\text{Gal}(\bb K/\text{Inv}(\bb G))=\bb G$。

记 $\bb F=\text{Inv}(\bb G),\bb G'=\Gal(\bb{K/F})$。则我们要证 $\bb{G'=G}$。

如果 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩域，则 $|\bb G'|=|\Gal(\bb{K/F})|=[\bb{K:F}]$。又由 Artin 引理，$[\bb{K:F}]\leq|\bb G|$，所以 $|\bb G'|\leq|\bb G|$；但是显然有 $\bb G'\supseteq\bb G$，于是仅可能 $\bb{G'=G}$。

于是下证 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩域。因为第二、第三种定义会出现重复论证，所以仅能用第一种定义，尝试证明其正规性和可分性。

由 Artin 引理知其是有限扩域（因为 $\bb G$ 是有限子群）。设 $\bb F[x]$ 中不可约首一多项式 $p(x)$，其有根 $a\in\bb K$。考虑 $\bb G$ 中的全体自同构为 $\{\eta_1=\text{Id},\eta_2,\dots,\eta_n\}$。记 $a_i=\eta_i(a)$。$a_i$ 中可能有重复的，我们将其去重后，设前 $m$ 个映射对应的 $a_i$ 两两不同。考虑构造一个 $m$ 次多项式 $g(x)=\prod\limits_{i=1}^m(x-a_i)$。显然，$g(x)$ 是一个 $\bb K[x]$ 上的无重根多项式。

取一个 $\sigma\in\bb G$，并对于其的定义域扩张为 $\bb K[x]$：我们认为 $\sigma(x)=x$。易验证扩张定义域的 $\sigma$ 是 $\bb K[x]$ 域上的自同构，则 $\sigma(g(x))=\prod\limits_{i=1}^m(x-\sigma(a_i))$。因为映射成群，所以 $\sigma(a_i)=(\sigma\circ\eta_i)(a)$ 仍是 $\{a_i\}$ 中的一个，且 $\{a_i\}=\{\sigma(a_i)\}$。所以 $\sigma(g(x))=g(x)$，说明 $g(x)$ 的系数在任意 $\sigma\in\bb G$ 下不变，所以 $g(x)$ 的系数全都属于 $\bb F=\Inv(\bb G)$，于是 $g(x)\in\bb F[x]$。

因为 $p(x)\in\bb F[x]$，所以对于全体 $a_i$ 都有 $p(a_i)=p(\eta_i(a))=\eta_i(p(a))=0$。这说明 $g(x)$ 的根必是 $p(x)$ 的根，且因 $g(x)$ 无重根则必有 $g(x)|p(x)$。而 $p(x)$ 不可约则仅可能 $p(x)=g(x)$。$p(x)$ 的所有根都在 $\bb K$ 中，于是该扩张是正规的。

不可约多项式 $p(x)$ 无重根，则其是可分多项式，那么 $\Inv(\bb G)$ 是完美域，$\bb K/\bb F$ 就必然可分了，于是 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩张。

这也可以被单独摘出一个定理来：一个域是其上自同构域的有限子域的不变群的 Galois 扩张。

• 令 $\bb K$ 是域，$\bb G_1,\bb G_2$ 是 $\Aut(\bb E)$ 的有限子群，则 $\bb G_1\supseteq\bb G_2\Leftrightarrow\Inv(\bb G_1)\subseteq\Inv(\bb G_2)$。是前一个证明的简单推论。

正规性引理：对于有限正规扩张 $\bb{K/F}$ 和其中间域 $\bb M$，$\bb{M/F}$ 是正规扩张当且仅当 $\forall\sigma\in\text{Gal}(\bb{K/F})$ 都有 $\sigma(\bb M)=\bb M$。

$\Rightarrow$：令 $\bb M$ 是 $m(x)$ 在 $\bb F$ 上的分裂域，令其所有互异根为 $a_1,a_2,\dots,a_n$，则 $\bb M=\bb F(a_1,a_2,\dots,a_n)$。因为 $m(a_i)=0$，所以 $\sum m_ja_i^j=0$，两边同时取 $\sigma\in\text{Gal}(\bb{G/F})$ 得 $\sum\sigma(m_j)\sigma(a_i)^j=0$。又 $m(x)\in\bb F[x]$ 则 $m_j\in\bb F$ 则 $\sigma(m_j)=m_j$，于是 $m(\sigma(a_i))=0$，则 $\sigma(a_i)\in\{a_i\}$。又 $\sigma$ 是双射，所以 $\{\sigma(a_i)\}=\{a_i\}$。又 $\bb M$ 中所有元素均可以表示成 $a_i$ 以 $\bb F$ 中元素为系数的线性组合，所以 $\sigma$ 在 $\bb M$ 范围内是双射，即 $\sigma(\bb M)=\bb M$。

