[SDOI2014]数表

vii.[SDOI2014]数表

仍然是线性筛筛各种东西。我们引出一个东西$\sigma(x)=\sum\limits_{d|n}d$，也就是$x$的约数和。这个东西明显是积性函数。设$x=\prod\limits_{i=1}^n(P_i)^{a_i}$，则$\sigma(x)=\prod\limits_{i=1}^n(\sum\limits_{j=0}^{a_i}(P_i)^j)$。

如果我们忽略$a$的限制，则我们要求的就是$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j))$。

开始推式子。

$\begin{aligned}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(\gcd(i,j)) & =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(d)[\gcd(i,j)=d]\\& =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[\gcd(i,j)=1]\\& =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}\sum_{x|i,x|j}\mu(x)\\& =\sum_{d=1}^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{x=1}^{\min(n/d,m/d)}\mu(x)\left\lfloor\dfrac{n}{dx}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{dx}\right\rfloor\\& =\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\left\lfloor\dfrac{n}{T}\right\rfloor\left\lfloor\dfrac{m}{T}\right\rfloor\sum_{x|T}\sigma(x)\mu(\dfrac{T}{x})\end{aligned}$

假使我们忽略$a$的限制，到现在我们已经做完了。但是现在有$a$的限制，怎么办呢？

设$g=\mu*\sigma$。

将询问按照$a$排序，同时用树状数组动态地对于不同的$a$更新$g$函数。比如说，假设上一个$a$是$5$，这一个$a$是$6$，那对于所有$\sigma(x)=6$的$x$，枚举在$10^5$范围内所有$x$的倍数$T$，更新$g(T)$。

而我们最后统计时，就用树状数组维护$g$函数的区间和。

哦，对了，关于取模，直接自然溢出即可。

关于线性筛筛各种东西，我推荐一篇blog。里面就有线性筛筛$\sigma(x)$的讲解。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100000;
int T,pri[100100],mu[100100],sigma[100100],low[100100],sum[100100],t[100100],res[100100];;
pair<int,int>p[100100];
void sieve(){
	mu[1]=sigma[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!pri[i])low[i]=pri[++pri[0]]=i,mu[i]=-1,sum[i]=sigma[i]=i+1;
		for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=N;j++){
			pri[i*pri[j]]=true;
			if(!(i%pri[j])){
				mu[i*pri[j]]=0;
				low[i*pri[j]]=low[i]*pri[j];
				sum[i*pri[j]]=sum[i]+low[i*pri[j]];
				sigma[i*pri[j]]=sigma[i]/sum[i]*sum[i*pri[j]];
				break;
			}
			mu[i*pri[j]]=-mu[i];
			low[i*pri[j]]=pri[j];
			sum[i*pri[j]]=pri[j]+1;
			sigma[i*pri[j]]=sigma[i]*sigma[pri[j]];
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++)p[i]=make_pair(sigma[i],i);
	sort(p+1,p+N+1);
}
void add(int x,int y){
	while(x<=N)t[x]+=y,x+=x&-x;
}
int ask(int x){
	int res=0;
	while(x)res+=t[x],x-=x&-x;
	return res;
}
struct query{
	int n,m,a,id;
	friend bool operator <(const query &x,const query &y){
		return x.a<y.a;
	}
}q[100100];
int solve(int n,int m){
	if(n>m)swap(n,m);
	int ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1)r=min(n/(n/l),m/(m/l)),ans+=(n/l)*(m/l)*(ask(r)-ask(l-1));
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%d",&T),sieve();
	for(int i=1;i<=T;i++)scanf("%d%d%d",&q[i].n,&q[i].m,&q[i].a),q[i].id=i;
	sort(q+1,q+T+1);
	for(int i=1,j=1;i<=T;i++){
		while(j<=N&&p[j].first<=q[i].a){
			for(int k=p[j].second;k<=N;k+=p[j].second)add(k,sigma[p[j].second]*mu[k/p[j].second]);
			j++;
		}
		res[q[i].id]=solve(q[i].n,q[i].m);
	}
	for(int i=1;i<=T;i++)printf("%d\n",res[i]&(~(1<<31)));
	return 0;
}