【模板】树上 k 级祖先

I.I.【模板】树上 k 级祖先

当询问某个点 $x$ 的 $k$ 级祖先时，我们考虑找到其的 $\text{highbit}(k)$ 级祖先 $y$（显然这个可以通过 $O(n\log n)$ 预处理树上倍增得到）。之后，找到 $y$ 所在长链的链顶。我们在链顶处预处理出其所在链中元素，以及其向上链长步以内的所有祖先（显然这部分是 $O(n)$ 的），然后，首先 $y$ 所在链长度必不小于 $\text{highbit}(k)$，因为其子树中有 $x$ 这个节点；这就意味着该链顶处记录了向上向下各不少于 $\text{highbit}(k)$ 级的元素，而 $2\text{highbit}(k)>k$ 又是显然的，故 $x$ 的 $k$ 级祖先一定在其中，直接 $O(1)$ 即可查询得到。复杂度 $O(n\log n)-O(1)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,rt,dep[500100],top[500100],mxd[500100],son[500100],anc[500100][20];
vector<int>v[500100];
vector<int>dw[500100],up[500100];
void dfs1(int x,int fa){
	anc[x][0]=fa,mxd[x]=dep[x]=dep[fa]+1;
	for(auto y:v[x]){
		dfs1(y,x),mxd[x]=max(mxd[x],mxd[y]);
		if(mxd[son[x]]<mxd[y])son[x]=y;
	}
}
void dfs2(int x){
	if(!top[x])top[x]=x;
	dw[top[x]].push_back(x);
	if(son[x])top[son[x]]=top[x],dfs2(son[x]);
	for(auto y:v[x])if(y!=son[x])dfs2(y);
	if(top[x]==x)for(int i=0,j=x;i<dw[x].size()&&j;i++,j=anc[j][0])up[x].push_back(j);
}
int kth(int x,int k){
	if(!k)return x;
	int y=top[anc[x][31-__builtin_clz(k)]];
	if(dep[x]-dep[y]>=k)return dw[y][dep[x]-dep[y]-k];
	return up[y][k-(dep[x]-dep[y])];
}
typedef unsigned int ui;
ui S;
ui get(){S^=S<<13,S^=S>>17,S^=S<<5;return S;}
typedef long long ll;
ll res;
int main(){
	scanf("%d%d%u",&n,&m,&S);
	for(int i=1,x;i<=n;i++){
		scanf("%d",&x);
		if(x)v[x].push_back(i);else rt=i;
	}
	dfs1(rt,0),dfs2(rt);
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d\n",dep[i],top[i]);
	for(int j=1;j<=19;j++)for(int i=1;i<=n;i++)anc[i][j]=anc[anc[i][j-1]][j-1];
	for(int i=1,las=0,x,k;i<=m;i++)x=(get()^las)%n+1,k=(get()^las)%dep[x],res^=1ll*i*(las=kth(x,k));
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}