$\Leftarrow$：反过来说即可。证明 $\bb M$ 是 $\prod(x-a_i)$ 的分裂域是简单的。

II.Galois 基本定理

这一章的东西是如此重磅（其实也有上一章的东西内容太多的原因），以至于我最终还是觉得单独开一张，讲完这些被冠以“基本定理”的一听上去就很高大上的东西。

Galois 基本定理：令 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩域，则有如下的结论：

• Galois 映射是双射。回忆起，Galois 映射指两个映射 $\sigma:\widetilde{\bb K}\to\widetilde{\text{Aut}(\bb K)},\bb F\mapsto\text{Gal}(\bb{K/F})$ 与映射 $\tau:\widetilde{\text{Aut}(\bb K)}\to\widetilde{\bb K},\bb G\mapsto\text{Inv}(\bb G)$。
• $\wtd{\bb K}$ 与 $\wtd{\Aut(\bb K)}$ 间存在如下的 Galois 对应：
  • $\bb H_1,\bb H_2\in\wtd{\Aut(\bb K)},\bb H_1\supseteq\bb H_2\Leftrightarrow\Inv(\bb H_1)\subseteq\Inv(\bb H_2)$；
  • $\bb H\in\wtd{\Aut(\bb K)},|\bb H|=[\bb K:\Inv(\bb H)],(\Gal(\bb{K/F}):\bb H)=[\Inv(\bb H):\bb F]$；（回忆一下，$(\bb{G:H})$ 子群指数是群论中的概念，也即左（右）陪集分解的大小；这里左侧的两个结构都是群，而右侧的两个结构都是域，虽然都出现了冒号单射意义完全不同）
  • $\bb H\unlhd\Gal(\bb{K/F})\Leftrightarrow\Inv(\bb H)$ 是 $\bb F$ 的正规扩域，且此时能推出 $\Inv(\bb H)/\bb F$ 必是 Galois 扩域，且$\Gal(\Inv(\bb H)/\bb F)\cong\Gal(\bb{K/F})/\bb H$。（注意此处右方的两个 $/$ 符号，前者是域扩张符号，后者是商群符号）

以下图阐述上述关系：

$$\begin{matrix} &\bb F&\subseteq&\Inv(\bb H)&=&\bb M&\subseteq&\bb K\\ &&&\uparrow\tau&&\downarrow\sigma\\ &\Gal(\bb{K/F})&\geq&\bb H&=&\Gal(\bb{K/M})&\geq&\{\text{Id}\} \end{matrix}$$

一步一步来证明吧。为方便，我们记 $\bb G=\Gal(\bb{K/F})$。

先证 $\tau$ 是双射。任取 $\bb{K/F}$ 的中间域 $\bb M$。由继承性，$\bb{K/M}$ 是 Galois 扩张。记 $\bb H=\Gal(\bb{K/M})$，则显然 $\bb H\subseteq\bb G$。那么 $\Inv(\bb H)=\bb M$（这个我们证过）。所以 $\tau$ 是满射。

而又因若 $\Inv(\bb H_1)=\Inv(\bb H_2)$ 则因 $\Inv(\bb H_1)$ 和 $\Inv(\bb H_2)$ 互相包含则 $\bb H_1$ 和 $\bb H_2$ 亦互相包含则它们相等，于是不同的 $\bb H$ 映到不同的 $\Inv(\bb H)$，所以 $\tau$ 是单射。

于是 $\tau$ 是双射。

再证 $\sigma$ 是双射。任取 $\bb H\leq\bb G$，考虑令 $\bb M=\Inv(\bb H)$，则必有 $\bb{K/M/F}$ 是域扩张链。那么 $\Gal(\bb{K/M})=\Gal(\bb K/\Inv(\bb H))=\bb H$，这说明 $\sigma$ 是满射，然后同上一致证得单射，则 $\sigma$ 是双射。

Galois 对应的第一条是易得的。

第二条，考虑取 $\bb H\leq\bb G$，令 $\bb M=\Inv(\bb H)$，则 $\bb H=\Gal(\bb{K/M})$，于是 $|\bb H|=|\Gal(\bb{K/M})|=[\bb{K:M}]=[\bb E:\Inv(\bb H)]$，$|\bb G|=|\Gal(\bb{K/F})|=[\bb{K:F}]=[\bb K:\bb M][\bb M:\bb F]=|\bb H|[\bb M:\bb F]$。

