JOIOI 王国 (Kingdom of JOIOI)

III.JOIOI 王国 (Kingdom of JOIOI)

考虑矩阵中的全局最大值和最小值。明显，如果有比最劣解更好的解法，则它们一定不会被分到同一组内。

于是，此最大值一定是某一个省的最大值，而此最小值一定是另一个省的最小值。

故我们考虑二分极差的最大值。则我们现在对于每个位置，它要么只能被分到小省，要么只能被分到大省，要么两个都可以（如果出现两个都不可以的情形，直接 return false 即可）。

则我们现在要考虑如何构造出一种分配方案，使得小省、大省全部是阶梯型。这里以小省在右上-左下的分界线之上的情形为例。

我们考虑对于每一行，找出其最右边的小省出现的位置和最左边的大省出现的位置。然后，对于小省的位置，我们做一个前缀取 $\max$；对于大省的位置，我们做一个后缀求 $\min$；然后就只需要判断有没有出现小省出现在大省右方的情形即可。

然后可以旋转矩形，共可以有四种可能的小省-大省分配模式，一个一个check过去即可。

时间复杂度$O(n^2\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define y1 __19260817
#define y2 __17680321
int n,m,a[2010][2010],mn=0x3f3f3f3f,mx,A[2010],B[2010];
bool ehc(){
	for(int i=n;i>=2;i--)B[i-1]=min(B[i-1],B[i]);
	for(int i=2;i<=n;i++)A[i]=max(A[i],A[i-1]);
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",A[i]);puts("");
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",B[i]);puts("");
//	puts("");
	for(int i=1;i<=n;i++)if(B[i]<=A[i])return false;
	return true;
}
bool che(int md){
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)if(a[i][j]>mn+md&&a[i][j]<mx-md)return false;
	
//	for(int i=1;i<=n;i++,puts(""))for(int j=1;j<=m;j++){
//		if(a[i][j]>mn+md)printf("2");
//		if(a[i][j]<mx-md)printf("1");
//		if(a[i][j]<=mn+md&&a[i][j]>=mx-md)printf("0");
//	}
	
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=0,B[i]=m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){
		if(a[i][j]>mn+md)B[i]=min(B[i],j);
		if(a[i][j]<mx-md)A[i]=max(A[i],j);
	}
	if(ehc())return true;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=0,B[i]=m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){
		if(a[i][j]<mx-md)B[i]=min(B[i],j);
		if(a[i][j]>mn+md)A[i]=max(A[i],j);
	}
	if(ehc())return true;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=0,B[i]=m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){
		if(a[i][j]>mn+md)B[n-i+1]=min(B[n-i+1],j);
		if(a[i][j]<mx-md)A[n-i+1]=max(A[n-i+1],j);
	}
	if(ehc())return true;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=0,B[i]=m+1;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++){
		if(a[i][j]<mx-md)B[n-i+1]=min(B[n-i+1],j);
		if(a[i][j]>mn+md)A[n-i+1]=max(A[n-i+1],j);
	}
	if(ehc())return true;
	
	return false;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=m;j++)scanf("%d",&a[i][j]),mn=min(mn,a[i][j]),mx=max(mx,a[i][j]);
	int l=0,r=mx-mn;
	while(l<r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(che(mid))r=mid;
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d\n",r);
	return 0;
}