[HNOI2008]水平可见直线

VI.[HNOI2008]水平可见直线

一开始以为这是半平面交模板；后来一想，直接求出凸包来就行了。

我们仍然将所有直线按照斜率从小到大排序。不过这时，我们只需要使用单调栈维护即可。

具体而言，设栈顶次位、首位直线分别为 $y=k_1x+b_1,y=k_2x+b_2$

则其交点位于

(\frac{b_{1} - b_{2}}{k_{2} - k_{1}}, k_{2} (\frac{b_{1} - b_{2}}{k_{2} - k_{1}}) + b_{2})

$\Bigg(\dfrac{b_1-b_2}{k_2-k_1},k_2\Big(\dfrac{b_1-b_2}{k_2-k_1}\Big)+b_2\Bigg)$

假设我们现在插入一条新直线 $y=k_0x+b_0$ ，则弹出队尾，当且仅当

k_{2} (\frac{b_{1} - b_{2}}{k_{2} - k_{1}}) + b_{2} \leq k_{0} (\frac{b_{1} - b_{2}}{k_{2} - k_{1}}) + b_{0}

$k_2\Big(\dfrac{b_1-b_2}{k_2-k_1}\Big)+b_2\leq k_0\Big(\dfrac{b_1-b_2}{k_2-k_1}\Big)+b_0$

因为其分别是首位、次位直线，所以必有 $k_2-k_1>0$ ，所以两边直接乘上 $k_2-k_1$ ，最终得到判别式

k_{2} (b_{1} - b_{2}) + b_{2} (k_{2} - k_{1}) \leq k_{0} (b_{1} - b_{2}) + b_{0} (k_{2} - k_{1})

$k_2(b_1-b_2)+b_2(k_2-k_1)\leq k_0(b_1-b_2)+b_0(k_2-k_1)$

直接应用即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,k[50100],b[50100],ord[50100],s[50100],tp;
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d",&k[i],&b[i]),ord[i]=i;
	sort(ord+1,ord+n+1,[](int u,int v){return k[u]==k[v]?b[u]>b[v]:k[u]<k[v];});
	s[tp=1]=ord[1];
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(k[ord[i]]==k[ord[i-1]])continue;
		while(tp>=2&&1ll*k[s[tp]]*(b[s[tp-1]]-b[s[tp]])+1ll*b[s[tp]]*(k[s[tp]]-k[s[tp-1]])<=1ll*k[ord[i]]*(b[s[tp-1]]-b[s[tp]])+1ll*b[ord[i]]*(k[s[tp]]-k[s[tp-1]]))tp--;
		s[++tp]=ord[i];
	}
	sort(s+1,s+tp+1);
	for(int i=1;i<=tp;i++)printf("%d ",s[i]);puts("");
	return 0;
}