杜教筛学习笔记

3.杜教筛

之前在做莫反的题时，有很多题都需要用到杜教筛，因而我非常不爽。因此便来研究杜教筛了。

杜教筛可以干什么？

在非线性时间内（准确说，$O(n^{\frac{2}{3}})$）求出某些积性函数的前缀和。例如，$\sum_{i=1}^n\mu(i)$。

怎么办呢？

假设我们要求$S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$。这时，我们随便找出一个函数$g$。我们计算$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)$。

$\begin{aligned}&\sum_{i=1}^n(f*g)(i)\\=&\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\dfrac{i}{d})\\=&\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}f(i)\text{（好好想想！！！）}\\=&\sum_{d=1}^ng(d)S(\dfrac{n}{d})\end{aligned}$

则$g(1)S(n)=\sum_{d=1}^ng(d)S(\dfrac{n}{d})-\sum_{d=2}^ng(d)S(\dfrac{n}{d})=\sum_{d=1}^n(f*g)(d)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\dfrac{n}{d})$

后面的那一大坨可以整除分块，递归地跑下去。这样，如果我们可以找出一个合适的$g$，可以$O(\sqrt{n})$以内地算出$\sum_{d=1}^n(f*g)(d)$，就能以一个较快的速度跑出$S(n)$。

回到我们的例子。$\sum_{i=1}^n\mu(i)$。

回忆起$1*\mu=\epsilon$，我们可以尝试使$g=1$。

则$g(1)S(n)=\sum_{d=1}^n\epsilon(d)-\sum_{d=2}^ng(d)S(\dfrac{n}{d})$

又$\forall (x),g(x)=1$，因此$S(n)=1-\sum_{d=2}^nS(\dfrac{n}{d})$。

这样我们就找出了一种好方法。

考虑当$n$较小时，递归计算的复杂度甚至还要劣于线性筛。可以证明，当我们预处理出$n^{\frac{2}{3}}$以内的$S(i)$时，复杂度达到最优，为$O(n^{\frac{2}{3}})$。

我们可以用手写哈希表，或者unordered_map，来实现记忆化搜索。

再考虑$\sum_{i=1}^n\varphi(i)$。

这次，我们还是选择$g=1$。因为$1*\varphi=id$，所以$\sum_{i=1}^n(f*g)(i)=\sum_{i=1}^nid(i)=\sum_{i=1}^ni=\dfrac{n(n+1)}{2}$。

这样我们就可以通过【模板】杜教筛（Sum）了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5000000;
int T,n,pri[N+5],mu[N+5];
ll phi[N+5];
void init(){
	phi[1]=mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!pri[i])pri[++pri[0]]=i,mu[i]=-1,phi[i]=i-1;
		for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=N;j++){
			pri[i*pri[j]]=true;
			if(!(i%pri[j])){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}else phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]],mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)mu[i]+=mu[i-1],phi[i]+=phi[i-1];
}
unordered_map<int,int>mm;
unordered_map<int,ll>mp;
int getmu(int x){
	if(x<=N)return mu[x];
	if(mm[x])return mm[x];
	int res=1;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)r=x/(x/l),res-=getmu(x/l)*(r-l+1);
	return mm[x]=res;
}
ll getphi(int x){
	if(x<=N)return phi[x];
	if(mp[x])return mp[x];
	ll res=1ll*x*(x+1)/2;
	for(int l=2,r;l<=x;l=r+1)r=x/(x/l),res-=getphi(x/l)*(r-l+1);
	return mp[x]=res;
}
int main(){
	init(),scanf("%d",&T);
	while(T--)scanf("%d",&n),printf("%lld %d\n",getphi(n),getmu(n));
	return 0;
}