由 Lagrange 定理，$|\bb G|=|\bb H|(\bb{G:H})$。所以自然有 $\bb{[M:F]=(G:H)}$，也即 $(\Gal(\bb{K/F}):\bb H)=[\Inv(\bb H):\bb F]$。

第三条其实是最重磅的。因此，我们还需要提前证一些东西：

令 $\bb H$ 是 $\bb G=\Gal(\bb{K/F})$ 的某一子群，$\bb M=\Inv(\bb H)$。取 $\eta\in\bb G$，易证 $\eta(\bb M)$ 仍是域且是 $\bb K$ 的子域（自同构传递各种关系），且因 $\bb F$ 中元素在 $\eta$ 下不变所以有 $\bb F\subseteq\eta(\bb M)\subseteq\bb K$。

引理：$\bb{H\unlhd G}\Leftrightarrow\eta(\bb M)=\bb M$ 对于一切 $\eta\in\bb G$ 均成立。

$\Rightarrow$：则对于一切 $\eta\in\bb G,\eta\bb H=\bb H\eta$，即对于一切 $\xi\in\bb H$ 存在 $\xi'\in\bb H$ 使得 $\eta\xi=\xi'\eta$，则对于 $m\in\bb M,\xi\in\bb H$，存在 $\xi'\in\bb H$ 使得 $\xi(\eta(m))=(\xi\eta)(m)=(\eta\xi')(m)=\eta(\xi'(m))$。又 $\bb M$ 是 $\bb H$ 的不变域，则 $\xi'(m)=m$，于是 $\xi(\eta(m))=\eta(m)$，可知一切 $\eta(m)$ 在 $\bb H$ 中一切 $\xi$ 的作用下都不变，故 $\eta(m)\in\bb M$，则 $\eta(\bb M)\subseteq\bb M$；反之，对于一切 $\xi'$ 均可找到 $\xi$ 使得 $\xi'(\eta^{-1}(m))=\eta^{-1}(\xi(m))=\eta^{-1}(m)$，于是 $\eta^{-1}(m)\in\bb M$，于是 $m\in\bb\eta(\bb M)$，也即 $\eta(\bb M)\supseteq\bb M$；于是仅可能 $\eta(\bb M)=\bb M$。

$\Rightarrow$：对于一切 $\xi\in\bb H,m\in\bb M$，有 $(\eta\xi\eta^{-1})(\eta(m))=(\eta\xi)(m)=\eta(\xi(m))=\eta(m)$。这意味着 $\eta(\bb M)\subseteq\Inv(\eta^{-1}\bb H\eta)$，即 $\bb H$ 的共轭子群；类似上面的反过来再证一遍，最终得 $\eta(\bb M)=\Inv(\eta^{-1}\bb H\eta)$。又 $\eta(\bb M)=\bb M=\Inv(\bb H)$，则 $\bb H=\eta^{-1}\bb H\eta$，自然得 $\bb H$ 是正规子群。

回头来证明第三 Galois 对应定理。

$\Rightarrow$：由引理 $\bb G$ 中 $\bb K$ 上的自同构必然是 $\bb M$ 上的自同构，那么 $\bb K$ 上保 $\bb F$ 自同构必然是 $\bb M$ 上保 $\bb F$ 自同构，且可以构建 $\Gal(\bb{K/F})\to\Gal(\bb{M/F})$ 上的满同态：$\nu:\eta\mapsto\bar\eta$，其中 $\bar\eta$ 是 $\eta$ 的定义域削减到 $\bb M$ 上的结果。进而由满同态传递的信息可得 $\Inv_{\bb M}(\bb\Gal(\bb{M/F}))=\bb F$：这就是 Galois 扩张的第三定义。于是 $\bb{M/F}$ 是 Galois 扩张。

$\bb M$ 中任意元素在 $\bb H_0=\ker\nu$ 中的任一映射下不变，所以 $\Inv(\bb H)=\bb M\subseteq\Inv(\bb H_0)$，立刻得 $\bb H\supseteq\bb H_0$。但是又因 $\bb M=\Inv(\bb H)$ 可得 $\bb H\subseteq\bb H_0$，综合得 $\bb H=\bb H_0$。由群同态基本定理，可得 $\Gal(\bb M/\bb F)\cong\bb G/\bb H$。

