狄利克雷卷积与数论函数学习笔记

2.狄利克雷卷积与数论函数

在1.v.[NOI2010]能量采集中，我们第一次认识到了狄利克雷卷积这个概念。下面我们将介绍它的更多性质。

我们之前得到了如下性质：

$\boxed{h(n)=(f*g)(n)\Leftrightarrow h(n)=\sum_{d|T}f(d)*g(\dfrac{T}{d})}$ 。
$\boxed{\begin{cases}\text{1.交换律：}f*g=g*f\\\text{2.结合律：}(f*g)*h=f*(g*h)\\\text{3.分配律：}h*(f+g)=h*f+h*g\end{cases}}$
$\boxed{\text{如果}f\text{和}g\text{都是积性函数，那么}f*g\text{也是积性函数。}}$

我们还有其它性质，例如：

$\boxed{\begin{cases}\text{4.单位元：}\epsilon(x)=[x=1]\\\text{5.逆元：}\forall f\text{使得}f(1)\neq0,\exists g\text{使得}g*f=\epsilon\\\text{6.对数乘的结合律：}(xf)*g=x(f*g)\\\end{cases}}$

提到狄利克雷卷积，我们就不得不提它所作用着的载体：数论函数。

数论函数是指定义域为 $\mathbb{N}^+$ ，值域为 $\mathbb{Z}$ 的全体函数。

常见数论函数包括（设 $x=\prod_{i=1}^n(P_i)^{a_i}$ ）：

$\boxed{\begin{cases}1.\epsilon(x)=[x=1]\\2.\mu(x)=(-1)^n[\max(a_1\dots a_n)\leq 1]\\3.\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{P_i-1}{P_i}\\4.id(x)=x\\5.id^k(x)=x^k\\6.1(x)=1\\7.d(x)=\sum\limits_{d|x}1\\8.\sigma(x)=\sum\limits_{d|x}d\\9.\lambda(x)=(-1)^x\\\dots\end{cases}}$

（符号不唯一）

这些函数至少都是积性函数，部分是完全积性函数。

我们之前接触过 $\mu$ 的一个性质：

$\boxed{\sum\limits_{d|x}\mu(d)=\begin{cases}1(x=1)\\0(x\neq1)\end{cases}}$

或者说，

$\boxed{\sum\limits_{d|x}\mu(d)=[x=1]}$

用上我们新学的狄利克雷卷积的知识，这就是：

$\boxed{\mu*1=\epsilon}$

换句话说， $\mu$ 和 $1$ 互为逆元。

这样，我们就可以通过另一个途径证出莫比乌斯反演：

$\begin{aligned}&\because g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\\&\therefore g=f*1\\&\therefore g*\mu=f*1*\mu\\&\therefore g*\mu=f*\epsilon\\&\therefore g*\mu=f\\&\therefore f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)g(\dfrac{n}{d})\end{aligned}$

证毕。

而欧拉函数 $\varphi$ 也有如此性质：

$\boxed{\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=n}$

换句话说，

$\boxed{\varphi*1=id}$

我们发现， $\mu$ 和 $\varphi$ 在卷上 $1$ 后都会得到一些奇妙的性质。那么这两者之间有何关联呢？

$\begin{aligned}&\because \varphi*1=id\\&\therefore\varphi*1*\mu=id*\mu\\&\therefore\varphi=id*\mu\\&\therefore\sum\limits_{d|n}\dfrac{n}{d}\times\mu(d)=\varphi(n)\\&\therefore\sum\limits_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}=\dfrac{\varphi(n)}{n}\end{aligned}$