minmax容斥学习笔记

这里是minmax容斥学习笔记。

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minmax容斥是一种神奇的可以在一个集合的 $\min$ 和 $\max$ 间架起桥梁的工具。它的公式如下：

$$\max(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\min(\mathbb T)$$

$$\min(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\max(\mathbb T)$$

此公式最好应用于集合中所有元素两两不同的场景，否则则可以加上 $\epsilon$ 扰动一下。

证明很简单，不妨以第一个式子为例。$\min(\mathbb T)$ 为其中第 $k$ 小的数，当且仅当 $\mathbb T$ 是自 $k+1$ 一直到 $|\mathbb S|$ 所有元素构成的集合的子集，再并上 $k$ 本身。若 $k\neq|\mathbb S|$，在乘上 $(-1)^{|\mathbb T|+1}$ 后，$2^{|\mathbb S|-k-1}$ 个 $1$ 与 $2^{|\mathbb S|-k-1}$ 个 $-1$ 被恰好消掉了，只有 $k=|\mathbb S|$ 的位置会留下，而其正是 $\max(\mathbb S)$。

另外，minmax定理在期望意义下仍然成立。这意味着我们有

$$\text E(\max\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\text E(\min\mathbb T)$$

$$\text E(\min\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|+1}\text E(\max\mathbb T)$$

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扩展minmax容斥是一类更加神奇的工具。它的公式如下：

$$\text{Kthmax}(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}f(|\mathbb T|)\min(\mathbb T)$$

其中 $f(\mathbb T)$ 是我们接下来想要推的一个式子，而 $\text{Kthmax}$ 是集合中第 $K$ 大的数。

首先，第 $t$ 大的数成为 $\min$，有 $2^{t-1}$ 种可能，故其贡献为 $\sum\limits_{i=0}^{t-1}\dbinom{t-1}{i}f(i+1)$。

则应有 $\sum\limits_{i=0}^{t-1}\dbinom{t-1}{i}f(i+1)=[t=K]$。

换元得 $\sum\limits_{i=0}^t\dbinom tif(i+1)=[t+1=K]$

二项式反演得 $f(t+1)=\sum\limits_{i=0}^t(-1)^{t-i}\dbinom ti[i+1=K]=(-1)^{t-K+1}\dbinom{t}{K-1}$。

故只需令 $f(t)=(-1)^{t-K}\dbinom{t-1}{K-1}$ 即可。

故一开始的式子即为

$$\text{Kthmax}(\mathbb S)=\sum\limits_{\mathbb{T\subseteq S}}(-1)^{|\mathbb T|-K}\dbinom{|\mathbb T|-1}{K-1}\min(\mathbb T)$$

同理，其亦在期望意义下成立。

再同理，其亦在交换 $\min$ 与 $\max$ 意义下成立。