$\Leftarrow$ 只需由正规扩域推知正规子群即可。这里我们使用前述引理，只需证明对于一切 $\eta$ 都有 $\eta(\bb M)=\bb M$ 即可。考虑 $\bb M$ 中元素 $m$，其最小多项式为 $p(x)$。因为 $\eta$ 是自同构所以其必然将 $p(x)$ 的根映到根，也即 $\eta(m)$ 仍是根。又因为正规扩域的性质，立刻得 $\eta(m)\in\bb M$。于是立刻得 $\eta(\bb M)\subseteq\bb M$。因为其对于一切 $\eta$ 成立，对 $\eta^{-1}$ 自然成立，所以 $\eta^{-1}(\bb M)\subseteq\bb M$，于是 $\eta(\bb M)=\bb M$。

VI.Galois 理论的应用

抽象的东西全给咱抽象完了，我们来整点具象的活吧！

O.可解群

才发现之前群论的时候有这么个坑没有填，但是没法不填啊。就在这里，开一个 O 的章节把它速通掉吧。

定义：关于群 $\bb G$ 的一个有限长序列 $\bb G=\bb G_0\unrhd\bb G_1\unrhd\dots\unrhd\bb G_r=\{e\}$（其中，$e$ 是单位元）被称作 $\bb G$ 的一个 正规群列，相邻两群的商群 $\bb G_i/\bb G_{i+1}(i=0,1,\dots,n-1)$ 被称作该正规群列的 因子群。

注意，因为正规性没有传递性，所以这仅保证相邻的群存在商群，不保证间隔的群存在商群。

显然，正规群列必然存在，因为 $\bb G\unrhd\{e\}$ 就是一个合法的正规群列。

定义：称一个群是 可解群，当且仅当其存在某个正规群列，其中每个因子群都是交换群。

因为交换群的子群、商群都是交换群，所以交换群必是可解群。

定义：对于群 $\bb G$ 和其中两个元素 $a,b$，其确定了 $\bb G$ 中的一个元素 $[a,b]=a^{-1}b^{-1}ab$，称为 换位子。为什么要起这么个怪名字呢？因为 $ba[a,b]=ab$，即换位子在右乘待换位的元素后，会调换两个元的位置。显然，$[a,b]$ 与 $[b,a]$ 不一定相同：它们互为彼此的逆元。

为什么要定义这么个怪东西？因为换位子为我们提供了一种验证是否是交换群的方法：一个群是交换群，当且仅当其中全体换位子都是单位元。

定义：一个群的 换位子群 是其所有换位子所张成的子群，记作 $[\bb G,\bb G]$。事实上，换位子群的另一种定义是，所有有限个换位子的积构成的子群——易验证其与基本定义相同。

同时，任取 $g\in\bb G$，则 $g^{-1}[a,b]g=g^{-1}a^{-1}b^{-1}abg=[g^{-1}ag,g^{-1}bg]$，有限个换位子 $d_1,d_2,\dots,d_n$（其中每个 $d_i$ 都是一个换位子）的积对应的 $g^{-1}d_1d_2\dots g_ng$ 可以被写成 $(g^{-1}d_1g)(g^{-1}d_2g)\dots(g^{-1}d_ng)$，也是换位子的积。于是 定理：换位子群是正规子群。

定理：换位子群的商群是交换群，且换位子群是极小且最小的使得商群是交换群的正规子群：所有使得商群是交换群的正规子群都拥有换位子群作为子群。

考虑将商群中的元素 $g[\bb G,\bb G]$ 记作 $\bar g$，易知 $\bar g^{-1}=\overline{g^{-1}}$，然后考虑商群中换位子 $\bar g^{-1}\bar h^{-1}\bar g\bar h=\overline{g^{-1}h^{-1}gh}=(g^{-1}h^{-1}gh)[\bb G,\bb G]$。又因为 $g^{-1}h^{-1}gh$ 是换位子，属于换位子群，所以 $(g^{-1}h^{-1}gh)[\bb G,\bb G]=[\bb G,\bb G]$，而 $[\bb G,\bb G]$ 是商群中单位元，故换位子群的商群是交换群。

同时，任取一个交换商群，都可以由商群中换位子是单位元简单推知母群中换位子仍是单位元，则换位子群显然是该正规子群的子群。

定理：当 $n\geq5$ 时，$n$ 阶对称群 $\text S_n$ 不是可解群。（回忆起，$n$ 阶对称群即为所有 $n$ 阶置换构成的群）

对于 $k$ 使用归纳法，证明：当正规群列中 $\bb G_{k-1}$ 包含 $\text S_n$ 中所有 3-轮换时，$\bb G_k$ 中必然包含 $\bb S_n$ 中全体 3-轮换。若该证明成立，则不可能存在 $\bb G_n=\{\text{Id}\}$，因为仅包含单位置换——即对称群中的单位元——的群显然不含全体 3-轮换。

