[CERC2016]二分毯 Bipartite Blanket

IX.[CERC2016]二分毯 Bipartite Blanket

二分图的重要定理:霍尔定理(Hall's Theroem)的应用。

霍尔定理:二分图 V=((S,T),E) 存在完美匹配,当且仅当 sS,|s||Es|

翻译成人话就是对于由两个分部 S,T 构成的二分图,其存在完美匹配,当且仅当对于 S 的所有非空子集,其所联通的点集大小大于等于其自身大小。

其必要性显然。其充分性可以这样反证:假设存在一二分图,其满足霍尔定理,但是不存在完美匹配。于是在最大匹配之时,左部必存在一个没有被匹配的节点a。因为霍尔定理成立,该节点必至少连到右部的某节点b;如果b未被匹配,显然匹配a,b会使匹配增大,与最大匹配的前提相悖;则该节点必在左部有匹配点c。考虑集合{a,c},其必至少存在一条边,连接两点之一与点b外的某点d,否则则与霍尔定理相悖;假如该边连接a,d,显然可以仿照之前的证明继续下去,直到出现如下情况,即存在一条边连接c,d。如果d是失配点,显然abcd构成一条交错路,全部取反即可令匹配增大,与最大匹配前提相悖;否则,即可找到d的匹配点e……一直这样下去,最终必会出现一条交错路,则与最大匹配相悖。故霍尔定理成立。

我们回到本题。显然,本题的左部和右部是独立的;于是我们可以左右分别考虑,用状压DP求出左右所有符合霍尔定理的子集,排序后用two-pointers加以合并即可。

时间复杂度O(n2n+(2n)log(2n))=O(n2n)

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long res;
int n,m,N,M,a[20],b[20],f[1<<20],g[1<<20],s[1<<20],t[1<<20],p[20],q[20],lim;
vector<int>u,v;
char str[30];
bool x[1<<20],y[1<<20];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m),N=(1<<n),M=(1<<m);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%s",str);
		for(int j=0;j<m;j++)if(str[j]=='1')a[i]|=(1<<j),b[j]|=(1<<i);
	}
	for(int i=0;i<n;i++)scanf("%d",&p[i]);
	for(int i=0;i<m;i++)scanf("%d",&q[i]);
	scanf("%d",&lim);
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<n;j++)if(i&(1<<j))f[i]|=a[j],x[i]|=x[i^(1<<j)],s[i]+=p[j];
		x[i]|=(__builtin_popcount(f[i])<__builtin_popcount(i));
		if(!x[i])u.push_back(s[i]);
	}
	for(int i=0;i<M;i++){
		for(int j=0;j<m;j++)if(i&(1<<j))g[i]|=b[j],y[i]|=y[i^(1<<j)],t[i]+=q[j];
		y[i]|=(__builtin_popcount(g[i])<__builtin_popcount(i));
		if(!y[i])v.push_back(t[i]);
	}
	sort(u.begin(),u.end()),sort(v.rbegin(),v.rend());
	for(int i=0,j=0;i<u.size();i++){
		while(j<v.size()&&u[i]+v[j]>=lim)j++;
		res+=j;
	}
	printf("%lld\n",res);
	return 0;
}
posted @   Troverld  阅读(102)  评论(0编辑  收藏  举报
编辑推荐:
· go语言实现终端里的倒计时
· 如何编写易于单元测试的代码
· 10年+ .NET Coder 心语,封装的思维:从隐藏、稳定开始理解其本质意义
· .NET Core 中如何实现缓存的预热?
· 从 HTTP 原因短语缺失研究 HTTP/2 和 HTTP/3 的设计差异
阅读排行:
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· ollama系列1:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 按钮权限的设计及实现
· 【杂谈】分布式事务——高大上的无用知识?
点击右上角即可分享
微信分享提示