[BJOI2018]治疗之雨

XVI.[BJOI2018]治疗之雨

一眼能看出这是道高斯消元题。

我们设 $f_i$ 表示当前英雄血量为 $i$ 时期望多少次死掉。

则我们有

f_{i} = \frac{1}{m + 1} \times (\sum_{j = 0}^{i} q_{j} f_{i + 1 - j}) + \frac{m}{m + 1} \times (\sum_{j = 0}^{i - 1} q_{j} f_{i - j}) + 1

$f_i=\dfrac{1}{m+1}\times\Big(\sum\limits_{j=0}^iq_jf_{i+1-j}\Big)+\dfrac{m}{m+1}\times\Big(\sum\limits_{j=0}^{i-1}q_jf_{i-j}\Big)+1$

其中 $q_j$ 是打掉 $j$ 点血的概率，有

q_{j} = (\frac{1}{m + 1})^{j} (\frac{m}{m + 1})^{k - j} (\binom{k}{j})

$q_j=\Big(\dfrac{1}{m+1}\Big)^j\Big(\dfrac{m}{m+1}\Big)^{k-j}\dbinom{k}{j}$

特殊地，当满血（即 $i=n$ ）时，因为必定奶不到英雄，故直接有

f_{i} = \sum_{j = 0}^{i - 1} q_{j} f_{i - j} + 1

$f_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}q_jf_{i-j}+1$

明显这个DP有后效性，必须得高斯消元；但是 $O(n^3)$ 你告诉我能跑 $1500$ ？

抱歉，还真能。

我们列出转移矩阵，发现它大概长这样：

[\begin{matrix} ?, ?, 0, 0, 0, \dots, 0 \\ ?, ?, ?, 0, 0, \dots, 0 \\ ?, ?, ?, ?, 0, \dots, 0 \\ \dots \\ ?, ?, ?, ?, ?, \dots, ? \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}&?,?,0,0,0,\dots,0\\&?,?,?,0,0,\dots,0\\&?,?,?,?,0,\dots,0\\&\dots\\&?,?,?,?,?,\dots,?\end{bmatrix}$

发现它十分接近倒着的上三角矩阵；故我们只需要消掉对角线上面的一行，就能把它消成一个真正的倒置上三角矩阵，然后就能 $O(n^2)$ 代回解出了。

明显只消掉对角线上面一行的复杂度也是 $O(n^2)$ 的；故总复杂度即为 $O(n^2)$ 。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int T,n,m,S,p,g[2010][2010],q[2010],inv[2010],f[2010];
int ksm(int x,int y){
	int z=1;
	for(;y;y>>=1,x=1ll*x*x%mod)if(y&1)z=1ll*x*z%mod;
	return z;
}
void Gauss(){
	for(int i=n;i>1;i--){
		if(!g[i][i])swap(g[i],g[i-1]);
		int tmp=1ll*g[i-1][i]*ksm(g[i][i],mod-2)%mod;
		for(int j=1;j<=i;j++)(g[i-1][j]+=mod-1ll*g[i][j]*tmp%mod)%=mod; 
		(g[i-1][n+1]+=mod-1ll*g[i][n+1]*tmp%mod)%=mod;
	}
//	for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n+1;j++)printf("%d ",g[i][j]);puts("");}
	f[1]=1ll*g[1][n+1]*ksm(g[1][1],mod-2)%mod;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		f[i]=g[i][n+1];
		for(int j=1;j<i;j++)(f[i]+=mod-1ll*g[i][j]*f[j]%mod)%=mod;
		f[i]=1ll*f[i]*ksm(g[i][i],mod-2)%mod;
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	for(int i=1;i<=2000;i++)inv[i]=ksm(i,mod-2);
	while(T--){
		scanf("%d%d%d%d",&n,&S,&m,&p);
		if(p==0||p==1&&m==0&&(S!=n||n!=1)){puts("-1");continue;}
		int P=ksm(m+1,mod-2),Q=1ll*m*P%mod;
		for(int i=0;i<=n;i++)q[i]=0;
		for(int i=0,j=1;i<=min(n,p);j=1ll*j*(p-i)%mod,i++,j=1ll*j*inv[i]%mod)q[i]=1ll*ksm(P,i)*ksm(Q,p-i)%mod*j%mod;
		for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n+1;j++)g[i][j]=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=0;j<i;j++)g[i][i-j]=1ll*q[j]*(i<n?mod+1-P:1)%mod;
			if(i<n)for(int j=0;j<i+1;j++)(g[i][i+1-j]+=1ll*q[j]*P%mod)%=mod;
			(g[i][i]+=mod-1)%=mod;
			g[i][n+1]=mod-1;
		}
//		for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n+1;j++)printf("%d ",g[i][j]);puts("");}
		Gauss();
		printf("%d\n",f[S]);
	}
	return 0;
}