在 $1\sim n$ 中任取 $5$ 个两两不同的整数 $i,j,k,l,m$：这在 $n\geq5$ 时必然可行。令 $\sigma$ 为 $(i,j,k)$ 的轮换，$\tau$ 为 $(k,l,m)$ 的轮换，然后考虑 $[\sigma,\tau]$ 就会发现其得到了 $(i,k,l)$。这意味着对于所有的 $(i,k,l)$ 都可以通过赋值使得其成为某个换位子，于是 $\bb G_{k+1}$ 必须包含所有的 $(i,k,l)$，也即包含所有的 3-轮换。

换位子群必然存在换位子群，记作 $[\bb G,\bb G]^2$，由此可以继续递归下去。且，递归的流程构成一个 换位群列 $\bb G\unrhd[\bb G,\bb G]\unrhd[\bb G,\bb G]^2\unrhd\dots$。

定理：$\bb G$ 是可解群，等价于存在自然数 $k$ 使得 $[\bb G,\bb G]^k=\{e\}$。换句话说，即其换位群列有限步终于单位元群。

必要性：由定义知存在正规群列 $\bb G=\bb G_0\unrhd\bb G_1\unrhd\dots\unrhd\bb G_r=\{e\}$ 使得每个因子群是交换群。

于是，$\bb G_1\supseteq[\bb G_0,\bb G_0]=[\bb G,\bb G],\bb G_2\supseteq[\bb G_1,\bb G_1]\supseteq[\bb G,\bb G]^2,\dots$（第二条是因为 $[\bb G,\bb G]$ 是 $\bb G_1$ 的子群，则 $[\bb G,\bb G]$ 中换位子必是 $\bb G_1$ 中换位子，于是 $[\bb G,\bb G]$ 的换位子群必是 $\bb G_1$ 换位子群的子群。如此归纳，最终得 $\{1\}=\bb G_r\supseteq[\bb G_{r-1},\bb G_{r-1}]\supseteq[\bb G,\bb G]^r$，这表明 $[\bb G,\bb G]^r=1$。

充分性显然，因此此时换位群列即为一合法正规群列。

因为子群的换位子群是母群换位子群的子群，所以自然知 推论：可解群的子群是可解群。

I.代数方程根号求解

所有能被加、减、乘、除、开方表出的数，都落在一个域中；我们只需判定一个多项式的根是否属于这个域即可。其实 IV、V 两章中我们就是在研究这些东西。

比如说，多项式 $f(x)=x^2+x-1$ 的根为 $\dfrac{-1\pm\sqrt 5}{2}$，其不属于 $\Q$，但属于 $\Q(\sqrt5)$。一般地，一个首一多项式 $f(x)=x^2-bx+c$ 可以看成 $\bb F=\Q(b,c)$ 上的多项式，而把其求根公式 $\sqrt{b^2-4c}=\sqrt\Delta$ 扩充进域得到的扩域 $\bb F(\sqrt\Delta)$ 中包含其所有根。总之，对于二次多项式必然存在一个（两层） 扩域塔 $\bb F\subsetneqq\bb F(\sqrt\Delta)$（注意此处特地强调了扩域前后的域不能相同：如果相同的话就不需要扩域了，可以直接令 $\bb F$ 本身作为一层的扩域塔）包含其所有根，其中 $\Delta\in\bb F$。三次、四次的多项式也可以不断扩域构建扩域塔，每一层的扩域添加了前一层扩域中的元素的三次根或四次根。

如果是五次方程呢？比如说，$f(x)=x^5-2$。其根为 $\lambda,\omega\lambda,\omega^2\lambda,\omega^3\lambda,\omega^4\lambda$，其中 $\lambda=\sqrt[5]{2},\omega$ 为五次单位根 $\cos72^\circ+i\sin72^\circ$。通过对 $\omega$ 幂次的大力分析，最终可得一个根号扩域塔 $\Q\subsetneqq\Q(\sqrt[5]2)\subsetneqq\Q(\sqrt[5]2,\sqrt5)\subsetneqq\Q(\sqrt[5]2,\sqrt5,\sqrt{-10-2\sqrt 5})$，其中每一步的扩域次数分别为 $5,2,2$。

