LOJ#6053. 简单的函数

II.LOJ#6053. 简单的函数

重申一下min25筛应用的条件：

• 是积性函数。
• 质数处取值是低阶多项式。
• 质数次幂处取值可以快速求出。

满足以上三点的任意函数均可以min25筛。

现在看到这题。乍一看 \(p\operatorname{xor}a\) 这种东西看上去一脸非多项式的样子；但是因为我们只关心质数处取值是否是多项式，因为除了 \(2\) 以外的质数均为奇，且质数处的 \(a\) 必为 \(1\)，则除了 \(f(2)=3\) 以外，其余的 \(f(p)=p-1\)，是低阶多项式。故我们只需特判掉 \(n\geq 2\) 时手动给筛出来的结果加上 \(2\) 即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
typedef long long ll;
ll n;
int m,pri[1001000],sp[2][1001000],g[2][1001000];
void sieve(){
	for(int i=2;i<=m;i++){
		if(!pri[i])pri[++pri[0]]=i,sp[0][pri[0]]=sp[0][pri[0]-1]+1,sp[1][pri[0]]=(sp[1][pri[0]-1]+i)%mod;
		for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=m;j++){
			pri[i*pri[j]]=true;
			if(!(i%pri[j]))break;
		}
	}
}
ll kth[1001000];
int sml[1001000],lar[1001000],tot;
int H(ll x,int y){
	if(pri[y]>=x)return 0;
	int X=(x<=m?sml[x]:lar[n/x]);
	int ret=(2ll*mod+g[1][X]-g[0][X]-(sp[1][y]-sp[0][y]))%mod;
	for(int i=y+1;i<=pri[0]&&1ll*pri[i]*pri[i]<=x;i++){
		ll pa=pri[i];
		for(int a=1;pa<=x;a++,pa*=pri[i])(ret+=1ll*(pri[i]^a)*(H(x/pa,i)+(a!=1))%mod)%=mod;
	}
	return ret;
}
int main(){
	scanf("%lld",&n),m=sqrt(n),sieve();
//	for(int i=1;i<=pri[0];i++)printf("%d ",pri[i]);puts("");
//	for(int i=1;i<=pri[0];i++)printf("%d ",sp[0][i]);puts("");
//	for(int i=1;i<=pri[0];i++)printf("%d ",sp[1][i]);puts("");
	for(ll i=1;i<=n;i=n/(n/i)+1){
		kth[++tot]=n/i;
		int I=kth[tot]%mod;
		g[0][tot]=(I+mod-1)%mod,g[1][tot]=(1ll*I*(I+1)/2+mod-1)%mod;
		if(kth[tot]<=m)sml[kth[tot]]=tot;else lar[n/kth[tot]]=tot;
	}
//	for(int i=1;i<=tot;i++)printf("%d ",kth[i]);puts("");
	for(int i=1;i<=pri[0];i++)for(int j=1;j<=tot&&1ll*pri[i]*pri[i]<=kth[j];j++){
		ll nexi=kth[j]/pri[i];int I=(nexi<=m?sml[nexi]:lar[n/nexi]);
		(g[0][j]+=(mod-g[0][I]+sp[0][i-1])%mod)%=mod;
		(g[1][j]+=mod-1ll*pri[i]*(g[1][I]-sp[1][i-1]+mod)%mod)%=mod;
	}
	printf("%d\n",H(n,0)+1+2*(n>=2));
	return 0;
}