中国剩余定理学习笔记

I.CRT（中国剩余定理）

中国剩余定理：

已知方程

$$\begin{cases}x\equiv a_1\pmod{m_1}\\\vdots\\x\equiv a_n\pmod{m_n}\end{cases}$$

则我们设$M=\prod\limits_{i=1}^nm_i,M_i=\dfrac{M}{m_i},b_i=(M_i)^{-1}\pmod{m_i}$，

则有

$$\boxed{x\equiv\sum\limits_{i=1}^na_iM_ib_i\pmod M}$$

很明显常规CRT只能在 $m_i$ 全部互质的情形下使用，不然 $b_i$ 不一定存在。

下面证明CRT：

类比拉格朗日插值，我们考虑找到一个式子，其模 $m_1$ 余 $1$，模 $m_{2\sim n}$ 均为 $0$。这样，其 $a_1$ 倍就是仅模 $m_1$ 余 $a_1$ 的数。对所有 $a_i$ 都做上述操作并求和，就得到了符合条件的数。

因为 $m_i$ 两两互质，所以模 $m_{2\sim n}$ 均为 $0$ 唯一等价于模 $\prod\limits_{i=2}^nm_i$ 为 $0$，也即上文中的 $M_1$。

我们设找到的这个式子为 $kM_1$，则应有 $kM_1\equiv1\pmod{m_1}$。明显，其等价于 $k$ 是 $M_1$ 在模 $m_1$ 意义下的逆元，也即上文中的 $b_1$。

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这个方程的$n=2,3$的特例可以用来做任意模数NTT：

$$\begin{cases}x\equiv a\pmod{A}\\x\equiv b\pmod{B}\end{cases}$$

则有

$$x=a+\alpha A=b+\beta B$$

于是

$$a+\alpha A\equiv b\pmod B$$

所以

$$\alpha\equiv\dfrac{b-a}{A}\pmod B$$

求出$\alpha$后，就有$x\equiv a+\alpha A\pmod{AB}$

如果我们又有一个方程$x\equiv c\pmod C$，

就直接联立出方程

$$\begin{cases}x\equiv a+\alpha A\pmod{AB}\\x\equiv c\pmod C\end{cases}$$

因为卷积的值域是$n^3$的，所以双模就可以支持$10^6$的模数，而三模则可以支持常规的$10^9$模数。