我们给出扩域塔的详细 定义：$\bb F[x]$ 中的首一多项式 $f(x)$，称方程 $f(x)=0$ 在 $\bb F$ 上 可用根号求解，如果存在 $\bb F$ 的扩域 $\bb K$ 满足如下条件：

• $\bb K$ 包含了 $f(x)$ 在 $\bb F$ 上的分裂域。
• 存在有限的 根塔（注意根塔不要求每一步都是严格扩域）$\bb F=\bb F_1\subseteq\bb F_2\subseteq\bb F_3\subseteq\dots\subseteq\bb F_{r+1}=\bb K$，其中每一步扩域都是单代数扩域 $\bb F_{i+1}=\bb F_i(d_i)$，且存在 $n_i$ 使得 $d_i^{n_i}=a_i\in\bb F_i$。$\{n_1,n_2,\dots,n_r\}$ 称作根塔的 根次数集。
• 必然可以通过插入适当的中间域，使得每一步扩张的 $n_i$ 都是质数。

我们发现，常规意义下的“可用开方解”，似乎也就是上述流程所描述的了。

定义：其中的每一步 $\bb F(\sqrt[n]a)$ 被称作 $\bb F$ 的 根次数 是 $n$ 的 根号扩域，添加元 $d$ 是 $x^n-a=0$ 的一个根。因为这个多项式不一定是极小多项式，所以扩张的次数不一定是 $n$（但一定小于等于 $n$）。比如说，四次根号扩域 $\Q(\sqrt[4]{-1})$ 的次数其实是二而非四。

好了，具象的东西就研究到这里，来整点抽象的。

定理：设域 $\bb F$ 中含有 $n$ 次原根 $\omega$。（也即，存在某个元素 $\omega\in\bb F$ 使得 $\omega^n=1$，且对于所有的 $1\leq n'<n$ 都有 $\omega^{n'}\neq1$）。

• 任取非零元 $a\in\bb F$。令 $\bb K$ 是 $f(x)=x^n-a$ 在 $\bb F$ 上的分裂域，则 $\Gal(\bb{K/F})$ 必是 $m$ 阶循环群（回忆起循环群是由一个生成元的幂次构成的群，其必为交换群），且 $m|n$。
• 其逆（？）定理是，若存在有限 Galois 扩域 $\bb{K/F}$ 使得 $\Gal(\bb{K/F})$ 是 $n$ 阶循环群，则必存在 $d\in\bb K$ 使得 $d^n=a\in\bb F$ 且 $\bb K=\bb F(d)$。

第一条定理的证明：首先因为 $n$ 次原根的存在所以分裂域中必然无重根（$n$ 个根即为形式上的 $n$ 次根 $\lambda=\sqrt[n]a$，以及其乘以 $\omega$ 的 $1\sim n-1$ 次幂，即 ${\lambda,\omega\lambda,\omega^2\lambda,\dots,\omega^{n-1}\lambda}$，共 $n$ 个两两不同的根），于是 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩张。（这表明其与第二条定理确实是挺像逆定理的）同时，因为 $\omega\in\bb F$，所以 $\bb K=\bb F(\lambda)$。

这表明，若 $\lambda$ 在自同构中的像确定，那么整个自同构也随之确定。同时，因为自同构只能把根变成根，所以 $\lambda$ 会被映到某个 $\omega^i\lambda$，其中 $i\in[0,n)$，记这样的映射为 $\sigma_i$。我们容易发现，映射 $\varphi:\Gal(\bb{K/F})\to\bb U_n,\sigma_i\mapsto\omega^i$ 是一个同态，其中 $\bb U_n$ 是 $n$ 次单位根群，即 $<\omega>$。并且，显然该同态是单同态，于是 $\Gal(\bb{K/F})$ 同构于 $\bb U_n$ 的某个子群，那么其必然是循环群，且其阶是 $n$ 的因数。

第二条定理的证明：因为是有限 Galois 扩域所以可写成 $\bb K=\bb F(d)$。令 $\bb G=\Gal(\bb{K/F})$，则 $\bb G=<\sigma>$。令 $d$ 在 $\sigma^k$ 作用下的像为 $d_k$，然后取 $b_j=\sum\limits_{i=0}^{n-1}d_i^j\omega^i$，其中 $i\in[1,n-1]$。

