minmax容斥学习笔记

这里是minmax容斥学习笔记。

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minmax容斥是一种神奇的可以在一个集合的 \(\min\) 和 \(\max\) 间架起桥梁的工具。它的公式如下：

\[\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\min(\mathbb T) \]

\[\min(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\max(\mathbb T) \]

此公式最好应用于集合中所有元素两两不同的场景，否则则可以加上 \(\epsilon\) 扰动一下。

证明很简单，不妨以第一个式子为例。\(\min(\mathbb T)\) 为其中第 \(k\) 小的数，当且仅当 \(\mathbb T\) 是自 \(k+1\) 一直到 \(|\mathbb S|\) 所有元素构成的集合的子集，再并上 \(k\) 本身。若 \(k\neq|\mathbb S|\)，在乘上 \((-1)^{|\mathbb T|+1}\) 后，\(2^{|\mathbb S|-k-1}\) 个 \(1\) 与 \(2^{|\mathbb S|-k-1}\) 个 \(-1\) 被恰好消掉了，只有 \(k=|\mathbb S|\) 的位置会留下，而其正是 \(\max(\mathbb S)\)。

另外，minmax定理在期望意义下仍然成立。这意味着我们有

\[\text E(\max\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\text E(\min\mathbb T) \]

\[\text E(\min\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\text E(\max\mathbb T) \]

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扩展minmax容斥是一类更加神奇的工具。它的公式如下：

\[\text{Kthmax}(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}f(|\mathbb T|)\min(\mathbb T) \]

其中 \(f(\mathbb T)\) 是我们接下来想要推的一个式子，而 \(\text{Kthmax}\) 是集合中第 \(K\) 大的数。

首先，第 \(t\) 大的数成为 \(\min\)，有 \(2^{t-1}\) 种可能，故其贡献为 \(\sum\limits_{i=0}^{t-1}\dbinom{t-1}{i}f(i+1)\)。

则应有 \(\sum\limits_{i=0}^{t-1}\dbinom{t-1}{i}f(i+1)=[t=K]\)。

换元得 \(\sum\limits_{i=0}^t\dbinom tif(i+1)=[t+1=K]\)

二项式反演得 \(f(t+1)=\sum\limits_{i=0}^t(-1)^{t-i}\dbinom ti[i+1=K]=(-1)^{t-K+1}\dbinom{t}{K-1}\)。

故只需令 \(f(t)=(-1)^{t-K}\dbinom{t-1}{K-1}\) 即可。

故一开始的式子即为

\[\text{Kthmax}(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|-K}\dbinom{|\mathbb T|-1}{K-1}\min(\mathbb T) \]

同理，其亦在期望意义下成立。

再同理，其亦在交换 \(\min\) 与 \(\max\) 意义下成立。