虚树学习笔记

虚树，是一种针对树上点集的强力运算。它可以在$O(k\log k)$（其中$k$是点集大小）的时间内，建出一棵包含点集中所有节点，以及其中某些点的lca的树出来。这棵树就被称作虚树。之后就可以在虚树上进行操作了，例如树形DP等。

建出虚树的操作主要是这样的：

1. 我们维护一个栈，从栈顶到栈底构成原树上一条深度递减的链。注意这条链不是完整的链——它只记录了链上的关键节点。

2. 我们首先将原树的根节点加入虚树，方便维护。接着，将点集中所有点按照dfs序排序，然后依次加入虚树。

3. 当一个点被加入虚树时，如果栈为空，直接将该点加入栈，并直接结束函数；否则，求出它与栈顶节点的LCA。

4. 如果栈中第二个元素的深度小于LCA的深度，在虚树上连一条边$(\text{栈中第二个元素},\text{栈顶元素})$，并弹出栈顶节点。重复此操作，直到第二个元素的深度大于等于LCA的深度。

5. 如果栈顶元素的深度小于LCA的深度，连一条边$(LCA,\text{栈顶元素})$，并弹出栈顶元素。

6. 如果栈顶元素不同于LCA，将LCA入栈。

7. 将（3）中那个点入栈，并结束该函数。

8. 在所有东西全部加入虚树后，清空栈，在清空的过程中同时连边。

代码：

void ins(int x){
	if(!tp){stk[++tp]=x;return;}
	int lca=LCA(x,stk[tp]);
	while(tp>=2&&dep[lca]<dep[stk[tp-1]])v[stk[tp-1]].push_back(stk[tp]),tp--;
	if(tp&&dep[lca]<dep[stk[tp]])v[lca].push_back(stk[tp--]);
	if(!tp||stk[tp]!=lca)stk[++tp]=lca;
	stk[++tp]=x;
}

理解：

因为我们事先将节点按照dfs序排序，所以当新节点的深度大于栈顶节点深度的时候，就意味着原树中栈顶节点子树内所有节点都已经被加入虚树，可以弹出了。

然后，这个lca为了维护虚树的形态，也应该被加入虚树。

总复杂度$O(k\log k)$，瓶颈在于按照dfs序排序。

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一些定义：

虚树：即上文代码所建出的树

原树/实树：原本的树

实点：给出点集中的点

虚点：在建出虚树时为了维护形态而添加的点（即实点的LCA之类）

树外点：原树中不在虚树内的点

树点：虚树内的点（大部分没有歧义的时候，“节点”就特指树点）