我声称 $b$ 不能全为零，因为否则因 $\omega^n=1$，即 $(\omega-1)(1+\omega+\dots+\omega^{n-1})=0$，而因 $\omega\neq1$ 则 $0=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega^i$，我们用其作为第一个式子，构成一个标准的 Vandermonde 矩阵；因为它有非零解 $(1,\omega,\dots,\omega^{n-1})$，所以其行列式（是 Vandermonde 行列式）即 $\prod\limits_{0\leq j<i\leq n-1}(d_i-d_j)=0$，则至少存在一对 $i,j$ 使得 $d_i=d_j$，但是因 $\sigma$ 是 $n$ 阶元所以这是不可能的，那么 $b$ 不可能都是零，记该非零元是 $b=b_j$，那么 $b=\sum\limits_{i=0}^{n-1}d_i^j\omega^i=\sum\limits_{i=0}^{n-1}\Big(\sigma^i(d)\Big)^j\omega^i$。两边同时取 $\sigma$，因为 $\sigma(\omega)=\omega$，$\sigma^n=\text{Id},\omega(n)=1$，最终可得 $\sigma(b)=\omega^{-1}b,\sigma(b^2)=\omega^{-2}d^2,\dots,\sigma(b^n)=\omega^{-n}b^n=b^n$，则 $b^n\in\Inv(\bb G)=\bb F$，那么令 $a=b^n$，则 $a\in\bb F$。最后只需证明 $\bb K=\bb F(d)=\bb F(b)$。

因为 $b\in\bb K$，所以必有 $\bb F(b)\subseteq\bb K$。同时，因为 $\sigma(b)=\omega^{-1}b$ 可知 $\sigma$ 将 $\bb F(b)$ 中的数仍映到 $\bb F(b)$ 中，所以将 $\sigma$ 的定义域限制在 $\bb F(b)$ 中后必有 $\sigma\in\Gal(\bb F(b)/\bb F)$。同时，易验证 $\bb G$ 中的 $n$ 个 $\sigma$ 的幂次在定义域限制在 $\bb F(b)$ 中仍然是不同的映射（$b$ 被映到不同的数），于是 $|\Gal(\bb F(b)/\bb F)|\geq n$；而 $|\Gal(\bb F(b)/\bb F)|=[\bb F(b):\bb F],n=[\bb F(d):\bb F]$，即可知 $\bb F(b)=\bb F(d)=\bb K$。

这两个定理共同说明，含 $n$ 次原根的域，其次数为 $n$ 的根号扩域的 Galois 群是性质很好的 $m$ 阶循环群；反之，是 $n$ 阶循环群的 Galois 扩域必是根号扩域。

但是，基域 $\bb F$ 含有 $n$ 次单位根这件事其实是比较困难的。还有一种方法是，考虑直接令添加的多项式是 $x^n-1$，那么就好研究了。

定理：对于域 $\bb F$，多项式 $f(x)=x^n-1$ 在 $\bb F$ 上的分裂域为 $\bb K$，则 $\bb G=\Gal(\bb{K/F})$ 是交换群。

首先，显然有 $\bb K=\bb F(\omega)$，其中 $\omega$ 是 $n$ 次原根。$f(x)=0$ 的根集即为循环群 $\bb U_n=<\omega>$。对于 $\sigma\in\bb G$，其将 $f(x)$ 的根变为根，所以（在定义域限制在 $\bb U_n$ 上时的 $\bar\sigma$）是 $\bb U_n$ 上自同构，并且在确定 $\omega$ 的像后，由 $\omega$ 是扩张的本原元所以整个映射也得以确定，所以这是单射。那么 $\eta:\bb G\to\Aut(\bb U_n),\sigma\mapsto\bar\sigma$ 是一个单同态，则 $\bb G$ 与 $\Aut(\bb U_n)$ 的某个子群同构。因为同构双向传递交换律，所以若 $\bb G$ 的像集是交换群，那么 $\bb G$ 亦是交换群。若 $\Aut(\bb U_n)$ 是交换群，那么其所有子群都是交换群：而我们恰好可以证明 $\Aut(\bb U_n)$ 是交换群，因为一个映射 $\sigma$ 只需知道 $\sigma(\omega)=\omega^i$ 即可确定，记这样的映射为 $\sigma_i$；而显然，$(\sigma_i\circ\sigma_j)(\omega)=\sigma_i(\sigma_j(\omega))=\sigma_i(\omega^j)=\omega^{ij}=(\sigma_j\circ\sigma_i)(\omega)$，因此 $\Aut(\bb U_n)$ 确实是有交换律的。

现在我们介绍判定方程是否可解的核心定理，即 Galois 判别准则：$f(x)\in\bb F[x]$ 可用根号求解等价于 $f(x)$ 在 $\bb F$ 上的分裂域与 $\bb F$ 构成的扩域，该扩域的 Galois 群（这又被称为多项式 $f(x)$ 在 $\bb F$ 上的 Galois 群，记作 $\Gal(f(x),\bb F)$）是可解群。

