CF626G Raffles

XXXI.CF626G Raffles

首先，我们列出“往一个奖池内多投一张彩票”，在奖项为 $c$、初始有 $a$ 张、当前已经又投了 $r$ 张时的额外收益：

$$c\times\Big(\dfrac{r+1}{a+r+1}-\dfrac{r}{a+r}\Big)$$

稍微化简一下就能得到

$$\dfrac{ca}{(a+r+1)(a+r)}$$

明显，随着 $r$ 的增大，分子不变，分母是增函数，于是整个额外收益就是减函数——这意味着你往一个奖池里投越多彩票，单张彩票所取得的收益就越小。这意味着我们可以搞一个贪心，用一个堆维护所有奖池内再投一张彩票所能取得的收益，然后每次弹出其中的最大值，并将最大值所在的奖池的下一张彩票加入堆中。

现在，它开始修改 $a$ 了，我们应该怎么做呢？

暴力从当前已投入的所有彩票中，找出收益最小的那一张，并将其与当前未投入的所有彩票中收益最大的那一张比较，若没有未投入的那张大就暴力更换（这意味着要用 multiset 来替换堆），直到替换会使答案更劣为止。该做法的正确性显然，但是复杂度是不是不太对劲？

我们思考一下，仅仅是 $a$ 变换了 $1$，对全局的影响应该不会太大——事实上，受到影响而不再投入的彩票数量是 $O(1)$ 的！

这样，暴力的正确性和复杂度都有保证。

实现时，不管它“不超过一半”的限制，仅仅把投入一半以上彩票时额外投入一张的收益为 $0$ 会让代码实现简单很多。

时间复杂度 $O(n\log n)$，

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double eps=1e-12;
int n,m,q,a[200100],c[200100],r[200100];
double F(int X,int R){
	if(R<0)return 0x3f3f3f3f;
	if(R>=a[X])return 0;
	return 1.0*c[X]*a[X]/(a[X]+R+1)/(a[X]+R);
}
double G(int x){return 1.0*c[x]*min(r[x],a[x])/(a[x]+min(r[x],a[x]));}
struct dat{
	double val;
	int id,lot;
	dat(int X,int Y){id=X,lot=Y,val=F(id,lot);}
	friend bool operator<(const dat&u,const dat&v){return fabs(u.val-v.val)<eps?u.id<v.id:u.val<v.val;}
};
multiset<dat>all,cho;
double res;
void Push(){
	auto it=--cho.end();
	res+=it->val;
	int x=it->id;
	all.erase(dat(x,r[x]-1)),all.insert(*it);
	cho.erase(it),cho.insert(dat(x,++r[x]));
}
void Pop(){
	auto it=all.begin();
	res-=it->val;
	int x=it->id;
	cho.erase(dat(x,r[x])),cho.insert(*it);
	all.erase(it),all.insert(dat(x,--r[x]-1));
}
void read(int &x){
	x=0;
	char c=getchar();
	while(c>'9'||c<'0')c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
}
int main(){
	read(n),read(m),read(q);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(c[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)all.insert(dat(i,-1)),cho.insert(dat(i,0));
	while(m--)Push();
//	printf("%lf\n",res);
	for(int i=1,x,y;i<=q;i++){
		read(y),read(x);
		all.erase(dat(x,r[x]-1)),cho.erase(dat(x,r[x])),res-=G(x);
		if(y==1)a[x]++;else a[x]--;
		all.insert(dat(x,r[x]-1)),cho.insert(dat(x,r[x])),res+=G(x);
		while(cho.rbegin()->val>all.begin()->val+eps)Pop(),Push();
		printf("%.8lf\n",res);
	}
	return 0;
}