[九省联考2018]IIIDX

XXXIV.[九省联考2018]IIIDX

首先，一个非常naive的想法是，建出通关的树出来，然后dfs它，在访问到一个节点时，将现有最小的值赋给它，然后从大到小遍历每个子节点。

这个算法会被 $d$ 相同的情形叉掉，因为它可以构造出这样一组数据：若某个节点的子树为 $1$，且它的兄长（指与它有同一父亲，且权值小于它的最大节点）的子树不为 $1$，且它的值和兄长的值相同。这时，我们可以掏出兄长的一个儿子，将其与该节点交换，并发现树仍然合法，但是字典序变大了。

于是我们开始思考这个问题的本质。

我们发现，用任意一组点集覆盖任意一棵子树，都能保证产生一组解。于是我们萌生了一个念头，能不能从小到大确定每个数的值，且使得剩余的数存在一种合法解？显然这种方法是一定正确的。

我们发现，假如一个点 $x$ 的子树大小是 $sz_x$，且赋值为 $b_i$，则其子树中每个点的权值都 $\geq b_i$。这就意味着，对于 $x$ 的子树，我们需要恰好 $sz_x$ 个 $\geq b_i$ 的节点来填满这棵子树。并且，依照我们上面的发现，这是充要条件。

于是问题转换为找到最大的 $b_i$ 使得存在上述点集。

我们考虑用一棵线段树维护，线段树上每个下标 $u$ 存了 $\geq u$ 的尚未被动用的权值数。在确定一个点的权值为 $b_i$ 后，我们需要对于 $\leq b_i$ 的所有位置全都减去 $sz_i$，因为这其中每个位置都确定可用的权值减少了 $sz_i$。但是这并不意味着 $>b_i$ 的权值数就不会变化，因为谁又知道子树中到底选了哪些数呢？

因此，在确定一个 $b_i$ 时，我们不能简单地找到最大的权值数 $\geq sz_i$ 的下标，而应找到对于所有 $v\leq u$，都有 $v$ 的权值数 $\geq sz_i$ 的最大 $u$。这是很显然的。

而这是线段树二分的常规操作。随便写写就行了。

需要注意的是，确定 $b_i$ 时的操作的本质是预订，这就意味着当操作真正进行到儿子时，需要把父亲预订的那些位置给退回，同时注意一个父亲只能被退回一次。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[500100],sz[500100],a[500100],b[500100];
double k;
vector<int>v;
#define lson x<<1
#define rson x<<1|1
#define mid ((l+r)>>1)
struct SegTree{int tag,mn;}seg[2001000];
void pushup(int x){seg[x].mn=min(seg[lson].mn,seg[rson].mn);}
void ADD(int x,int y){seg[x].mn+=y,seg[x].tag+=y;}
void pushdown(int x){ADD(lson,seg[x].tag),ADD(rson,seg[x].tag),seg[x].tag=0;}
void modify(int x,int l,int r,int P,int val){
	if(l>P)return;
	if(r<=P){ADD(x,val);return;}
	pushdown(x),modify(lson,l,mid,P,val),modify(rson,mid+1,r,P,val),pushup(x);
}
int innersearch(int x,int l,int r,int val){
	if(l==r)return seg[x].mn>=val?l:l-1;
	pushdown(x);
	if(seg[lson].mn>=val)return innersearch(rson,mid+1,r,val);
	else return innersearch(lson,l,mid,val);
}
int outersearch(int x,int l,int r,int P,int val){
//	printf("%d[%d,%d]:%d,%d\n",x,l,r,P,val);
	if(r<P)return -1;
	if(l>=P){
//		printf("[%d,%d]:%d %d\n",l,r,val,seg[x].mn);
		if(seg[x].mn>=val)return -1;
		return innersearch(x,l,r,val);
	}
	pushdown(x);
	int tmp=outersearch(lson,l,mid,P,val);
	if(tmp!=-1)return tmp;
	return outersearch(rson,mid+1,r,P,val);
}
bool vis[500100];
void iterate(int x,int l,int r){
	if(l==r)printf("%d ",seg[x].mn);
	else pushdown(x),iterate(lson,l,mid),iterate(rson,mid+1,r);
}
int main(){
	scanf("%d%lf",&n,&k);
	for(int i=n,x;i;i--)sz[fa[i]=i/k]+=++sz[i],scanf("%d",&a[i]),v.push_back(a[i]);
	sort(v.begin(),v.end()),v.resize(m=unique(v.begin(),v.end())-v.begin());
	for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=lower_bound(v.begin(),v.end(),a[i])-v.begin()+1,modify(1,1,m,a[i],1);
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d %d\n",i,fa[i]);
//	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",sz[i]);puts("");
//	iterate(1,1,m);puts("");
	vis[0]=true,b[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!vis[fa[i]])modify(1,1,m,b[fa[i]],sz[fa[i]]-1),vis[fa[i]]=true;
//		puts("");
//		iterate(1,1,m);puts("");
		b[i]=outersearch(1,1,m,b[fa[i]],sz[i]);
		if(b[i]==-1)b[i]=m;
//		printf("%d:%d\n",sz[i],b[i]);
		modify(1,1,m,b[i],-sz[i]);
//		iterate(1,1,m);puts("");
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",v[b[i]-1]);
	return 0;
}