$\Rightarrow$：可用根号求解，则存在根塔 $\bb F=\bb F_1\subseteq\bb F_2\subseteq\dots\subseteq\bb F_{r+1}=\bb K$，其中 $\bb K$ 包含 $f(x)$ 在 $\bb F$ 上的分裂域。

取 $\bb K$ 在 $\bb F$ 上的正规闭包 $\bar{\bb K}$，则显然根塔可以被进一步延伸至 $\bar{\bb K}$，这样 $\bb{\bar K/F}$ 是正规扩域，我们不妨选择更好的根塔，使得 $\bb{K/F}$ 亦是正规扩域，进一步，因为每一步扩张都是单纯多项式 $x^n-a=0$ 所以其实是 Galois 扩域。

记 $p_i=[\bb F_{i+1}:\bb F_i]$，记 $m$ 为 $p_1,p_2,\dots,p_r$ 中所有不同质数的积，为了运用之前的定理，我们需要插入 $m$ 次单位根 $\omega$。可以在根塔的首位多一步 $\bb F_1/\bb F_0$ 插入 $\omega$，此时 $\bb F_0=\bb F$，新的 $\bb F_i$ 为旧的 $\bb F_i(\omega)$。此时仍然可以保证新的 $\bb K$，即旧的 $\bb K(\omega)$，是 $\bb F$ 的 Galois 扩域。

此时由前面的两个引理，$\bb F_{i+1}/\bb F_i(0\leq i\leq r)$ 的每一步对应的 Galois 群都是交换群。

因为 $\bb{K/F}$ 是 Galois 扩域，所以所有的 $\bb K/\bb F_i$ 都是 Galois 扩域。记 $\bb H_i=\Gal(\bb K/\bb F_i)$，则考虑如下的 Galois 对应图：

$$\begin{matrix} &\bb F_0&\subseteq&\bb F_1&\subseteq&\bb F_2&\subseteq&\dots&\subseteq&\bb F_{r+1}&=&\bb K\\ &\updownarrow&&\updownarrow&&\updownarrow&&&&\updownarrow\\ &\bb H_0&\geq&\bb H_1&\geq&\bb H_2&\geq&\dots&\geq&\{\text{Id}\} \end{matrix}$$

由 Galois 基本定理，每个商群因子 $\bb H_i/\bb H_{i+1}$ 都同构于 $\bb K_{i+1}/\bb K_i$，进而是交换群，所以 $\bb H_0=\Gal(\bb K/\bb F)$ 是可解群。

$\Leftarrow$ 其实就是把流程倒过来，用正规群列来造根塔。通过插入中间群，正规群列的每一步的 Galois 群都可以是质数阶循环群，就把逆定理什么的一套即可。

但是我们还没有搞明白一件事：五次及以上的一般多项式，其 Galois 群究竟是什么呢？

其实就是对其根的置换！因为多项式的分裂域就是基域中添加多项式的根后的结果，只要根的置换确定了，整个置换也就确定了。五次多项式有五个根，其上的 Galois 群同构于不可解的五次对称群，进而就是不可解的了。

II.尺规作图

咕咕咕。

INF.总结

到这里，Galois 理论的相关内容，大致就结束了。

离大学中要学的抽代相比，大概还差一步《整环中的因子分解》。但是因为这玩意（大概）不算普通的环论、域论，所以就咕咕咕了。等啥时候大学上到再说吧。

这其实是一篇半吊子的文章：假如要学域论，那么环那一章其实不用看；假如要学环论，就只需看到环深入就行了。

这里列出各种参考书目：

《近世代数（第三版）》，编者 朱平天，李伯葓，邹园，科学出版社，2021。

《抽象代数基础（第二版）》，唐忠明，高等教育出版社，2012。

《伽罗华与群论》，【英】勒贝尔著，樊识译，哈尔滨工业大学出版社，2014。

《Artin定理——古典数学难题与伽罗瓦理论》，徐诚浩，哈尔滨工业大学出版社，2018。

小时百科 相关内容。

网络上的各路零散的资料。

其实这几本并不一定是抽代的最好参考书目，只不过是图书馆中屈指可数的几本抽代入门书罢了。如果你觉得有更好的编排方式，或者有一些盲点没有写到，也可以私信或评论指出，视情况会加一修改。

终于，把两年前挖的坑填完了……